1、正弦定理A 组 基础巩固1在 ABC 中，已知 b40， c20， C60，则此三角形的解的情况是( )A有一解 B有两解C无解 D有解但解的个数不确定解析：由正弦定理 ，bsinB csinC得 sinB 1.bsinCc 403220 3 B 不存在即满足条件的三角形不存在答案：C2在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且 acosB acosC b c，则 ABC的形状是( )A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形解析： acosB acosC b c，由正弦定理得，sinAcosBsin AcosCsin Bsin Csin( A C)sin(
2、 A B)，化简得：cos A(sinBsin C)0，又 sinBsin C0，cos A0，即 A ， 2 ABC 为直角三角形答案：D3在 ABC 中，一定成立的等式是( )A asinA bsinB B acosA bcosBC asinB bsinA D acosB bcosA解析：由正弦定理 ，得 asinB bsinA.asinA bsinB csinC答案：C4在 ABC 中，已知 B60，最大边与最小边的比为 ，则三角形的最大角为( )3 12A60 B75C90 D115解析：不妨设 a 为最大边， c 为最小边，由题意有 ，即ac sinAsinC 3 12 .整理，得(
3、3 )sinA(3 )cosA.tan A2 ， A75，sinAsin 120 A 3 12 3 3 3故选 B.答案：B5在 ABC 中， BAC120， AD 为角 A 的平分线， AC3， AB6，则 AD 的长是( )A2 B2 或 4 C1 或 2 D5解析：如图，由已知条件可得 DAC DAB60. AC3， AB6， S ACD S ABD S ABC， 3AD 6AD 36 ，12 32 12 32 12 32解得 AD2.答案：A6在 ABC 中， A60， BC3，则 ABC 的两边 AC AB 的取值范围是( )A B(2,4 )3C(3 ，4 D(3,63 3解析：由
4、正弦定理，得 .ACsinB ABsinC BCsinA 332 AC2 sinB， AB2 sinC.3 3 AC AB2 (sinBsin C)32 32 3(sinB32cosB 12sinB)2 3(32sinB 32cosB)6 6sin( B30)(32sinB 12cosB)0 B120，30 B30150. sin(B30)1.36sin( B30)6.123 AC AB6.答案：D7已知在 ABC 中， a b ， A ， B ，则 a 的值为_3 3 4解析：由正弦定理，得 b a.asinBsinA 63由 a b a a ，解得 a3 3 .63 3 3 2答案：3 3
5、3 28若三角形三个内角的比是 123，最大的边是 20，则最小的边是_解析：三个内角和为 180，三个内角分别为 30，60，90.设最小的边为 x，最大的边为 20， ， x10，20sin90 xsin30最小的边是 10.答案：109在 ABC 中， B45， AC ，cos C ，求 BC 边的长10255解：cos C ，255sin C .1 cos2C1 (255)2 55sin Asin( B C)sin(45 C) (cosCsin C) .22 31010由正弦定理可得：BC 3 .ACsinAsinB103101022 210在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边
6、分别为 a， b， c.已知 a3，cos A ， B A .63 2(1)求 b 的值；(2)求 ABC 的面积解：(1)在 ABC 中，由题意知 sinA ，1 cos2A33又因为 B A ， 2所以 sinBsin cos A .(A 2) 63由正弦定理可得b 3 .asinBsinA36333 2(2)由 B A 得 2cosBcos sin A ，(A 2) 33由 A B C，得 C( A B)所以 sinCsinsin( A B)sin AcosBcos AsinB 33 ( 33) 63 63 .13因此 ABC 的面积S absinC 33 .12 12 2 13 322
7、B 组 能力提升11若 ABC 的三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， asinAsinB bcos2A a，2则 ( )baA2 B23 2C. D.3 2解析：由正弦定理得，sin 2AsinBsin Bcos2A sinA，即 sinB(sin2Acos 2A)2 sinA，故 sinB sinA，所以 .2 2ba 2答案：D12已知在 ABC 中， A B C123， a1，则 _.a 2b csinA 2sinB sinC解析： A B C123， A30， B60， C90. 2，asinA bsinB csinC 1sin30 a2sin A， b2sin
8、 B， c2sin C. 2.a 2b csinA 2sinB sinC答案：213.如图， D 是 Rt ABC 斜边 BC 上一点， AB AD，记 CAD ， ABC .(1)证明：sin cos2 0；(2)若 AC DC，求 的值3解：(1)证明： (2 )2 ， 2 2sin sin cos2 ，即 sin cos2 0.(2 2)(2)解：在 ADC 中，由正弦定理，得 ，DCsin ACsin 即 ，sin sin .DCsin 3DCsin 3由(1)得 sin cos2 ，sin cos2 (12sin 2 )，3 3由 2 sin2 sin 0，3 3解得 sin 或 s
9、in .32 330 ，sin ， . 2 32 314在 ABC 中，已知 ，且 cos(A B)cos C1cos2 C.a ba sinBsinB sinA(1)试确定 ABC 的形状；(2)求 的取值范围a cb解：(1) ， ，a ba sinBsinB sinA a ba bb a b2 a2 ab.cos( A B)cos C1cos2 C，cos( A B)cos( A B)2sin 2C.cos AcosBsin AsinBcos AcosBsin AsinB2sin 2C.2sin AsinB2sin 2C.sin AsinBsin 2C. ab c2. b2 a2 c2，即 a2 c2 b2. ABC 为直角三角形(2)在 ABC 中， B ， 2 A C ，sin Ccos A. 2 sin Acos A，a cb sinA sinCsinB sinA sinCsin 2 sin .a cb 2 (A 4)0 A ， A . 2 4 434 sin 1.1 sin ，22 (A 4) 2 (A 4) 2即 的取值范围为(1， a cb 2
