1、专题复习(五) 图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系类型 1 三角形中的折叠问题(2015宜宾)如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，将AOB 沿直线 AB 翻折，得ACB.若 C( ， )，则该一次函数的解析式为_32 32【思路点拨】 利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出 CO，AO 的长，进而得出 A、B 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线 AB 的解析式【解答】 连接 OC，过点 C
2、 作 CDx 轴于点 D，将AOB 沿直线 AB 翻折，得ACB，C( ， )，32 32AOAC，OD ，DC ，BOBC，32 32则 tanCOD ，CDOD 33故COD30，BOC60，BOC 是等边三角形，且CAD60.则 sin60 ，则 AC 1，CDAC DCsin60故 A(1，0)，sin30 .CDCO 32CO 12则 CO ，故 BO ，B 点坐标为(0， )，3 3 3设直线 AB 的解析式为 ykx ，把 A(1，0)代入解析式可得 k .3 3直线 AB 的解析式为 y x .3 3折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中如果题目中有
3、直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解1(2015绵阳)如图，D 是等边ABC 边 AB 上的一点，且 ADDB12，现将ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CECF（ ）A. B. C. D.34 45 56 672(2014德阳)如图，ABC 中，A60，将ABC 沿 DE 翻折后，点 A 落在 BC 边上的点 A处如果AEC70，那么ADE 的度数为_3(2014宜宾)如图，在 RtABC 中，B90，AB3，BC4，将ABC 折叠，使点 B恰好落在边 AC 上，与点 B重合，AE 为折痕，则 EB_4(20
4、15滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD 沿直线 AE 折叠(点 E 在边 DC 上)，折叠后顶点 D 恰好落在边 OC 上的点 F 处，若点 D 的坐标为(10，8)，则点 E 的坐标为_类型 2 四边形及其他图形中的折叠问题(2015南充)如图，在矩形纸片 ABCD 中，将AMP 和BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠(APAM)，点 A 和点 B 都与点 E 重合；再将CQD 沿 DQ 折叠，点 C 落在线段 EQ 上点 F 处(1)判断AMP，BPQ，CQD 和FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果 AM1，sinDMF ，求 AB 的长35【思路点拨】
5、(1)由矩形的性质得ABC90，由折叠的性质和等角的余角相等，可得BPQAMPDQC，所以AMPBPQCQD；(2)设 APx，由折叠关系可得：BPAPEPx，ABDC2x，AM1，根据AMPBPQ 得： ，即 BQx 2，根据AMPCQD 得： ，即 CQ2，从而得出AMBP APBQ APCD AMCQADBCBQCQx 22，MDADAMx 221x 21，根据 RtFDM 中DMF 的正弦值得出 x 的值，从而求出 AB 的值【解答】 (1)有三对相似三角形，即AMPBPQCQD.理由如下：四边形 ABCD 是矩形，ABC90.根据折叠可知：APMEPM，EPQBPQ，APMBPQEP
6、MEPQ90.APMAMP90，BPQAMP，AMPBPQ，同理：BPQCQD.AMPBPQCQD.(2)设 APx，由折叠关系，BPAPEPx，ABDC2x.由AMPBPQ 得， ，即 ，AMBP APBQ 1x xBQ得 BQx 2.由AMPCQD 得， ，即 ，APCD AMCQ x2x 1CQ得 CQ2.ADBCBQCQx 22.MDAD1x 21.在 RtFDM 中，sinDMF ，35 .解得 x13，x 2 (不合题意，舍去)2xx2 1 35 13即 AB6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度矩形中的两次或多次折叠通常
7、出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数1(2013南充)如图，把矩形 ABCD 沿 EF 翻折，点 B 恰好落在 AD 边的 B处，若AE2，DE6，EFB60，则矩形 ABCD 的面积是（ ）A12 B24 C12 D163 32(2015泸州)如图，在ABC 中，ABAC，BC24，tanC2，如果将ABC 沿直线 l 翻折后，点 B 落在边 AC 的中点 E 处，直线 l 与边 BC 交于点 D，那么 BD 的长为（ ）A13 B. C. D12152 2723(2015德阳)将抛物线 yx 22x3 在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折至 x
8、 轴下方，图象的剩余部分不变，得到一个新的函数图象，那么直线 yxb 与此新图象的交点个数的情况有（ ）A6 种 B5 种 C4 种 D3 种4(2015成都)如图，在 ABCD 中，AB ，AD4，将ABCD 沿 AE 翻折后，点 B 恰13好与点 C 重合，则折痕 AE 的长为_5(2015内江)如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，C90，E 为 CD 上一点，分别以EA，EB 为折痕将两个角(D，C)向内折叠，点 C，D 恰好落在 AB 边的点 F 处若AD2，BC3，则 EF 的长为_6(2014南充)如图，有一矩形纸片 ABCD，AB8，AD17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在
9、 BC 边的 A处，折痕所在直线同时经过边 AB、AD(包括端点)，设 BAx，则 x 的取值范围是_7(2014绵阳)如图 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD3，将矩形沿直线 AC 折叠，使点 B落在点 E 处，AE 交 CD 于点 F，连接 DE.(1)求证：DECEDA；(2)求 DF 的值；(3)如图 2，若 P 为线段 EC 上一动点，过点 P 作AEC 的内接矩形，使其顶点 Q 落在线段 AE 上，顶点 M、N 落在线段 AC 上，当线段 PE 的长为何值时，矩形 PQMN 的面积最大？并求出其最大值参考答案类型 1 三角形中的折叠问题1B 提示：ABC 为等边三角形，ABC6
10、0.又折叠ABC，使得点 C恰好与边 AB 上的点 D 重合，折痕为 EF，EDFC60，CEDE，CFDF.ADEFDB120.AEDFDB.AEDBDF. .AEBD ADBF DEFD设等边ABC 边长为 6 个单位，CEx，CFy，AE6x，BC6y， ，6 x4 26 y xy解得 x ，y .xy45，故选择 B.145 722.65 3.1.5 4.(10，3)类型 2 四边形及其他图形中的折叠问题1D 2.A 3.B 提示：由题意，易知 yx 22x3 与 x 轴的两个交点坐标分别为(3，0)和(1，0)，顶点坐标为(1，4)，顶点关于 x 轴对称点的坐标为(1，4)当直线 y
11、xb 过(1，0)时，b1，此时直线与新的函数图象只有一个交点；当 b1 时，此时直线与新的函数图象无交点；当直线 yxb 过(3，0)时，b3，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当3b1 时，此时直线与新的函数图象有三个交点；当直线 yxb 过(1，4)时，b5，此时直线与新的函数图象有三个交点；观察图象，易知：当5b3 时，此时直线与新的函数图象有四个交点；观察图象，易知：当 b5 时，此时直线与新的函数图象有二个交点；综上，直线 yxb 与此新图象的交点的个数的情况有 5 种，故选 B.4.3 5. 提示：作 AHBC 于 H.分别以 AE，BE 为折痕将两个角(D，C)
12、向内折叠，点6C，D 恰好落在 AB 边的点 F 处，DEEF，CEEF，AFAD2，BFCB3.DC2EF，AB5.ADBC，C90，四边形 ADCH 为矩形，AHDC2EF，HBBCCHBCAD1.在 RtABH 中，AH2 ，EF . 6.2x8 AB2 BH2 6 67.(1)证明：由矩形的性质可知ADCCEA，ADCE，DCEA，ACDCAE.在CED 与ADE 中， CE AD，DE ED，DC EA， )DECEDA.(2)ACDCAE，AFCF.设 DFx，则 AFCF4x，在 RtADF 中，AD 2DF 2AF 2，即 32x 2(4x) 2，解得 x ，即 DF .78 78(3)由矩形 PQMN 的性质得 PQCA， .PECE PQCA又CE3，AC 5.AB2 BC2设 PEx(0x3)，则 ，即 PQ x.过 E 作 EGAC 于 G，则 PNEG，x3 PQ5 53 .CPCE PNEG又在 RtAEC 中，EGACAECE，解得 EG .125 ，即 PN (3x)设矩形 PQMN 的面积为 S，则3 x3 PN125 45SPQPN x24x (x )23(0x3)43 43 32当 x ，即 PE 时，矩形 PQMN 的面积最大，最大面积为 3.32 32
