1、2017 年全国高中 数学联赛江苏赛区初赛试卷 一填空题（本题共 10 小题，满分 70 分， 每小题 7 分） 1 已知向量 ( ) 1, 3 AP = ， ( ) 3,1 PB = ，则 AP 和 AB 的夹角等于 2 已知集合 ( ) ( ) 10 A x ax a x = ，且 2 A ，3 A ，则实数 a 的取值范围是 3 已知复数 22 cos sin 33 zi = + ，其中 i 为虚数单位，则 32 zz += 4 在平面直角坐标 系 xOy 中，设 12 , FF 分别是双曲线 ( ) 22 22 1 0, 0 xy ab ab = 的左、右焦点， P 是双曲线右支上一点
2、， M 是 2 PF 的中点，且 2 OM PF ， 12 34 PF PF = ，则双曲线的离心 率 为 5 定 义区间 12 , xx 的长度为 21 xx 若函数 2 log yx = 的定义域 为 , ab ，值域为 0, 2 ，则 区间 , ab 长度的最大值与最小值的差为 6 若关于 x 的二次方程 ( ) ( ) 2 2 1 20 0 mx m x m m + += 的两个互异的根都小于1 ， 则实数 m 的取值范围是 7 若 3 tan 4 3 x = ，则 sin 4 sin 2 sin cos8 cos 4 cos 4 cos 2 cos 2 cos x xx xx xx
3、x x + sin cos x x += 8 棱长为 2 的正方体 111 1 ABCD A B C D 在空间直角坐标系O xyz 中运动，其中顶点 A 保持 在 z 轴上，顶点 1 B 保持在平面 xOy 上，则OC 长度的最小值是 9 设数列 1 2 3 21 , aaa a 满足： ( ) 1 1 1 ,2 ,3 , ,2 0 nn aa n + = ， 1 7 21 , aaa 成等比数列 若 1 1 a = ， 21 9 a = ，则满足条件的不同数列的个数为 10对于某些正整数 n ，分数 2 2 37 n n + + 不是 既约分数，则 n 的最小值是 Math Institu
4、te 二解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分） 11设数列 n a 满足： 1 1 a = ； 0 n a ； 2 1 1 1 n n n na a na + + = + ， * nN 求证： （1 ）数列 n a 是递增数列； （2 ）对任意正整数 n ， 1 1 1 n n k a k = ，直线 : l 30 xy a += 若椭 圆 E 的离心率为 3 2 ，原点O 到直线 l 的距离为 32 （1 ）求椭圆 E 与直线l 的方程； （2 ）若椭圆 E 上三点 ( ) ( ) , 0, , , 0 PA b Ba 到直线 l 的距离分别为 123 , ddd 求证： 123 , ddd 可以是某三角形三条边的边长 13如 图 ，圆 O 是四边形 ABCD 的内切圆， 切点分别为 , PQRS ，OA 与 PS 交于点 1 A ，OB 与 PQ 交于点 1 B ，OC 与QR 交于点 1 C ，OD 与 SR 交于点 1 D 求证： 四边形 111 1 ABCD 是平行四边 形 14求满足 3 73 x xy y = 的所有素数 x 和 y Math Institute
