1、类型四 综合探究(2015 安徽)如图 1，在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 AB、CD 的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG 、DG，且AGDBGC.(1)求证：ADBC；(2)求证：AGDEGF ；(3)如图 2，若 AD、BC 所在直线互相垂直，求 的值ADEF【思路点拨】 (1)由线段垂直平分线的性质得到线段相等，进而根据 SAS 证明三角形全等，得到对应边相等；(2)由线段相等得到成比例线段，再根据等角之间的转化得到夹角相等，从而证得三角形相似；(3) 由垂直得到 90，由(1)的结论得到对应角相等，证得A
2、GB 是直角三角形，再证GAB45，由相似三角形的对应边成比例，结合特殊角三角函数值求出 的值ADEF【解答】 证明：(1)E 为 AB 中点，GE AB，GE 是线段 AB 的垂直平分线，AGGB.同理可证 GDGC.在AGD 与BGC 中， AG BG， AGD BGC，GD GC， )AGDBGC(SAS)，ADBC.(2)AGD BGC ，AGBDGC.AGBG，DGCG，且 E、F 分别为 AB，CD 中点，AGE AGB，DGF CGD ，12 12AGE DGF，易证 RtAGERtDGF ，AGDEGF， ，AGGE GDGFAGDEGF.(3)延长 AD 交 BC 延长线于点
3、 M，AD、BC 所在的直线互相垂直，DABABC90，即DAB ABGGBC90.AGDBGC，GADGBC，DABABGGAD90，GABGBA 90.又GABGBA，GAB45.由(2)得AGDEGF ， .GAGE DF2(1)证明两条线段相等，通常证明这两条线段所在的两个三角形全等；(2) 证明两个三角形相似，根据相似三角形的判定，通常需证明这两个三角形的角相等或对应边成比例；(3)求两边的比值，通常方法一是分别求出这两边的值，二是证明这两边所在的三角形相似，运用相似三角形的性质实现线段之比的转换，达到求解的目的在没有已知线段长度的情况下，通常要考虑与特殊角建立联系1(2015福州)
4、如图 1.在锐角 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 中点，F 为 AC 上一点，且AFEA，DM EF交 AC 于点 M.(1)求证：DM DA；来源:学优高考网(2)点 G 在 BE 上，且BDGC ，如图 2，求证：DEGECF ；来源:学优高考网 gkstk(3)在图 2 中，取 CE 上一点 H，使CFH B. 若 BG1，求 EH 的长来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网2(2015眉山)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 边的中点，沿 EC 对折矩形 ABCD，使 B 点落在点 P 处，折痕为EC，连接 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点(1)求证：四边形
5、 AECF 为平行四边形；(2)若AEP 是等边三角形，连接 BP，求证：APB EPC；(3)若矩形 ABCD 的边 AB6，BC 4，求CPF 的面积来源:gkstk.Com参考答案1(1)证明：DMEF，AMDAFE.AFEA，AMDA.DMDA.(2)证明：D，E 分别为 AB，BC 中点，DEAC.BDEA，DEGC.AFEA，BDEAFE.BDGGDECFEC.BDGC，GDEFEC.DEGECF.(3)BDGCDEB，BB，BDGBED. ，即 BD2BGBE.BDBE BGBDAFEA，CFHB，C180AB180AFECFHEFH.又FEHCEF，EFHECF. ，即 EF2
6、EHEC.EHEF EFEC又DEAC，DMEF，四边形 DEFM 是平行四边形EFDMDABD.BGBEEHEC.BEEC，EHBG1. 2.(1)证明：由折叠得到 BEPE，ECPB，E 为 AB 的中点，AEEB，即 AEPE.EBPEPB，EAPEPA.AEP 为EBP 的外角，AEP2EPB.设EPBx，则AEP2x，APE 90x，180 2x2APBAPEEPB90xx90，即 BPAF，AFEC.AEFC，四边形 AECF 为平行四边形；(2)证明：设 EC 与 BP 交于点 Q，AEP 为等边三角形，BAPAEP60，APAEEPEB.PECBEC，PECBEC60.BAPA
7、BP90，ABPBEQ90，BAPBEQ.在ABP 和EBC 中， APB EBC 90， BAP BEC，AP EB， )ABPEBC(AAS)EBCEPC，APBEPC；(3)过 P 作 PMDC，交 DC 于点 M，在 RtEBC 中，EB3，BC4，根据勾股定理得：EC 5，32 42S EBC EBBC ECBQ，12 12BQ .由折叠得：BP2BQ ，在 RtABP 中，AB6，BP ，根据勾股定理得：345 125 245 245AP ，AB2 BP2185四边形 AECF 为平行四边形，AFEC5，FCAE3.PF5 .185 75PMAD， ，即 .解得 PM ，则 SPFC FCPM 3 .PFAF PMAD 755 PM4 2825 12 12 2825 4225
