1、第 4 课时 一元二次不等式及其解法的应用1.熟悉简单的一元高次不等式和分式不等式的解法 .2.理解一元二次方程根的分布问题 .3.会用一元二次不等式解决实际问题 .重点:简单的一元高次不等式和分式不等式的解法 .难点:一元二次方程根的分布问题 .上一课时我们共同学习了一元二次不等式的解法,并能解简单的一元二次不等式,一元二次不等式及其解法是一种重要的数学工具,是集合、函数、不等式等知识的综合交汇点,地位重要,这一讲我们将共同探究一元二次不等式及其解法的应用 .问题 1:简单的一元高次不等式和分式不等式的解法一元高次不等式 f(x)0 用 穿针引线法 (或称数轴穿根法,根轴法,区间法)求解,其
2、步骤是: (1)将 f(x)最高次项的系数化为 正 数; (2)将 f(x)分解为若干个一次因式的积或者若干个 二次不可分解因式 之积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从 右上方 依次穿过每一点画曲线 (注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过); (4)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律,写出 不等式的解集 . 由上归纳出重要步骤: 化标(化成标准形式 ); 找根; 标根; 串根(奇透偶不透) .问题 2:分式不等式:先整理成标准型 0(0f(x)g(x)0.(2)0)的根的分布问题:记 f(x)=ax2+bx+c,其根的情况、图象情况、不等式的三者关系如下:根的 k
3、1-1,i=1,2,n(n2),且同号,则(1+x1)(1+x2)(1+xn)1+x1+x2+xn;(2)设 x-1,则 当 0 1 或 1+nx(x-1,x0, nN,且 n2) .1.下列不等式中与不等式0 解集相同的是( ).A.(2-x)(x-1)0B.(x-2)(x-1)0 且 x1C.(x-2)(x-1)0 且 x1D.(2-x)(x-1)0【解析】0(2 -x)(x-1)0 且 x-10 (x-2)(x-1)0 且 x1 ,故选项 C 正确 .【答案】C2.已知集合 A=x|3x-2-x22D.a2【解析】由题意得 A=x|x2,B=x|x0 恒成立, mx 2+2(m+1)x+
4、9m+40,令 y=(x-1)(x-3)(x+),则 y=0 的根为 1,3,-,将其分别标在数轴上,如图所示 . 不等式的解集是 x|-3.【小结】利用“穿针引线法”解一元高次不等式时,要注意前提条件:最高次项系数为正,使用时要注意“奇穿偶回”的原则 .分式不等式的解法解下列分式不等式:(1)0;(2)1(a1 且 a 为常数) .【方法指导】(1)先化为整式不等式,注意分母不为 0,再用“穿针引线法”求解;(2)可转化为含参的一元二次不等式,要注意分类讨论 .【解析】(1)原不等式把各因式的根在数轴上标出 . 原不等式的解集为 x|x -2 或 0 x0,a 1, 上式等价于 0(*).当
5、 a1 时,( *)式等价于 0,= 1-2;当 a2, 21 时,原不等式的解集为( - ,)(2, + ).【小结】(1)解分式不等式首先要把不等式化为整式不等式,然后把最高次项的系数化为正数,最后利用穿针引线法求解 .(2)解含参的不等式,必须注意参数取值对解集的影响,掌握分类讨论的思想,做到不重不漏 .一元二次不等式的实际应用一个服装厂生产风衣,月销售量 x(件) 与售价 p(元 /件) 之间的关系为 p=160-2x,生产 x 件的成本R=500+30x(元) .(1)该厂月产量多大时,月利润不少于 1300 元?(2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少?【方法指导】根
6、据题意得到利润函数,再求函数的最大值 .【解析】(1)由题意知,月利润 y=px-R,即 y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500,由月利润不少于 1300 元,得 -2x2+130x-5001300,即 x2-65x+9000,解得 20 x45 .故该厂月产量 2045 件时,月利润不少于 1300 元 .(2)由(1)得, y=-2x2+130x-500=-2(x-)2+,由题意知, x 为正整数,故当 x=32 或 33 时, y 取最大值 1612.所以当月产量为 32 或 33 件时,可获最大利润,最大利润为 1612 元 .【小结】解应用题时要注意:
7、审清题,列对式子,解对方程,最后符合实际问题 .解不等式( x+2)(x+1)2(x-1)3(x-2)0 .【解析】由题意得各因式的根为 -2,-1,1,2,利用穿针引线法(奇穿偶不穿),如图,原不等式的解集为x|x -2 或 x=-1 或 1 x2 .已知关于 x 的不等式 9 或 a0, 00.(1)当 a=2 时,求此不等式的解集;(2)当 a-2 时,求此不等式的解集 .【解析】(1)当 a=2 时,不等式可化为 0,所以不等式的解集为 x|-22.(2)当 a-2 时,不等式可化为 0.当 -21;当 a=1 时,不等式的解集为 x|x-2 且 x1;当 a1 时,不等式的解集为 x
8、|-2a.(2013 年上海卷)甲厂以 x 千克 /小时的速度匀速生产某种产品 (生产条件要求 1 x10), 每小时可获得的利润是 100(5x+1-)元 .(1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a(5+-);(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度 ?并求最大利润 .【解析】(1)因为每小时生产 x 千克产品,获利 100(5x+1-),所以生产 a 千克该产品所用时间为,所获利润为 100(5x+1-)=100a(5+-).(2)因为生产 900 千克该产品,所获利润为 90000(5+-)=90000-3(-)2+,所以当 x=6 时,最大利润为 90000=457500 元 .
