1、专训 3 构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型名师点金：解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型构造一个直角三角形解实际问题1 【2017台州 】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，已知小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度AOB 为4
2、0时，车门是否会碰到墙？请说明理由(参考数据：sin 400.64，cos 400.77，tan 40 0.84)(第 1 题) 来源:gkstk.Com来源:学优高考网2 【2017鄂州 】如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底 M 处出发，向前走 3 米到达 A 处，测得树顶端 E 的仰角为 30，他又继续走下台阶到达 C 处，测得树的顶端 E 的仰角是 60，再继续向前走到大树底 D 处，测得食堂楼顶 N的仰角为 45.已知 A 点离地面的高度 AB2 米，BCA 30，且 B，C，D 三点在同一直线上(1)求树 DE 的高度；(2)求食堂 MN 的高度(第 2
3、 题)构造形如“ ”的两个直角三角形解实际问题3 【2016资阳 】如图， “中国海监 50”正在南海海域 A 处巡逻，岛礁 B 上的中国海军发现点 A 在点 B 的正西方向上，岛礁 C 上的中国海军发现点 A 在点 C 的南偏东 30方向上，已知点 C 在点 B 的北偏西 60方向上，且 B，C 两地相距 120 海里(1)求出此时点 A 到岛礁 C 的距离；(2)若“中国海监 50”从 A 处沿 AC 方向向岛礁 C 驶去，当到达点 A时，测得点 B 在A的南偏东 75的方向上，求此时 “中国海监 50”的航行距离 (注：结果保留根号)(第 3 题)4 【2016黔东南州 】黔东南州某校吴
4、老师组织九 (1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线 BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为30，在 C 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 45，斜坡与地面成 60角，CD4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB) (结果精确到 1 m，参考数据： 1.4， 1.7)2 3(第 4 题)5 【中考安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形 ABCD，其中 ADBC ，坡角60. 汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 45.若原坡长 AB20 m，求改造后的坡长 AE(结果
5、保留根号) (第 5 题)构造形如“ ”的两个直角三角形解实际问题6 【2016深圳 】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从 A 处水平飞行至 B 处需 8 s，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75，B 处的仰角为 30.已知无人飞机的飞行速度为 4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号) (第 6 题)来源:学优高考网 gkstk7 【2017绍兴 】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼顶部 D 的仰角为 18，教学楼底部 B 的俯角为 20，量得实验楼与教学楼之间的距离 AB30 m.(1)求BCD 的度数(2)求教学
6、楼的高 BD.(结果精确到 0.1 m，参考数据：tan 200.36，tan 180.32)(第 7 题)构造形如“ ”的两个直角三角形解实际问题8 【2017潍坊 】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD 的高度该楼底层为车库，高 2.5 m；上面五层居住，每层高度相等测角仪支架离地 1.5 m，在 A 处测得五楼顶部点 D 的仰角为 60，在 B 处测得四楼顶部点 E 的仰角为 30，AB14 m求居民楼的高度( 精确到 0.1 m，参考数据： 1.73)3(第 8 题)答案1解：如图，过点 A 作 ACOB，垂足为点 C，(第 1 题)在 RtACO 中，AOC40 ，AO1.
7、2 米，ACAOsin AOC0.641.20.768( 米)汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，车门不会碰到墙2解：(1)设 DEx.AB DF2，EFDEDFx2.EAF30 ，AF (x2)EFtan EAF x 233 3又CD x，BC 2 ，DEtan DCE x3 33 ABtan ACB 233 3BDBCCD2 x.333由 AFBD 可得 (x2)2 x，3 333解得 x6.树 DE 的高度为 6 米；(第 2 题)(2)如图，延长 NM 交 DB 的延长线于点 P，则 AMBP3.由(1)知 CD x 62 ，BC2 ，33 33 3 3PDBPB
8、CCD32 2 34 .3 3 3NDP 45，NPPD34 .3MP AB2，来源:学优高考网NMNPMP34 214 ，3 3食堂 MN 的高度为(14 )米33解：(1)如图所示，过点 C 作 CDBA 交 BA 延长线于点 D，(第 3 题)由题意可得：CBD30 ，BC120 海里，则 DC60 海里，故 cos 30 ，DCAC 60AC 32则 AC40 海里3答：点 A 到岛礁 C 的距离为 40 海里3(2)如图所示：过点 A作 ANBC 于点 N，AEAD 于点 E，可得ABE90 7515，则ABC30ABE15.ABEABC，即 BA平分CBA.AN AE，又易得 AA
9、E30，ACN30 ，设 AA x，则 AE x，32故 CA2AN2AE2 x x，32 3 xx40 ，x20(3 )海里3 3 3答：此时“中国海监 50”的航行距离为 20(3 )海里34解：延长 AD 交 BC 的延长线于 G，作 DHBG 于 H，如图所示则G30.(第 4 题)在 RtDHC 中，DCH60，CD4，则 CHCDcosDCH4 cos 602，DHCDsinDCH4sin 602 ，3DHBG，G30，HG 6，DHtan G 23tan 30CGCH HG268，设 ABx m，ABBG ，G30 ，BCA45 ，BCx，BG x，ABtan G xtan 30
10、 3BGBCCG， xx8，3解得：x11.答：电线杆的高约为 11 m.5解：如图，过点 A 作 AFBC 于点 F.在 RtABF 中，ABF 60，AFABsin 6020 10 (m)来源:gkstk.Com32 3在 RtAEF 中，45，AFEF ，AE 10 (m)AF2 EF2 （103）2 （103）2 6答：改造后的坡长 AE 为 10 m.6(第 5 题)(第 6 题)6解：如图，作 ADBC 于 D，BH水平线于 H，由题意得：ACH75，BCH30，ABCH，ABC30，ACB45，AB4832(m)，CDADABsin 30 16 m，BDABcos3016 m，3
11、BCCD BD(1616 )m，3则 BHBC sin 30(88 )m.3答：这架无人飞机的飞行高度为(88 ) m.37解：(1)如图所示，过点 C 作 CEBD 于点 E，则有DCE18，BCE20，(第 7 题)BCDDCEBCE 1820 38.(2)由题意得，CE AB30 m ，在 RtCBE 中，BECEtan 20，在 RtCDE 中，DECE tan 18，教学楼的高 BDBEDECEtan 20CEtan 1820.4(m) 答：教学楼的高约为 20.4 m.8解：设每层楼高为 x m，由题意得 MCMCCC2.51.51(m )，则 DC(5x 1)m，EC (4x1)m.在 RtDCA中，DAC60，CA (5x1)m.DCtan 60 33在 RtECB中，EBC30，CB (4x1) m.ECtan 30 3ABCBCAAB， (4x1) (5x1) 14.333解得 x3.18.DCDC CC5x11.5 18.4( m)答：居民楼的高度约为 18.4 m.
