1、中档题型训练(六) 直角三角形的应用解直角三角形的应用是贵阳中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解仰角、俯角问题【例 1】(2015 东营中考)热气球的探测器显示，从热气球底部 A 处看一栋高楼顶部的仰角为 30，看这栋楼底部的俯角为 60，热气球 A 处与高楼的水平距离为 120m.这栋高楼有多高( 1.732，结果保留小数点后一3位)【解析】作 ADBC 构造
2、直角三角形求解【学生解答】1(2015 黄石中考)如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为 30，看台最低点 A 到最高点 B 的距离为10 ，A ，B 两点正前方有垂直于地面的旗杆 DE.在 A， B 两点处用仪器测量旗杆顶端 E 的仰角分别为 60和 15.3(仰角即视线与水平线的夹角 )(1)求 AE 的长；(2)已知旗杆上有一面旗在离地 1 米的 F 点处，这面旗以 0.5 米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？2(2015 达州中考)学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度 AB，其测量步骤如下：(1)在中心广场测点 C 处安
3、置测倾器，测得此时山顶 A 的仰角 AFH30；(2)在测点 C 与山脚 B 之间的 D 处安置测倾器(C、D 与 B 在同一直线上，且 C、D 之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部 E 的仰角EGH45；(3)测得测倾器的高度 CFDG1.5 米，并测得 CD 之间的距离为 288 米；已知红军亭高度 EA 为 12 米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度 AB.( 取 1.732，结果保留整数)3方位角问题【例 2】(2014 邵阳中考)一艘观光游船从港口 A 处以北偏东 60的方向出港观光，航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号一艘在港
4、口正东方向 B 处的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37方向，马上以 40 海里/小时的速度前往救援，求海警船到达事故船 C 处所需的大约时间( 温馨提示：sin53 0.8，cos530.6)【学生解答】3(2015 攀枝花中考)如图所示，港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60的方向一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向( 北偏西 30)以 vkm/h 的速度驶离港口 O，同时一艘快艇从港口 B 出发，沿北偏东 30的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C，在小岛 C 用 1h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去(1)快
5、艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间？(2)若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h，求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离坡度、坡比问题【例 3】(2015 内江中考)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60.已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡度为 1 (即 ABBC1 )，且 B，C ，E3 3三点在同一条直线上请根据以上条件求出树 DE 的高度 (测倾器的高度忽略不计)【学生解答】4(2014
6、 烟台中考)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤 AC 的坡角为 30，AC 的长为 米，钓竿 OA 的倾斜332角是 60，其长为 3 米，若 OA 与钓鱼线 OB 的夹角为 60，求浮漂 B 与河堤下端 C 之间的距离生活中的解直角三角形问题【例 4】(2015 绍兴中考)如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时，结点 D 与点 M 重合，且点 A、E、 D 在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位：cm) 如下：伞架 DE DF AE AF AB AC长度 36 36 36 36 86 86(1)求 AM 的长；(2)当BAC104时，求 AD
7、的长( 精确到 1cm)(备用数据：sin520.788，cos520.6157，tan521.2799)【学生解答】5(2015 重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形 ABCD，其中 ABCD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC 正前方有两艘渔船 M，N. 观察员在瞭望台顶端 P 处观测到渔船 M 的俯角 为 31，渔船 N 的俯角 为45.已知 MN 所在直线与 PC 所在直线垂直，垂足为 E，且 PE 长为 30 米(1)求两渔船 M，N 之间的距离(结果精确到 1 米) ；(2)已知坝高 24 米，坝长 100 米，背水坡 AD 的坡度 i10.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将
8、大坝的背水坡通过填筑土古方进行加固，坝底 BA 加宽后变为 BH，加固后背水坡 DH 的坡度 i11.75.施工队施工 10 天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的 2 倍，结果比原计划提前 20 天完成加固任务施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan310.60，sin310.52)相似三角形与圆【例 5】(2015 六盘水中考)如图，在 RtACB 中，ACB90，点 O 是 AC 边上的一点，以 O 为圆心，OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D，连接 OD.(1)求证：ADOACB.(2)若O 的半径为 1，求证： ACADBC.【学生解答】6(2015 遂宁中考)如图，AB 为O 的直径，直线 CD 切O 于点 D，AMCD 于点 M，BNCD 于点 N.(1)求证：ADCABD；(2)求证：AD 2AMAB ；(3)若 AM ，sinABD ，求线段 BN 的长185 35
