1、拐点偏移问题杨春波（高新区枫杨街 郑州外国语学校，河南 郑州 450001)新乡市 2017 届高三第二次模拟考试理科数学的导数大题如下：题目 已知函数 ()2ln31fxx=-（1 ）求曲线 在点 处的切线方程；y(),f（2 ）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小x )232axxx-+-a值；（3 ）若正实数 满足 ，证明：12,()()21211244ff +=12x+其中第（3）问等价于这样一个问题：已知函数 ，若正实数 满足 ，证明：()2lnfxx=+12,x()124fxf+=12x+先来看参考答案的证法：即 ，整理得()124ffx=2211lnln4xx+=，()()2
2、212124lx=-令 ，记函数 ，则 ，可知 在 上单调120txlgtt-tgtgt0,1递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，则,，()121212ln1xxt-=得 ，又 ，因此 成立()21126x+0+答案的证法简单、快捷上述证法在面对双变量等式 2211lnln4xx=时，既没有“单变量化” ，也没有采用“主元法” ，而是瞄准所证结论，配凑出，将剩余无关的式子统统放到一边，发现可将其看作 的函数，从()2112xx+ 12x而用函数的视角求得最小值，进行“局部放缩” ，最终获证答案的证法技巧性较强，可能难以想到，于是笔者努力去揭示题目的深层含义，试图给出更一般的证法注意到 ，
3、则 ，想证 ，即 ，这()12f=()()121fxff+=12x+12x或许和函数的中心对称性有关：若点 是 图象的对称中心，则由,可推得 ；现证 ，说明点 不是 图12fxff+12x12x(),fx象的对称中心，曲线 在穿过点 后发生了偏移，如图 1（示意图） y(),xy 4f2-x( )fx()fx2fx1 x22-x1x112O图 1求导得 ，则 在 上单调递增；()20fx=+()fx0,+，则 ，高等数学里，称点 是 图象的拐点类似于2f-1f )2(fx“极值点偏移”问题，不妨将此问题命名为“拐点偏移” ，仍可用“对称化构造”的策略来处理另证：若 都大于 1，则 ，与题设矛盾
4、；同理12,x()1214fxff+=也不能都小于 1于是可设 ，12,x0)2121xfxfx+-，()(1 1442f f-+-构造函数 ， ，则)Fxx=+0,()()2121ffxx-=-+，140x=-得 在 上单增，有 ，得证()Fx0,1()()124xFf=笔者认为上述证法更具有一般性，笔者也相信：“拐点偏移”将会是一个新的命题热点，仿照“极值点偏移”的命题思路， “拐点偏移”的试题将如雨后春笋般破土而出最后附几张对比图来帮助读者快速理解“极值点偏移”和“拐点偏移” 1.极值点偏移（ ）0fx无偏移 偏移之后xfx()x0 x2x1 xf2x0x fx()x0 x22x0-x1x1210ff01ff02.拐点点偏移（ ）f无偏移 偏移之后xy fx()x2f(x2)x1f(x1)x0f(x0)Oxy 2fx0f2x0x fx()x22x0-x1f(x2)x1f(x1) x0f(x0)O120fxffx120201fxffxx0点评：极值点偏移关联于函数的轴对称性，拐点偏移关联于函数的中心对称性；不发生偏移时，又可分别对应二次函数与三次函数，妙哉！
