1、滚动小专题( 八) 四边形的有关计算与证明1(2016长春)如图，在ABCD 中，点 E 在边 BC 上，点 F 在边 AD 的延长线上，且 DFBE ，EF 与 CD 交于点G.(1)求证：BD EF；(2)若 ，BE4，求 EC 的长DGGC 23解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC.DFBE.来源:gkstk.ComDFBE， 四边形 BEFD 是平行四边形BDEF.(2)四边形 BEFD 是平行四边形 ，DFBE4.DFEC，DFG CEG. .DGCG DFCECE 4 6.DFCGDG 322(2016苏州)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于
2、点 O，过点 D 作对角线 BD 的垂线交 BA 的延长线于点 E.(1)求证：四边形 ACDE 是平行四边形；(2)若 AC8， BD6，求 ADE 的周长解：(1)证明：四边形 ABCD 是菱形，ABCD ，ACBD.AECD，AOB90.又DEBD，即EDB90 ，AOBEDB.DEAC.四边形 ACDE 是平行四边形 来源:学优高考网 gkstk(2)四边形 ABCD 是菱形， AC8，BD6，AO4，DO3，ADCD5.又四边形 ACDE 是平行四边形 ，AECD5，DEAC8.ADE 的周长为 ADAEDE55818.来源:学优高考网 gkstk3(2016台州)如图，点 P 在矩
3、形 ABCD 的对角线 AC 上，且不与点 A，C 重合，过点 P 分别作边 AB，AD 的平行线，交两组对边于点 E，F 和点 G，H.(1)求证：PHCCFP；(2)证明四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD ，ADBC.又EFAB ， GHAD，EFCD ，GH BC.CPFHCP，CPHPCF.PC PC，PHC CFP(ASA) (2)证明：由(1)知 ABEFCD，ADGHBC，四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是平行四边形四边形 ABCD 是矩形，DB90.四边形 PEDH 和四边形 P
4、FBG 都是矩形S 矩形 PEDHS 矩形 PFBG.4(2016遵义)如图，矩形 ABCD 中，延长 AB 至 E，延长 CD 至 F，BEDF，连接 EF，与 BC、AD 分别相交于P、Q 两点来源:学优高考网 (1)求证：CPAQ；(2)若 BP1，PQ 2 ，AEF45，求矩形 ABCD 的面积2解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，AABC C ADC90，ABCD，AD BC，ABCD，ADBC.EF.BEDF， AECF.在CFP 和AEQ 中， C A，CF AE， F E， )CFPAEQ(ASA)CP AQ.(2)ADBC，PBE A 90.AEF45，BEP、AEQ
5、是等腰直角三角形BEBP 1， AQAE.PE BP .2 2EQPEPQ 2 3 .2 2 2AQAE 3.ABAEBE2.CP AQ3，BCBPCP134.S 矩形 ABCD ABBC24 8.5(2016毕节)如图，已知 ABC 中，ABAC，把ABC 绕 A 点沿顺时针方向旋转得到ADE，连接 BD，CE交于点 F.(1)求证：AECADB ；(2)若 AB2， BAC 45，当四边形 ADFC 是菱形时 ，求 BF 的长解：(1)证明：由旋转的性质得：ABCADE.ABAC ，AEAD ，ACAB，BACDAE.BACBAEDAEBAE，即CAEDAB.在AEC 和ADB 中， AE
6、 AD， CAE BAD，AC AB， )AECADB(SAS) (2)四边形 ADFC 是菱形，且BAC45，DBABAC45.由(1)得，AB AD，DBABDA45.ABD 是等腰直角三角形BD 22AB 2，即 BD AB2 .2 2ADDFFCACAB2.BF BDDF2 2.26准备一张矩形纸片 ABCD，按如图所示操作：将ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点；将CDF 沿 DF 翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的 N点(1)求证：四边形 BFDE 是平行四边形；(2)若四边形 BFDE 是菱形， AB2，求菱形 BFDE 的面积解：(1)证明：四边
7、形 ABCD 是矩形，AC90，ABCD.由翻折得 BMAB ，DNDC ，A EMB，C DNF，BMDN，EMB DNF90.BNDM ， EMDFNB 90.ADBC， EDMFBN.EDMFBN(ASA)EDFB.四边形 BFDE 是平行四边形来源:学优高考网 gkstk(2)四边形 BFDE 是菱形，EBDFBD.ABEEBD，ABC90，ABE 9030.13在 Rt ABE 中 ，AB 2，AE ，BE .233 433ED ，AD2 .433 3S ABE ABAE ，12 233S 矩形 ABCDABAD 4 .3S 菱形 BFDE4 2 .3233 8337(2016济宁)
8、如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，延长 CB 至点 F，使 CFCA，连接AF，ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N，M，连接 EO.(1)已知 EO ，求正方形 ABCD 的边长；2(2)猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明解：(1)四边形 ABCD 是正方形 ，AOOC，ABC 是等腰直角三角形在ACF 中， ACCF，CF 平分ACF，AEEF.EO 为AFC 的中位线CF 2EO2 .AC2 .AB 2.2 2AC2(2)EM CN.12证明：CF CA，CE 是ACF 的平分线，CEAF. AENCBN90.ANE CNB，BAF BCN.在ABF 和 CBN 中， BAF BCN，AB CB， ABF CBN 90， )ABF CBN(ASA)AFCN.BAF BCN，ACNBCN，BAF OCM.四边形 ABCD 是正方形，ACBD. ABFCOM90.ABF COM. .CMAF COAB ，即 CM CN.CMCN COAB 22 22由(1)知 EOBC，EOMCBM. .EOCB EMCM 22EM CM CN CN.22 22 22 12
