1、专题四 三角形、四边形综合问题探究1(2017宜宾中考模拟)如图，在ABC中，ACB90，M，N 分别是AB，AC 的中点，延长BC至点D，使CD BD，连结DM ，DN，MN. 若AB6，则DN_ 3_132(2016宜宾中考改编)如图，BD是ABC的角平分线，它的垂直平分线 EG分别交AB，BD，BC 于点E，F，G，连结ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若ABC30，C45，ED2 ，点H 是BD上的一个动点，求HGHC的最小值10解：(1)四边形EBGD是菱形理由：EG垂直平分BD，EBED，GBGD，DFBF，EBDEDB，EBDDBC，EDFGBF.在
2、EFD和 GFB中， EDF GBF，DF BF， EFD GFB， )EFDGFB，EDBG，BEEDDGGB，四边形EBGD是菱形；(2)作EMBC于M，DNBC于N ，连结EC交BD于点H ，此时 HGHC最小在Rt EBM中，EMB90，EBM30，EBED2 ，10EM BE .12 10DEBC，EMBC，DNBC，EMDN，EMDN ，10MNDE2 .10在Rt DNC中，DNC90，DCN45，NDCNCD45，DNNC ，MC3 ，10 10在Rt EMC中，EMC90，EM ，MC3 ，10 10EC 10.EM2 MC2 （10）2 （310）2HGHCEHHCEC，H
3、GHC的最小值为10.3如图，点O是ABC 内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形；(2)若M 为EF的中点，OM3，OBC和OCB互余，求DG的长度解：(1)D，G分别是AB ，AC 的中点，DGBC，DG BC.12E，F 分别是OB，OC 的中点，EFBC，EF BC，12DGEF，DGEF，四边形DEFG是平行四边形；(2)OBC和OCB 互余，OBCOCB90，BOC90.M为EF的中点， OM3，EF2OM 6.由(1)有四边形DEFG 是平行四边形，DGEF6.4(2016宜宾中
4、考模拟)(1)如图，在RtABC 中，ABC 90，以点B 为中心，把ABC逆时针旋转90，得到A 1BC1；再以点C 为中心，把ABC顺时针旋转 90，得到A 2B1C，连结C 1B1，则C 1B1与BC的位置关系为_；(2)如图，当ABC 是锐角三角形， ABC (60)时，将ABC按照(1)中的方式旋转 ，连结C 1B1，探究C 1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；(3)如图，在图的基础上，连结B 1B，若C 1B1 BC，C 1BB1的面积为4，则B 1BC的面积为_23解：(1)平行；(2)C 1B1BC.理由如下：过点C 1，作C 1EB 1C交BC于点E，则C
5、1EBB 1CB.由旋转性质可知，BC 1BC B 1C，C 1BCB 1CB，C 1BC C1EB，C 1BC 1E.BC 1BCB 1C，C 1EB 1C.又C 1EB 1C，四边形C 1ECB是平行四边形，C 1B1BC.5(2017沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形，点 E在边AD 所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG( 点D，点F在直线CE 的同侧) ，连结BF.(1)如图，当点E与点A重合时，请直接写出 BF的长；(2)如图，当点E在线段AD上时，AE 1，求点F到AD的距离；求BF 的长；(3)若BF3 ，请直接写出此时AE的长10解：(1)BF4 ；5(
6、2)过点F作FHAD交AD的延长线于点H.四边形CEFG是正方形，ECEF，FEC90，DECFEH90.又四边形ABCD是正方形，ADC90，DECECD90，ECDFEH.又EDCEHF90，ECDFEH，FHED.AD4，AE1，EDAD AE 413，FH3，即点F到AD的距离为3；延长FH交BC的延长线于点K，DHKHDCDCK90，四边形CDHK为矩形，HKCD4，FKFHHK347.ECDFEH，EH CDAD4，AEDH CK1，BKBCCK415.在Rt BFK中，BF ；FK2 BK2 72 52 74(3)AE 2 或AE1.416(2017福建中考)如图，矩形ABCD中
7、，AB6，AD8，P，E分别是线段AC，BC 上的点，且四边形PEFD为矩形(1)若PCD是等腰三角形，求AP的长；(2)若AP ，求CF的长2解：(1)在矩形ABCD 中，AB6，AD8，ADC 90，DCAB 6，AC 10.AD2 DC2要使PCD 是等腰三角形，有如下三种情况：当CP CD时，CP6，APACCP4，当PDPC时，PDC PCD.PCD PADPDCPDA90，PAD PDA，PDPA，PAPC，AP 5；AC2当DPDC 时，过 D作DQAC于Q，则PQ CQ.S ADC ADDC ACDQ，12 12DQ ，ADDCAC 245CQ ， PC2CQ ，DC2 DQ2
8、185 365APAC PC .145综上所述，若PCD是等腰三角形，AP 的长为4或5或 ；145(2)连结PF，DE，记PF与DE的交点为O ，连结OC.四边形ABCD和PEFD都是矩形，ADCPDF90，即 ADPPDCPDCCDF ，ADP CDF.BCD90，OEOD， OC ED.12在矩形PEFD 中， PFDE ，OC PF.OPOF PF，12 12OCOPOF，OCF OFC，OCPOPC.又OPC OFCPCF180，2OCP 2 OCF180 ，PCF90，即PCD FCD90.在Rt ADC中，PCDPAD90，PAD FCD，ADPCDF， .AP ，CFAP CDAD 34 2CF .3 24
