1、专题五 函数与图象热点一：函数图象与性质1(2015 年广东广州)已知反比例函数 y 的图象的一支位于第一象限m 7x(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；(2)如图 Z511，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，若 OAB 的面积为 6，求 m 的值图 Z511热点二：函数解析式求法2(2015 年广东佛山)若正比例函数 yk 1x 的图象与反比例函数 y 的图象有一个交k2x点坐标是( 2,4)(1)求这两个函数的表达式；(2)求这两个函数图象的另一个交点坐标热点三：代数几何综合题3(2015 年广东深圳)
2、如图 Z512，关于 x 的二次函数 yx 2bxc 经过点 A(3,0)，点 C(0,3)，点 D 为二次函数的顶点， DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上(1)求抛物线的解析式；(2)DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等？若存在求出点 P，若不存在请说明理由；(3)如图 Z513，DE 的左侧抛物线上是否存在点 F，使 2SFBC 3S EBC ？若存在求出点F 的坐标，若不存在请说明理由图 Z512 图 Z513热点四：函数探索开放题4(2014 年广东广州)已知平面直角坐标系中两定点 A(1,0)，B(4,0) ，抛物线yax 2bx2(a0)过点 A，
3、B，顶点为 C，点 P(m，n)( n0)为抛物线上一点(1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；(2)当APB 为钝角时，求 m 的取值范围；(3)若 m ，当 APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移 t(0t )个单位，点32 52C，P 平移后对应的点分别记为 C，P，是否存在 t，使得首尾依次连接A，B ，P ，C 所构成的多边形的周长最短？若存在，求 t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由专题五 函数与图象【提升专项训练】1解：(1)根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且 m70，则 m7；(2)点 B 与点 A 关于 x 轴对称，设
4、AB 与 x 轴交点为 C，若OAB 的面积为 6，OAC 的面积为 3.设 A ，则 x 3，解得 m13.(x，m 7x ) 12 m 7x2解：(1)由正比例函数 yk 1x 的图象与反比例函数 y 的图象有一个交点坐标是k2x(2,4)，得 4 2k1,4 .k2 2解得 k12，k 28.正比例函数 y2x ；反比例函数 y .8x(2)联立正比例函数与反比例函数，得Error!解得Error! Error!这两个函数图象的另一个交点坐标(2，4) 3解：(1)二次函数 yx 2bxc 经过点 A(3,0)，点 C(0,3)，Error! 解得Error!抛物线的解析式 yx 22x
5、 3.(2)存在，当 P 在DAB 的平分线上时，如图 D107，作 PMAD，图 D107 图 D108 图 D108设 P(1，m)，则 PMPDsin ADE (4m)，55PEm，PNPE， (4m) m，m 1.55 5P 点坐标为(1， 1)5当 P 在DAB 的外角平分线上时，如图 D108，作 PNAD，设 P(1，n)，则 PNPDsin ADE (4n) ，55PEn，PNPE， (4n) n ，n 1.55 5P 点坐标为(1， 1)5综上可知存在满足条件的 P 点，其坐标为(1， 1)或(1， 1) 5 5(3)S EBC 3,2 SFBC 3S EBC ，S FBC
6、.92过 F 作 FQx 轴，交 BC 的延长线于 Q，如图 D109，S FBC FQOB FQ ，FQ9.12 12 92BC 的解析式为 y3x3，设 F(x0，x 2x 03)，203x 03x 2x 039.20解得 x0 或 (舍去) 1 372 1 372点 F 的坐标是( ， )1 372 3 37 1524解：(1)抛物线 yax 2bx2(a0)过点 A，B，Error! 解得Error!抛物线的解析式为 y x2 x2.12 32y x2 x 2 2 ，C( ， )12 32 12(x 32) 258 32 258(2)如图 D110，以 AB 为直径作圆 M，则抛物线在
7、圆内的部分，能使APB 为钝角，M ， M 的半径 .(32，0) 52P是抛物线与 y 轴的交点，OP2.MP .OP 2 OM252P在M 上P的对称点(3，2) 当1m0 或 3m4 时，APB 为钝角图 D110 图 D111(3)存在抛物线向左或向右平移，因为 AB，PC 是定值，所以 A，B，P，C所构成的多边形的周长最短，只要 AC BP 最小；第一种情况：抛物线向右平移，AC BP AC BP，第二种情况：向左平移，如图 D111，由(2) 可知 P(3，2)，又C ，C ，P(3 t ，2) (32， 258) (32 t， 258)AB5，P(2t，2)要使 ACBP最短，只要 ACAP最短即可，点 C关于 x 轴的对称点 C，(32 t，258)设直线 PC的解析式为 ykxb，代入 P，C的坐标可得Error!解得 Error!直线 y x t .4128 4128 1314当 P，A ，C在一条直线上时，周长最小， t 0.t .4128 4128 1314 1541故将抛物线向左平移 个单位连接 A，B，P，C 所构成的多边形的周长最短1541
