1、基本不等式及不等式的应用1.(2018江苏 ,13,5分 )在 ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c, ABC=120, ABC的平分线交AC于点 D,且 BD=1,则 4a+c的最小值为 .A组 自主命题 江苏卷题组五年高考答案 9解析 本题考查基本不等式及其应用 .依题意画出图形 ,如图所示 .易知 S ABD+S BCD=S ABC,即 csin 60+ asin 60= acsin 120, a+c=ac, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即 a= ,c=3时取“ =” .12 12 121a 1c11acca 4ac ca 4ac
2、32一题多解 1 作 DE CB交 AB于 E, BD为 ABC的平分线 , = = , DE CB, = = = , = , = . = + . = , 1= + +2 | | | , 1= , ac=a+c, + =1,BABC ADDC caADAC AEAB DEBC cacBE aac BA ED cac BCBD aac BA cac BC 2BD 2acB A B Ca c a c2a BAac2c BCacaac cac BA BC 1222()acac1a 1c 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即 a= ,c=3时取“ =” .11acca 4ac c
3、a 4ac 32一题多解 2 以 B为原点 ,BD所在直线为 x轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,则 D(1,0). AB=c,BC=a, A ,C . A,D,C三点共线 , , + c =0, ac=a+c, + =1, 4a+c=(4a+c) =5+ + 9,当且仅当 = ,即 a= ,c=3时取“ =” .3,22c c3,22a aAD DC1 2c32 a32 12a1a 1c11acca 4ac ca 4ac 322.(2017江苏 ,10,5分 )某公司一年购买某种货物 600吨 ,每次购买 x吨 ,运费为 6万元 /次 ,一年的总存储费用为 4x万元 .要使一年的总运费与总存
4、储费用之和最小 ,则 x的值是 .答案 30解析 本题考查基本不等式及其应用 .设总费用为 y万元 ,则 y= 6+4x=4 240.当且仅当 x= ,即 x=30时 ,等号成立 .600x 900x x900x易错警示 1.a+b 2 (a0,b0)中“ =”成立的条件是 a=b.ab2.本题是求取最值时变量 x的值 ,不要混同于求最值 .3.(2016江苏 ,14,5分 )在锐角三角形 ABC中 ,若 sin A=2sin Bsin C,则 tan Atan Btan C的最小值是.解析 sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C,即 sin Bcos
5、C+cos Bsin C=2sin Bsin C,亦即 tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C)=- = ,又 ABC为锐角三角形 , tan A= 0, tan B+tan C0, tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan Btan C= ,令 tan Btan C-1=t,则 t0, tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=8,当且仅当 t= ,即 tan Btan C=2时 ,取“ =” . tan Atan Btan C的最小值为 8.tan tan1 tan tanBCBC tan t
6、antan tan 1BC tan tantan tan 1BC tan tantan tan 1BC 22(tan tan )tan tan 1BCBC22( 1)tt 1 2t t 1t一题多解 由已知得 sin Bsin C= sin A,令 cos Bcos C=tcos A ,则 得 tan Btan C= tan A, -得 cos A= sin A-tcos A,即 (1+t)cos A= sin Atan A=2(1+t),故 tan Atan Btan C= tan2A= 2(1+t)2= =8,当且仅当 t=1,即 cos Bcos C=cos A,即 tan A=4时取等
7、号 .1212t121212t 12t 22(1 )tt 22(2 )tt考点 基本不等式及不等式的应用B组 统一命题、省 (区、市 )卷题组1.(2018天津文 ,13,5分 )已知 a,b R,且 a-3b+6=0,则 2a+ 的最小值为 .18b答案 14解析 本题主要考查运用基本不等式求最值 . a-3b+6=0, a-3b=-6, 2a+ =2a+2-3b 2 =2 =2 = .当且仅当 2a=2-3b,即 a=-3,b=1时 ,2a+ 取得最小值 ,为 .18b 322ab 32ab 62 1418b 14易错警示 利用基本不等式求最值应注意的问题 :(1)利用基本不等式求最值的前
8、提是“一正、二定、三相等” ,这三个条件缺一不可 .(2)在运用基本不等式时 ,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧 ,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件 .2.(2017山东文改编 ,12,5分 )若直线 + =1(a0,b0)过点 (1,2),则 2a+b的最小值为 .xa yb答案 8解析 本题考查基本不等式及其应用 .由题设可得 + =1, a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +2 4+2 =8 .故 2a+b的最小值为 8.1a 2b12abba 4ab 4baab 4 , 2 ,ba baab当 且 仅 当 即 时 等 号 成 立3.(2015湖南文改编 ,7
9、,5分 )若实数 a,b满足 + = ,则 ab的最小值为 .1a 2b ab答案 2 2解析 依题意知 a0,b0,则 + 2 = ,当且仅当 = ,即 b=2a时 ,“ =”成立 .因为 += ,所以 ,即 ab 2 ,所以 ab的最小值为 2 .1a 2b 2ab 22ab 1a 2b 1a 2bab ab 22ab 2 24.(2017天津改编 ,12,5分 )若 a,b R,ab0,则 的最小值为 .4441abab答案 4解析 本题考查基本不等式的应用 . a4+4b4 2a22 b2=4a2b2(当且仅当 a2=2b2时“ =”成立 ), =4ab+ ,由于 ab0, 4ab+
10、2 =4 当且仅当 4ab= 时“ =”成立 ,故当且仅当 时 , 的最小值为 4.4441abab2241abab 1ab1ab 14ab ab 1ab222,14abab ab 4441abab规律方法 利用基本不等式求最值 ,若需多次应用基本不等式 ,则要注意等号成立的条件必须一致 .5.(2014福建 ,13,4分 )要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造价是每平方米 20元 ,侧面造价是每平方米 10元 ,则该容器的最低总造价是 (单位 :元 ).答案 160解析 设底面相邻两边的长分别为 x m,y m,总造价为 T元 ,则 V=xy1=4x
11、y=4.T=420+(2x+2y)110=80+20(x+y) 80+202 =80+204=160(当且仅当 x=y时取等号 ).故该容器的最低总造价是 160元 .xy6.(2014上海 ,5,4分 )若实数 x,y满足 xy=1,则 x2+2y2的最小值为 .答案 2 2解析 x2+2y2 2 =2 xy=2 ,当且仅当 x= y时取“ =” , x2+2y2的最小值为 2 .222xy 2 2 2 27.(2015重庆 ,14,5分 )设 a,b0,a+b=5,则 + 的最大值为 .1a 3b答案 3 2解析 设 =m, =n,则 m,n均大于零 ,因为 m2+n2 2mn,所以 2(
12、m2+n2) (m+n)2,所以 m+n ,所以 + =3 ,当且仅当 = ,即 a= ,b= 时“ =”成立 ,所以所求最大值为 3 .1a 3b2 22mn1a 3b 2 13ab 21a 3b 72 32 28.(2014湖北 ,16,5分 )某项研究表明 :在考虑行车安全的情况下 ,某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数 ,单位 :辆 /时 )与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v行驶 ,单位 :米 /秒 )、平均车长 l(单位 :米 )的值有关 ,其公式为 F= .(1)如果不限定车型 ,l=6.05,则最大车流量为 辆 /时 ;(2)如果限定车型 ,l=5,则最大车流量比
13、(1)中的最大车流量增加 辆 /时 .2 76 00018 20vv v l答案 (1)1 900 (2)100解析 (1)当 l=6.05时 ,F= , F= = =1 900,当且仅当 v= ,即 v=11时取“ =” . 最大车流量 F为 1 900辆 /时 .(2)当 l=5时 ,F= = , F =2 000,当且仅当 v= ,即 v=10时取“ =” . 最大车流量比 (1)中的最大车流量增加 2 000-1 900=100辆 /时 .2 7 6 0 0 01 8 2 0 6 .0 5vvv 2 76 00018 121vvv 76 000121 18vv76 0001212 18
14、vv121v2 76 00018 20 5vvv 76 000100 18vv76 0001002 18vv100v9.(2014浙江文 ,16,4分 )已知实数 a,b,c满足 a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则 a的最大值是 .答案 63解析 b2+c2 2bc,即 2(b2+c2) b2+c2+2bc=(b+c)2, b2+c2 ,由 a+b+c=0,得 b+c=-a,由 a2+b2+c2=1,得 1-a2=b2+c2 = , a2 , - a ,故 a的最大值为 .2()2bc2()2bc 22a 23 63 636310.(2016山东理 ,16,12分 )在 ABC中 ,角
15、A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 2(tan A+tan B)= +.(1)证明 :a+b=2c;(2)求 cos C的最小值 .tancosABtancosBA解析 (1)由题意知 2 = + ,化简得 2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即 2sin(A+B)=sin A+sin B.因为 A+B+C=,所以 sin(A+B)=sin(-C)=sin C.从而 sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得 a+b=2c.(2)由 (1)知 c= ,所以 cos C= = - ,当且仅当 a=b时 ,等号成立 .故 cos C的最小值为 .
16、sin sinco s co sABsincos cosAAB sincos cosBAB2ab2 2 22a b cab22222ababab38 abba14 1212疑难突破 利用切化弦将已知等式等价转化 ,最终转化为三角形三角正弦之间的关系 ,从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系 .评析 本题考查了三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及基本不等式 ,综合性较强 ,重点考查了化归与转化的思想方法 ,属中档题 .(2013山东理改编 ,12,5分 )设正实数 x,y,z满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最大值时 , + - 的最大值为 .xyz 2x 1y 2zC组 教师专用题
17、组答案 1解析 由 x2-3xy+4y2-z=0,得 z=x2-3xy+4y2, = = .又 x、 y、 z为正实数 , + 4,当且仅当 x=2y时取等号 ,此时 z=2y2. + - = + - =- + =- +1,当 =1,即 y=1时 ,上式有最大值 1.xyz2234xyx xy y143xyyxxy 4yx2x 1y 2z 22y 1y222y21y 2y21 1y 1y评析 本题考查基本不等式的应用、二次函数求最值等知识 ,考查学生的运算能力 .填空题 (每题 5分 ,共 40分 )1.(2018江苏盐城中学高三期末 ,8)若 log4(a+4b)=log2 ,则 a+b的最
18、小值是 .ab三年模拟A组 2016 2018年 高考模拟 基础题 组(时间： 25分钟 分值： 40分 )答案 9解析 因为 log4(a+4b)=log2 =log4ab,所以 a+4b=ab,所以 + =1,所以 a+b= (a+b)=5+ 5+4=9,当且仅当 a=6,b=3时等号成立 ,故填 9.ab 1b 4a 14ba ab4ba思路点拨 先由题意得到 a+4b=ab,构造 + =1,然后将所求式子乘 1后变形 ,利用均值不等式求解 .1b 4a2.(2018苏锡常镇四市高三教学情况调研 (一 ),9)已知 a0,b0,且 + = ,则 ab的最小值是.2a 3b ab答案 2
19、6解析 a0,b0,且 + = , = + 2 , ab 2 ,当且仅当 = ,即 2b=3a时取等号 , ab的最小值是 2 .2a 3b abab 2a 3b 6ab 62a 3b63.(2018江苏南通高三调研 ,10)已知 a,b,c均为正数 ,且 abc=4(a+b),则 a+b+c的最小值为 .答案 8解析 abc=4(a+b), c= , a+b+c=a+b+ =a+b+ + 2 +2 =4+4=8,当且仅当 a= ,b= ,即 a=2,b=2时等号成立 .4( )abab4( )abab 4b 4a 4aa 4bb 4a 4b4.(2017江苏南通、扬州、泰州三模 ,11)若正
20、实数 x,y满足 x+y=1,则 + 的最小值是 .yx 4y答案 8解析 因为 x+y=1,且 x0,y0,所以 + = + = + +4 2 +4=4+4=8,当且仅当 = ,即 y=2x时取“ =” .所以 + 的最小值为 8.yx 4y yx 4( )xyy yx 4xy 4yxxyyx 4xyyx 4y5.(2017扬州上学期期中 ,11)若 a0,b2,且 a+b=3,则使得 + 取得最小值的实数 a=.4a 12b答案 23解析 因为 a+b=3,所以 a+b-2=1,又 a0,b2,所以 + = + =4+ + +1 9,当且仅当 = 时取等号 ,此时 a=2(b-2),结合
21、a+b=3,解得 b= ,a= .4a 12b 4( 2)aba 22abb 4( 2)ba 2ab4( 2)ba 2ab73 236.(2017江苏苏州高三期末 ,11)已知正数 x,y满足 x+y=1,则 + 的最小值为 .42x 11y答案 94解析 解法一 :令 x+2=a,y+1=b,则 a+b=4(a2,b1),+ = + = (a+b) = (5+4)= ,当且仅当 a= ,b= ,即 x= ,y= 时等号成立 .解法二 :设 a=x+2,b=y+1,则 + = + = + = + + +2 = ,当且仅当 a=2b时取等号 .42x 11y 4a 1b 14 41ab14 45
22、 baab14 94 83 43 23 1342x 11y 4a 1b aba 4abb 54 ba 4ab 54 14 947.(2016江苏苏州一模 ,13)已知 ab= ,a,b (0,1),则 + 的最小值为 .14 11a 21b答案 4+423解析 + = + =2+=2+=2+2+ ,由题意得 4a-10,4-4a0,所以原式 4+ 2 =4+ ,当且仅当 =时取等号 .11a 21b 11a 211 4a424 4 4 1aa424 4 4 1aa( 4 4 ) ( 4 1)3aa 13 4( 4 1 ) 2( 4 4 )4 4 4 1aaaa13 4( 4 1 ) 2( 4 4 )4 4 4 1aaaa 423 4(4 1)44a a2(4 4 )41aa8.(2016江苏泰州一模 ,13)若正实数 x,y满足 (2xy-1)2=(5y+2)(y-2),则 x+ 的最大值为 .12y答案 -1322解析 令 x+ =t(t0),则 (2yt-2)2=(5y+2)(y-2),(4t2-5)y2+(8-8t)y+8=0,因此 =(8-8t)2-32(4t2-5) 02t2+4t-7 000,x= 0,因此 x+ 的最大值为 -1.12y322 32224445tt 6 2 817 12 2 35 24 212 2 16 12y322
