1、第四章 三角形第 22 课时 相似三角形基础过关1. (2015 东营)若 ，则 的值为( )yx 34 x yxA. 1 B. C. D. 47 54 742. (2016 盐城校级月考)给出 4 个判断：所有的等腰三角形都相似；所有的等边三角形都相似；所有的直角三角形都相似；所有的等腰直角三角形都相似其中判断正确的个数有( )A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个3. (2016 河北)如图，ABC 中，A78，AB4，AC 6.将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )第 3 题图4. (2016 兰州)已知ABCDEF，若ABC 与DEF
2、的相似比为 ，则ABC 与34DEF 对应中线的比为 ( )A. B. C. D. 34 43 916 1695. (2016 安徽)如图，ABC 中，AD 是中线，BC8，BDAC，则线段 AC 的长为( )A. 4 B. 4 C. 6 D. 42 3第 5 题图 第 6 题图6. (2016 咸宁)如图，在ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连接 DE.下列结论： ； ； ； .其中正确的个数有( )DEBC 12 S DOES COB 12 ADAB OEOB S ODES ADE 13A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个7. (2016 济宁)如图，ABCD
3、EF，AF 与 BE 相交于点 G，且AG2 ，GD1，DF 5，那么 的值等于_BCCE第 7 题图 第 8 题图8. (2016 随州)如图，在ABC 中，ACB90 ，M、N 分别是 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 D，使 CD BD，连接 DM、DN、MN.若 AB6，则 DN_139. (2016 临沂)如图，在ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB、AC、BC 上，DEBC，EF AB ，若 AB8，BD3，BF4，则 FC 的长为_第 9 题图 第 10 题图10. (2016 盐城射阳一模)如图，王华晚上由路灯 A 下的 B 处走到 C 处时，测得影子CD 的长为 1
4、米，继续往前走 3 米到达 E 处时，测得影子 EF 的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯 A 的高度 AB_米11. (2016 杭州)如图，在 ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AEDB ，射线 AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 .ADAC DFCG(1)求证：ADF ACG ; (2)若 ，求 的值ADAC 12 AFFG第 11 题图12. (2016 南京一模)如图，在四边形 ABCD 中， AC、BD 相交于点 F，点 E 在 BD 上，且 .ABAE BCED ACAD(1)1 与2 相等吗？为什么？(2)判断ABE 与ACD 是否
5、相似？并说明理由第 12 题图满分冲关1. (2015 常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则称这两个扇形相似如图，如果扇形 AOB 与扇形 A1O1B1是相似扇形，且半径 OAO 1A1k(k 为不等于 0 的常数)那么下面四个结论：AOBA 1O1B1；AOBA1O1B1； k；扇形 AOB 与扇形 A1O1B1的面积之比为 k2.成立的个数为( )ABA1B1第 1 题图A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4 个2. (2016 绵阳 )如图，点 E，点 F 分别在菱形 ABCD 的边 AB，AD 上，且AEDF，BF 交 DE 于点 G，延长 BF 交 CD 的
6、延长线于点 H，若 2，则 的值为AFDF HFBG( )第 2 题图A. B. C. D. 23 712 12 5123. (2016 龙东地区 )已知：在平行四边形 ABCD 中，点 E 在直线 AD 上，AE AD，13连接 CE 交 BD 于点 F，则 EFFC 的值是_4. (2016 扬州二模)已知：如图，在ABC 中，ADBC，垂足为点 D，BEAC ，垂足为点 E，M 为 AB 边的中点，连接 ME、MD、ED.设 AB4，DBE30，则EDM 的面积为 _第 4 题图 第 5 题图5. (2016 南京一模)如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(0，1)和( ，
7、0)，若在第四象限存在点 C，使得OBC 和OAB 相似，则点 C 的坐标是3_6. (2015 武汉)如图，ABC 中，点 E，P 在边 AB 上，且 AEBP ，过点 E，P 作 BC的平行线，分别交 AC 于点 F，Q.记AEF 的面积为 S1，四边形 EFQP 的面积为 S2，四边形 PQCB 的面积为 S3.(1)求证：EFPQ BC；(2)若 S1S 3S 2，求 的值；PEAE(3)若 S3S 1S 2，直接写出 的值PEAE第 6 题图答案基础过关1. D 【解析】 ， 1 ，原式1 .yx 34 x yx yx 34 742. B 【解析】所有的等腰三角形不一定相似，不正确；
8、所有的等边三角形都相似，正确；所有的直角三角形不一定相似，不正确；所有的等腰直角三角形都相似，正确正确的有 2 个3. C 【解析】根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得 A 和 B 都正确；根据有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得 D 正确，C 中 AC6，不是BC6，C 错误4. A 【解析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，则ABC 与DEF 对应中线的比为 .345. B 【解析】BDAC，CC，ABCDAC. ，即BCAC ACDCAC2BCDC.AD 是中线，BC8，DC BC4.AC 284，AC 4 .12 26. C 【解析】BE、CD 都是
9、中线，点 D、点 E 分别是边 AB、AC 的中点，DE BC，DE BC，结论正确；DEBC，DOE COB，其相似比为1212，面积比为相似比的平方，即 ( )2 ，结论错误；S DOES COB DEBC 14DOE COB， ，由ADE ABC 可知，OEOB DECB 12 ， ，结论正确；在ABE 中，点 D 是边 AB 的中点，ADAB DEBC 12 ADAB OEOBADE 和BDE 等底等高，两个三角形面积相等在BDE 中，ODE 和ODB 共高，底边比为 ，ODE 和ODB 面积比为 12，ODE 和EDB 面积比OEOB DECB 12为 13，结论正确综上，正确的个数
10、有 3 个7. 【解析】AB CD EF， ，而 ADAGGD3，DF5， 的35 BCCE ADDF BCCE值为 .358. 3 【解析】点 M、N 分别是线段 AB、AC 的中点， ，又ANAC 12CD BD， ，在DNC 和BAC 中，两边对应成比例，且夹角都等于13 DCBC 1290，DNC BAC， ，DN AB3.DNBA DCBC 12 129. 2.4 【解析】DE BC，EFAB，四边形 BFED 是平行四边形，EFBD3.EF AB， ，BCBFFC 4FC ， ，解得EFAB FCBC 38 FC4 FCFC2.4.10. 6 【解析】如解图，当王华在 C 处时，R
11、tDCGRt DBA ，即 ；当王CDBD CGAB华在 E 处时，RtFEHRtFBA，即 ， ，CGEH1.5EFBF EHAB CGAB CDBD EFBF米，CD1 米，CE3 米，EF2 米，设 ABx ，BCy，由 ，得 ，即 2(y1)y 5，解得 y3，BD BCCD4，则CDBD EFBF 1y 1 2y 5 ，解得 x6 米即路灯 A 的高度 AB6 米1.5x 14第 10 题解图11. (1)证明：AED B，DAE CAB，ADF C，又 ，ADAC DFCGADF ACG；(2)解：ADF ACG ， ，ADAC AFAG又 ，ADAC 12 ，AFAG 12 1.
12、AFFG12. 解：(1)1 与2 相等；在ABC 和AED 中， ，ABAE BCED ACADABCAED ，BACEAD ，12；(2)ABE 与 ACD 相似理由：由 ，得 ，ABAE ACAD ABAC AEAD在ABE 和 ACD 中， ，12，ABAC AEADABE ACD.满分冲关1. D 【解析】由扇形相似的定义可得： ，所以 nn 1，故正确；n r180n1 r1180 rr1AOB A1O1B1，OAO 1A1k，AOB A1O1B1，故正确；AOBA1O1B1，故 k，故正确；由扇形面积公式 可得到正确ABA1B1 OAO1A1 n r23602. B 【解析】设
13、AF2x，则 DFx AE，BE2x.四边形 ABCD 是菱形，ABCD，DHF ABF， ，BF2HF，HD AB1.5x，同理DHG EBG，HDBA DFAF HFBF 12 12 ， ，过点 E 作 EMBH，交 AD 于点 M，如解图，HDBE HGBG DGEG 1.5x2x 34 DGDE 37则 ，AEM ABF，则 ，BF3ME7FG，则FGEMDGDE 37 MEBF AEAB 13BG6 FG， ，HF 3.5FG， .HFBF 12 HFBG 3.56 712第 2 题解图3. 23 或 43 【解析】点 E 在直线 AD 上，分两种情况进行讨论：当点 E 在边 AD上
14、时，如解图，四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ，DEFBCF，EF CFDE BC.又AE AD，DE BC23，EFCF 23；当13点 E 在 DA 的延长线上时，如解图，四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC.DEF BCF，EF CFDEBC ，又AE AD，DEBC43，EFCF43. 综上可得 EFFC23 或 43.13第 3 题解图4. 【解析】在ABC 中，ADBC，BEAC，ABE，ADB 是直角三角形，3EM，DM 分别是它们斜边上的中线，EMDMAM BM AB，MAE MEA，BME2MAE，同理，12MADMDA，BMD2MAD，EMDBMEBMD2M
15、AE2MAD2DAC 60，DEM 是边长为 2 的等边三角形，S DEM .35. ( ，1)或( ，3)或( ， )或( ， )3 334 34 334 34【解析】A(0，1)，B( ，0)，3OA 1，OB ，AB 2，ABO30.当OBC90时，如解图3 OA2 OB2，若BOCOBA，则BOCABO 30 ，BCOA1，OB ，C( ，1)；若BCOOBA，则3 3BOCBAO 60， OB ，BC OB3，C( ，3)；当OCB90时，3 3 3如解图，过点 C 作 CPOB 于点 P，当CBOOBA 时，OBCABO 30， OC OB ，同理：12 32OP OC ，PC O
16、P ，C( ， )；当CBOOAB 时，12 34 3 34 34 34BOCABO 30， BC OB ，同理：12 32BP BC ，PC BP ，OPOB BP ，C( ， )；综上所述：12 34 3 34 334 334 34点 C 的坐标为( ，1)或( ，3)或( ， )或( ， )3 334 34 334 34第 5 题解图6. (1)证明：如解图，过点 Q 作 QNAB 交 BC 于点 N，PQ BC，四边形 PQNB 是平行四边形，第 6 题解图BNPQ，QNPBAE，QNAB ，EF BC，EAF NQC, AFEC，AEF QNC(AAS)，EFNC，CNBN EFPQ
17、BC.【一题多解】如解图，过点 C 作 CDAB，交 PQ 的延长线于点 D，BCPQ，四边形 BCDP 是平行四边形，DCQA，CQDAQP，第 6 题解图BPCD，PD BC .EFBCPQ ，AFE AQP，CQDAFE.AEBP，AE CD，CQDAFE(AAS)，QDFE，EFPQQDPQDPBC；(2)解：EFPQ BC，AEF APQABC， ，S1S1 S2 AE2AP2 AE2（ AE PE） 2整理得 S2 S1；2AEPE PE2AE2同理 ，S1S1 S2 S3 AE2AB2 AE2（ AE PE PB） 2 AE2（ 2AE PE） 2S 1S 3S 2， ，S1S1
18、 S2 S3 S12S2 AE2（2AE PE）2整理得 S2 S1，（2AE PE）22AE2即 S1 S1，2AEPE PE2AE2 （ 2AE PE） 22AE2整理得 PE24AE 2， 2.PEAE【一题多解】作ABCT，设 PQ、EF 的延长线分别交 CT 于点 D，G ，如解图，第 6 题解图EFBCPQ AT ，四边形 BCDP，AEGT，EPDG 均为平行四边形，则 SBCDPS AEGTS 1S 3，SEPDG2S 2.S 1S 3S 2，S EPDG2S BCDP.PE2BP2AE ， 2.PEAE(3)解： .PEAE 2【解法提示】AEF ABC， ，S1S1 S2 S3 AE2AB2 AE2（ AE PE PB） 2 AE2（ 2AE PE） 2S 3S 1S 2， .S1S1 S2 S3 S12S3 AE2（ 2AE PE） 2整理得 S3 S1，（ 2AE PE） 22AE2又S 2 S1，2AEPE PE2AE2 S1S 1 S1, （ 2AE PE） 22AE2 2AEPE PE2AE2整理得 PE22AE 2， .PEAE 2
