1、第 11 讲 一次函数考点 1 一次函数与正比例函数的概念一次函数 一般地，如果 (k、b 是常数，k0) ，那么 y 叫做 x 的一次函数.正比例函数 特别地，当 时，y=kx+b 变为 (k 是常数， k0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数.考点 2 一次函数的图象一次函数的图象一次函数 y=kx+b 的图象是经过点 (0, )和( ,0)的一条 .特别地，正比例函数 y=kx 的图象是经过点 (0， )和(1 ， )的一条 .直线 y=kx+b 与 y=kx 之间的关系 直线 y=kx+b 可以看成是由直线 y=kx 平移得到，b0 ，向 平移 个单位；b0 ，向 平移 个单位.考点
2、3 一次函数 y=kx+b 的性质k、b 符号 图象形状 经过的象限 函数的性质k0,b 0 k0,b 0 y 随 x 的增大而 .k0,b 017k0,b 018y 随 x 的增大而 19.【易错提示】一次函数图象不经过第二象限是指图象经过第一、三、四象限或第一、三象限.考点 4 确定一次函数的解析式常用方法 20步骤 设函数 ；列方程(组) ；解方程（组)确定待定系数；确定解析式.21常见类型 已知两点坐标确定解析式；已知两对函数对应值确定解析式；通过平移规律确定函数解析式.【易错提示】在已知自变量和函数的取值范围确定函数解析式时，要注意函数性质的影响，防止漏解.考点 5 一次函数与方程、
3、不等式的关系一次函数与一次方程 一元一次方程 kx+b=0 的根就是一次函数 y=kx+b(k、b 是常数,k0)的图象与 轴交22点的 坐标.23一次函数与一元一次不等式一元一次不等式 kx+b0(或 kx+b0)(k0)的解集可以看作一次函数 y=kx+b 取 值24(或 值)时自变量 x 的取值范围.25一次函数与方程组 两直线的交点坐标是两个一次函数解析式 y=k1x+b1 和 y=k2x+b2 所组成的关于 x、y 的方程组 的解.26考点 6 一次函数的实际应用建模思想 确定实际问题中的一次函数解析式，要先将实际问题转化为数学问题，即数学建模.要做到这种转化，首先要分清哪个量是自变
4、量，哪个量是函数；其次建立 与 之27 28间的关系，要注意 .29实际问题中一次函数的性质在实际问题中，可以根据自变量的取值求 ，或者由 求自变量的值.由30 31于自变量的取值范围一般受到限制，所以可以根据一次函数的性质求出函数在某个范围的最值.【易错提示】分段函数中，拐点的坐标同时在前后两个图象上.1.比较两个一次函数函数值的大小，可以借助一次函数的性质，也可以借助函数图象，利用数形结合思想进行比较.2.利用函数图象解决实际问题时，要注意仔细分析图象中各点的含义，尤其是图象与图象或坐标轴的交点，要善于运用数形结合思想从图象中获取有用的信息.3.利用一次函数解决调配问题时，首先可以利用图示
5、法或表格法表示出各个变量，从而确定所求费用等信息的一次函数表达式，运用一次函数的性质分析问题得出正确的选择.命题点 1 一次函数的图象和性质例 1 (2013大庆)对于函数 y=-3x+1，下列结论正确的是( )A.它的图象必经过点(-1，3)B.它的图象经过第一、二、三象限C.当 x1 时，y0D.y 的值随 x 值的增大而增大方法归纳：解答这类题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质以及数形结合的数学思想方法.1.(2014重庆 B 卷)若点(3 ，1)在一次函数 ykx-2(k0)的图象上，则 k 的值是( )A.5 B.4 C.3 D.12.(2014东营)直线 y=-x+1 经过的象限
6、是( )A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限3.(2014邵阳)已知点 M(1，a)和点 N(2，b) 是一次函数 y-2x+1 图象上的两点，则 a 与 b 的大小关系是( )A.ab B.ab C.ab D.以上都不对4.(2014河北)如图，直线 l 经过第二、三、四象限， l 的解析式是 y=(m-2)x+n，则 m 的取值范围在数轴上表示为( )5.(2013盐城)写出一个过点(0，3) ，且函数值 y 随自变量 x 的增大而减小的一次函数关系式： .(填上一个答案即可)命题点 2 确定一次函数的解析式例 2 (2013包头) 如图，已
7、知一条直线经过点 A(0，2)，点 B(1，0) ，将这条直线向左平移与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D.若 DB=DC，求直线 CD 的函数解析式.【思路点拨】先依据 A，B 两点的坐标，运用待定系数法求出直线 AB 的解析式，直线 CD 是由直线 AB 向左平移得到的，只要利用等腰三角形的性质求出平移的距离 BC 的长即可.【解答】方法归纳：求直线解析式平移后的解析式时，关键要抓住“自变量增减左右移，函数值增减上下移”.1.(2014宜宾)如图，过 A 点的一次函数的图象与正比例函数 y=2x 的图象相交于点 B，则这个一次函数的解析式是( )A.y=2x+3 B.y=x-3 C.y=2
8、x-3 D.y=-x+32.已知两个变量 x 和 y，它们之间的 3 组对应值如下表所示：x -1 0 1y -1 1 3则 y 与 x 之间的函数关系式可能是( )A.y=x B.y=2x+1 C.y=x2+x+1 D.y= x3.(2014泰州)直线 y3x-1 沿 y 轴向上平移 3 个单位后，得到的图象对应的函数关系式为 .4.(2014武汉)已知直线 y=2x-b 经过点(1，-1)，求关于 x 的不等式 2x-b0 的解集.命题点 3 一次函数与方程、不等式的关系例 3 (2013南通) 如图，经过点 B(-2,0)的直线 y=kx+b 与直线 y=4x+2 相交于点 A(-1，-
9、2)，则不等式4x+2kx+b0 的解集为 .方法归纳：解答这类题时，一要明确一次函数、一次方程和一元一次不等式的内在联系；二是在观察图象时，特别注意直线与 x 轴的交点以及两直线的交点.三要做到数形结合.这类题目中自变量的取值通常在给定的两个点的横坐标之间.1.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示)，则所解的二元一次方程组是( )A. B.2031xy2103xyC. D.250xy210xy2.(2013娄底)一次函数 y=kx+b(k0)的图象如图所示，当 y0 时，x 的取值范围是( )A.x 0 B.x0 C.x2 D.x23.(20
10、14毕节)如图，函数 y=2x 和 y=ax+4 的图象相交于点 A(m，3)，则不等式 2xax+4 的解集为( )A.x B.x 3 C.x D.x332324.(2014鄂州)如图，直线 y=kx+b 过 A(-1，2)、B(-2，0) 两点，则 0kx+b -2x 的解集为 .命题点 4 一次函数的实际应用例 4 (2014维吾尔自治区) 如图 1 所示，在 A、B 两地之间有汽车站 C 站，客车由 A 地驶向 C 站，货车由 B 地驶向 A 地，两车同时出发，匀速行驶，图 2 是客车、货车离 C 站的路程 y1、y 2(千米)与行驶时间 x(小时) 之间的函数关系图象.(1)填空：A
11、、B 两地相距 千米；(2)求两小时后，货车离 C 站的路程 y2 与行驶时间 x 之间的函数关系式.(3)客、货两车何时相遇？【思路点拨】(1)根据图象得到 A、B 两地之间的距离；(2)根据 D 点坐标，得出货车的运动速度，从而得出点 P 的坐标，然后求直线 DP 的解析式；(3)根据图象求出直线 EF 的解析式，两直线联立成方程组，从而求出相遇的时间.【解答】方法归纳：利用函数的图象解决实际问题的关键是必须正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义.另外，也有些题是从现实情景中提取信息、分析数据、建立数学模型.1.(2014武汉)一次越野赛中，当小明跑了 1 600 米时，小刚跑了 1 400
12、 米，小明、小刚此后所跑的路程 y(米) 与时间 t(秒) 之间的函数关系如图所示，则这次越野跑的全程为 米.2.(2014上海)已知水银体温计的读数 y() 与水银柱的长度 x(cm)之间是一次函数关系.现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度 .水银柱的长度 x(cm) 4.2 8.2 9.8体温计的读数 y() 35.0 40.0 42.0(1)求 y 关于 x 的函数关系式 (不需要写出函数的定义域)；(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为 6.2 cm，求此时体温计的读数.3.(2013遂宁)四川省第十二届运动会将于 2
13、014 年 8 月 18 日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B 两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套 120 元，女装每套 100 元.经洽谈协商：A 公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担 2 200 元的运费；B 公司的优惠条件是男女装均按每套 100 元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的 2 倍少 100人，如果设参加演出的男生有 x 人.(1)分别写出学校购买 A、B 两公司服装所付的
14、总费用 y1(元 )和 y2(元)与参演男生人数 x 之间的函数关系式；(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由.第 1 课时 基础训练1.下列函数中是正比例函数的是( )A.y=-8x B.y=- C.y=5x2+6 D.y=-0.5x-18x2.(2014陕西)若点 A(-2，m)在正比例函数 y=- x 的图象上，则 m 的值是( )A. B.- C.1 D.-114143.(2014资阳)一次函数 y=-2x+1 的图象不经过下列哪个象限( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.如图, 如果一次函数 y=k1x+b1 的图象 l1 与 y=k2x
15、+b2 的图象 l2 相交于点 P,则方程组 的解是( )12,ykxbA. B. C. D.23xy3xy3xy3xy5.(2014枣庄)将一次函数 y= x 的图象向上平移 2 个单位，平移后，若 y0 ，则 x 的取值范围是( )12A.x 4 B.x-4 C.x2 D.x-26.(2014河北)某种正方形合金板材的成本 y(元) 与它的面积成正比，设边长为 x 厘米，当 x=3 时，y=18 ，那么当成本为 72 元时，边长为( )A.6 厘米 B.12 厘米 C.24 厘米 D.36 厘米7.(2014泸州)“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家 170 千米的某地，下面是他们离家
16、的距离 y(千米)与汽车行驶时间 x(小时)之间的函数图象，当他们离目的地还有 20 千米时，汽车一共行驶的时间是( )A.2 小时 B.2.2 小时 C.2.25 小时 D.2.4 小时来源:学优高考网8.(2014黔西南)甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500 米，先到终点的人原地休息.已知甲先出发 2 秒，在跑步的过程中，甲乙两人之间的距离 y(m)与乙出发的时间 t(s)之间的函数关系如图所示，给出以下结论：a=8，b=92，c=123，其中正确的是( )A. B.仅有 C.仅有 D.仅有9.(2014云南)写出一个图象经过一、三象限的正比例函数 y=kx(k0)的
17、解析式(关系式) ： .10.(2014广安)直线 y=3x+2 沿 y 轴向下平移 5 个单位，则平移后直线与 y 轴的交点坐标为 .11.已知，一次函数 y=kx+3 的图象经过点 A(1,4).(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点 B(-1,5)，C(0,3)，D(2,1)是否在这个一次函数的图象上 .12.为了增强居民的节约用水的意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过 5 吨的部分，自来水公司按每吨 2 元收费；超过 5 吨的部分，按每吨 2.6 元收费.设某用户月用水量 x 吨，自来水公司的应收水费为 y 元.(1)试写出 y(元)与 x(吨)之间的函数关系式；(
18、2)该户今年 5 月份的用水量为 8 吨，自来水公司应收水费多少元？13.(2014湖南)在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y(cm)与燃烧时间 x(h)之间为一次函数关系.根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求出蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式；(2)求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间.第 2 课时 能力训练1.(2014巴中)已知直线 y=mx+n，其中 m、n 是常数且满足：m+n=6，mn=8，那么该直线经过( )A.第二、三、四象限 B.第一、二、三象限C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限2.(2013娄底模拟)关于 x 的一次函数 y=kx+k2+1 的图
19、象可能是( )3.(2014江西)直线 yx 1 与 y-2xa 的交点在第一象限，则 a 的取值可以是( )A.-1 B.0 C.1 D.24.如图，点 A 的坐标为 (-1，0)，点 B 在直线 y=x 上运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为( )A.(0， 0) B.( ,- ) C.(- ，- ) D.(- ，- )21225.(2014株洲)直线 y=k1x+b1(k10)与 y=k2x+b2(k20)相交于点 (-2,0)，且两直线与 y 轴围成的三角形面积为 4，那么b1-b2 等于 .6.(2014自贡)一次函数 y=kx+b，当 3x4 时，3 y6 ，则 的值是 .
20、bk7.“一根弹簧原长 10 cm，在弹性限度内最多可挂质量为 5 kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比， ，则弹簧的总长度 y(cm)与所挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式为y=10+0.5x(0x5).”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： (只需写出 1 个).8.如图，直线 y=2x+3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B.(1)求 A，B 两点的坐标；(2)过 B 点作直线 BP 与 x 轴相交于 P，且使 OP=2OA，求ABP 的面积.9.(2014烟台)山地自行车越来
21、越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的 A 型车去年销售总额为 5 万元，今年每辆售价比去年降低 400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少 20%.(1)今年 A 型车每辆售价多少元？( 用列方程的方法解答)(2)该车行计划新进一批 A 型车和新款 B 型车共 60 辆，且 B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B 两种型号车的进货和销售价格如下表：来源:学优高考网A 型车 B 型车进货价格(元) 1 100 1 400销售价格(元) 今年的销售价格 2 00010.(2013荆门)为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小
22、王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案.人均住房面积(平方米) 单价(万元/平方米)不超过 30(平方米 ) 0.3超过 30 平方米不超过 m(平方米)(45m60) 0.5超过 m 平方米部分 0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买 120 平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均住房面积为 x 平方米，缴纳房款 y 万元，请求出 y 关于 x 的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为 50 平方米，缴纳房款为 y 万元，且 57y60 时，求 m 的取值范围.11.(2013黄石)一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时
23、出发，设客车离甲地的距离为y1 千米，出租车离甲地的距离为 y2 千米，两车行驶的时间为 x 小时，y 1、y 2 关于 x 的函数图象如图所示：(1)根据图象，直接写出 y1、y 2 关于 x 的函数关系式；(2)若两车之间的距离为 s 千米，请写出 s 关于 x 的函数关系式；(3)甲、乙两地间有 A、B 两个加油站，相距 200 千米，若客车进入 A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求 A加油站离甲地的距离.来源:gkstk.Com参考答案考点解读y=kx+b b=0 y=kx b - 直线 0 k 直线 上kb 下 |b| 一、二、三 一、三、四 增大 一、二、四 17二、三、四
24、 减小18 19待定系数法 解析式 x 横 正 负 函数 自变量 自变量的取值范围 20 21 22 23 24 25 26 12,ykxb27 28 29函数 函数30 31各个击破例 1 C题组训练 1.D 2.B 3.A 4.C 5.答案不唯一，如 y-x3(k 值为负数，b3 都可以)例 2 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，又 A(0，2)，B(1 ，0) ，得解得,0.bk2,.kb直线 AB 对应的函数解析式为 y=-2x+2.DB=DC，ADBC，OC=OB=1.直线 AB 向左平移 2 个单位可以得到直线 CD 的解析式.直线 CD 的解析式为 y=-2(x+2)+2=
25、-2x-2.题组训练 1.D 2.B 3.y=3x+24.直线 y=2x-b 经过点(1，-1)，-1=2 1-b，b=3，不等式 2x-b0，为 2x-3 0，得 x .32例 3 -2x -1题组训练 1.D 2.C 3.A 4.-2x-1例 4 (1)80+360=440；(2)根据图象可知点 D(2，0) ，前两小时货车的速度为 802=40(千米/ 时) ，货车行驶 360 千米所需时间为 36040=9（小时） ，点 P(11，360).利用待定系数法可求得直线 DP，即两小时后，货车离 C 站的路程 y2 与时间 x 之间的函数关系式为 y2=40x-80；(3)点(6，0)和
26、(0，360)在直线 EF 上，直线 EF 的函数关系式为 y1=-60x+360.联立直线 DP 和 EF 的函数解析式得方程组解得40863.yx， 4.96x，答：客、货两车 4.4 小时相遇.题组训练 1.2 200 2.(1)设 y=kx+b，由题意，得解得4.35820.kb， 419.k，y= x+ .419(2)当 x=6.2 时， y= 6.2+ =37.5（）.5419即此时体温计的读数为 37.5 .3.(1)总费用 y1(元)和 y2(元)与参演男生人数 x 之间的函数关系式分别是：y1=0.7120x+100(2x-100)+2 200=224x-4 800，来源:g
27、kstk.Comy2=0.8100(3x-100)=240x-8 000.(2)当 y1y 2 时，即 224x-4 800240x-8 000，解得 x200 ；当 y1=y2 时，即 224x-4 800=240x-8 000，解得 x=200；当 y1y 2 时，即 224x-4 800 240x-8 000，解得 x200.即当参演男生少于 200 人时，购买 B 公司的服装比较合算；当参演男生等于 200 人时，购买两家公司的服装总费用相同，可在任一家公司购买；当参演男生多于 200 人时，购买 A 公司的服装比较合算.整合集训第 1 课时 基础训练1.A 2.C 3.C 4.A 5
28、.B 6.A 7.C 8.A 9.y=3x(答案不唯一) 10.(0，-3)11.(1)将点 A(1，4)代入解析式 y=kx+3，得k+3=4.解得 k=1.一次函数的解析式为 y=x+3.(2)将各点的坐标代入解析式 y=x+3，得当 x=-1 时，y=-1+3=25，点 B 不在函数图象上；当 x=0 时，y=0+3=3，点 C 在函数图象上；当 x=2 时，y=2+3=51 ，点 D 不在函数图象上.12.(1)当 x5 时，y2x ；当 x5 时，y 52+(x-5)2.62.6x-3.(2)x85，y2.68-3=17.8（元）.13.(1)设 y=kx+b，过(0 ，24)，(2
29、，12) ， 解得24,1.bk6,24.y=-6x+24.(2)当 y=0 时，0=-6x+24，解得 x=4，蜡烛从点燃到燃尽所用的时间为 4 小时.第 2 课时 能力训练1.B 2.C 3.D 4.C 5.4 6.-2 或-5 7.每增加 1 千克重物弹簧伸长 0.5 cm8.(1)令 y=0，得 x=- .A(- ，0).32令 x=0，得 y=3.B(0，3).(2)设 P 点坐标为(x，0)，依题意，得 x=3.P 点坐标为 P1(3，0)或 P2(-3，0).S ABP1= ( +3)3= ,2374或 SABP2 = (3- )3= .9ABP 的面积为 或 .9.(1)设今年
30、 A 型车每辆售价 x 元，则去年每辆售价(x+400)元，得= .解得 x1 600.50 4x 012%x经检验，x=1 600 是所列方程的根，且符合题意.答：今年 A 型车每辆售价为 1 600 元.(2)设车行新进 A 型车 x 辆，则 B 型车为(60-x) 辆，获利润 y 元.由题意，得y(1 600-1 100)x+(2 000-1 400)(60-x)，即 y-100x+36 000.B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的 2 倍，60-x2x ，x20.由 y 与 x 的关系式可知， y 的值随 x 值的增大而减小.当 x20 时，y 的值最大.60-x60-20 40(
31、辆).答: 当车行新进 A 型车 20 辆， B 型车 40 辆时，这批车获利最多.10.(1)三口之家应缴纳房款为：0.3303+0.5(120-303)=42(万元).(2)当 0x 30 时，y=0.3 3x=0.9x；当 30xm 时，y=0.930+0.5 3(x-30)=1.5x-18；当 xm 时， y=1.5m-18+0.73(x-m)=2.1x-18-0.6m.即 y 与 x 的函数关系式为：y= (45m60)0.9(0)158326xx， ，(3)当 50m60 时，y=1.5 50-18=57(舍去)；当 45m50 时，y=2.150-0.6m-18=87-0.6m.此时有 5787-0.6m 60 符合题意.综合得 45m50.11.(1)y1=60x(0x 10)，y2=-100x+600(0x6).(2)s=1560,()41,6.()xx(3)由题意得 s=200.当 0x 时，-160x+600=200.x= .y 1=60x=150(km).15452当 360( 舍去).即 A 加油站离甲地的距离为 150 km 或 300 km.
