1、第三章综合素能检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(20132014吉林省高二期末)已知点 A(1， )，B( 1,3 )，则直线 AB 的倾斜角3 3是( )A60 B30C120 D150答案 C解析 直线 AB 的斜率为 ，则直线 AB 的倾斜角是 120.33 3 1 1 32(20132014福州八中高一期末)如果 AB0， 0，故AB CB AB CB直线 AxBy C0 经过第一、二、三象限，不经过第四象限3(20132014江苏淮安高一期末)已知点 A(1
2、，2) ，B(m,2)，且线段 AB 的垂直平分线的方程是 x 2y20，则实数 m 的值是( )A2 B7C3 D1答案 C解析 由已知条件可知线段 AB 的中点( ，0) 在直线 x2y20 上，把中点坐1 m2标代入直线方程，解得 m3.4已知直线(2m 2m3)x (m 22m)y4m 1 在 x 轴上的截距为 1，则实数 m 的值为( )A2 或 B2 或12 12C2 或 D2 或12 12答案 A解析 由题意，知直线过点(1,0)，代入直线方程整理得 2m25m20，解得 m2或 m .125(20132014兰州一中高一期末)经过直线 l1：x 3y40 和 l2：2xy50
3、的交点，并且经过原点的直线方程是( )A19x9y0 B9x 19y0C3x 19y0 D19x3y0答案 C解析 解Error!得Error!，即直线 l1，l 2 的交点是( ， )，由两点式可得所求直线的197 37方程是 3x19 y0.6已知直线 l1：(k 3)x(5k)y10 与 l2：2(k3)x2y30 垂直，则 k 的值是( )A1 或 3 B1 或 5C1 或 4 D1 或 2答案 C解析 由题意得 2(k3) 2 2(5k )0，整理得 k25k 40，解得 k1 或 k4.故选 C.7已知直线(3k1)x ( k2)yk 0，则当 k 变化时，所有直线都通过定点( )
4、A(0,0) B( ， )17 27C( ， ) D( ， )27 17 17 114答案 C解析 直线方程变形为 k(3xy 1) (2yx)0，则直线通过定点 ( ， )27 178与直线 y2x 3 平行，且与直线 y3x4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是( )Ay2x4 By x412Cy 2x Dy x83 12 83答案 C解析 直线 y2x 3 的斜率为2，则所求直线斜率 k2，直线方程 y3x4中，令 y0，则 x ，即所求直线与 x 轴交点坐标为( ，0)故所求直线方程为43 43y2( x )，即 y2x .43 839(20132014广东省高一期末)直线 x2y10
5、 关于直线 x1 对称的直线方程是( )Ax2y10 B2x y10C2x y30 Dx2y30答案 D解析 将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点 ”：在直线x2y10 上取一点 P(3,2)，点 P 关于直线 x1 的对称点 P(1,2)必在所求直线上，只有选项 D 满足10(20132014吉林模拟) 已知直线 l 的倾斜角为 135，直线 l1 经过点 A(3,2)，B(a， 1)，且 l1 与 l 垂直，直线 l2：2xby10 与直线 l1 平行，则 ab 等于( )A4 B2C0 D2答案 B解析 因为 l 的斜率为 tan1351，所以 l1 的斜率为 1，所以
6、 kAB 1，2 13 a解得 a0.又 l1l 2，所以 1，解得 b2，所以 a b2，故选 B.2b11已知两直线的方程分别为 l1：x ayb0，l 2：x cyd0，它们在坐标系中的关系如右图所示，则( )Ab0，d0，dcCb0，acDb0 ，a 0， 0，所以 c0.1a 1c ba dc12等腰直角三角形 ABC 中，C90，若点 A，C 的坐标分别为(0,4) ，(3,3)，则点B 的坐标可能是( )A(2,0)或(4,6) B(2,0)或(6,4)C(4,6) D(0,2)答案 A解析 设 B(x，y )，根据题意可得Error!，即Error!，解得Error!或Erro
7、r!，所以 B(2,0)或 B(4,6)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知点 A(3,2)，B(2，a) ，C (8,12)在同一条直线上，则 a_.答案 8解析 根据题意可知 kACk AB，即 ，解得 a8.12 28 3 a 2 2 314与直线 7x24y 5 平行，并且距离等于 3 的直线方程是_答案 7x24y 700 或 7x24y800解析 设所求直线为 7x24 ym0.把直线 7x24y 5 整理为一般式得 7x24y50.由两平行直线间的距离公式得： 3，|m 5|72 242解得 m70 或80，故所求直线
8、方程为 7x24y 700 或 7x24y800.15若动点 A，B 分别在直线 l1：xy70 和 l2：xy50 上移动，则 AB 的中点M 到原点的距离的最小值为_ 答案 3 2解析 依题意，知 l1l 2，故点 M 所在直线平行于 l1 和 l2，可设点 M 所在直线的方程为 l：xym0，根据平行线间的距离公式，得 | m7|m 5|m 6，即 l：xy6 0，根据点到直线的距离公式，|m 7|2 |m 5|2得 M 到原点的距离的最小值为 3 .| 6|2 216(2009高考全国卷)若直线 m 被两平行线 l1：x y10 与 l2：xy30 所截得的线段的长为 2 ，则 m 的
9、倾斜角可以是15 30 45 60 75，其中正2确答案的序号是_( 写出所有正确答案的序号)答案 解析 两平行线间的距离为d ，|3 1|1 1 2由图知直线 m 与 l1 的夹角为 30，l 1 的倾斜角为 45，所以直线 m 的倾斜角等于 304575 或 453015.点评 本题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想是高考在直线知识命题中不多见的较为复杂的题目，但是只要基础扎实、方法灵活、思想深刻，这一问题还是不难解决的所以在学习中知识是基础、方法是骨架、思想是灵魂，只有以思想方法统领知识才能在考试中以不变应万变三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70
10、分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)(2014河南省郑州市高一上学期期末试题)已知直线 l 经过点P( 2,5)且斜率为 ，34(1)求直线 l 的方程；(2)若直线 m 平行于直线 l，且点 P 到直线 m 的距离为 3，求直线 m 的方程解析 (1)直线 l 的方程为： y5 (x2) 整理得343x4y140.(2)设直线 m 的方程为 3x4yn0，d 3，|3 2 45 n|32 42解得 n1 或29.直线 m 的方程为 3x4y10 或 3x4y290.18(本小题满分 12 分)在ABC 中，已知 A(5，2) ，B(7,3)，且 AC 边的
11、中点 M 在 y轴上，BC 边的中点 N 在 x 轴上，求：(1)顶点 C 的坐标；(2)直线 MN 的方程解析 (1)设点 C 的坐标为(x，y)，则有 0， 0，x 52 3 y2x5，y3，故 C 的坐标为( 5，3)(2)由题意在，M(0， )，N(1,0)，52直线 MN 的方程为 x 1，即 5x2y 50.y 5219(本小题满分 12 分)(20132014福州八中高一期末)求经过两直线 3x4y 50与 2x3y80 的交点 M，且与直线 l1：2xy50 平行的直线 l2 的方程，并求 l1 与 l2间的距离解析 由Error!解得Error!，所以交点 M(1,2)由直线
12、 l2 与直线 l1：2xy 50 平行，得直线 l2 的斜率为 2.所以直线 l2 的方程为 y22( x1) ，即 2xy 0.由两平行直线间的距离公式，得 l1 与 l2 间的距离为 .|5 0|22 12 520(本小题满分 12 分)根据下列条件求直线方程：(1)已知直线过点 P(2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为 1；(2)过两直线 3x2y10 和 x3y 40 的交点，且垂直于直线 x3y40.解析 (1)设所求直线的方程为 1.xa yb由题意得Error!解得Error!或Error!故所求直线方程为 y1 或 1，x2 x 1 y 2即 x2y20 或 2xy20.
13、(2)解法一：设所求直线方程为 3x2y1 (x3y 4) 0，即(3)x(3 2)y(1 4)0.由所求直线垂直于直线 x3y40，得 ( ) 1.13 3 3 2解得 .310故所求直线方程是 3xy 20.解法二：设所求直线方程为 3xym 0.由Error!解得Error!即两已知直线的交点为(1， 1)又 3xym0 过点(1，1) ，故31m0，m2.故所求直线方程为 3xy 20.21(本小题满分 12 分)直线过点 P( ，2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，43O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)AOB 的周长为 12；(2)AOB
14、的面积为 6.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由解析 设直线方程为 1(a0，b0)，xa yb若满足条件(1)，则 ab 12， a2 b2又直线过点 P( ，2) ， 1. 43 43a 2b由可得 5a232a480，解得Error!或Error!所求直线的方程为 1 或 1，x4 y3 5x12 2y9即 3x4y120 或 15x8y360.若满足条件(2)，则 ab12， 由题意得， 1， 43a 2b由整理得 a26a80，解得Error!或Error!所求直线的方程为 1 或 1，x4 y3 x2 y6即 3x4y120 或 3xy60.综上所述：存在同时满足(1)(2
15、)两个条件的直线方程，为 3x4y120.22(本小题满分 12 分)有定点 P(6,4)及定直线 l：y4x，点 Q 是 l 上在第一象限内的点，PQ 交 x 轴的正半轴于点 M，问点 Q 在什么位置时，OMQ 的面积最小，并求出最小值解析 如图，由点 Q 在直线 y4x 上，设点 Q(x0,4x0)，且x00.需求直线 PQ 与 x 轴的交点 M 的横坐标，因为 SOQM |OM|4x0f(x 0)是 x0 的函数，利用函数求最小值的方法求12得面积的最小值及点 Q 的坐标设点 Q(x0,4x0)(x00 且 x06) ，直线 PQ 的方程为 y4 (x6)4x0 4x0 6令 y0 得 x ，5x0x0 1点 M 的坐标为( ，0)5x0x0 1设OMQ 的面积为 S，则 S |OM|4x0 ，12 10x20x0 1即 10x Sx 0S0.20x 0R，关于 x0 的一元二次方程有实根S 240S 0，即 S40.当 S40 时，x 02,4x 08，点 Q 的坐标为(2,8) 而当 x06 时，点 Q 的坐标为(6,24)，此时 S 6247240，不符合要求12故当点 Q 的坐标为(2,8) 时， OMQ 的面积最小，且最小值为 40.
