1、第 8 课时 基本不等式1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义 .2.能够利用基本不等式求最大(小 )值 .3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等” .重点:基本不等式的实质由此加深学生对算术平均数、几何平均数的概念及相互关系的理解 .难点:用基本不等式求最值要注意等号成立的条件,当等号不成立时,考虑用函数的单调性解决最值问题 .如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客 .在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,
2、那么正方形的边长为 .问题 1:上述情境中,正方形的面积为 a2+b2 ,4 个直角三角形的面积的和 2ab ,由于 4 个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式: a2+b22 ab ,我们称之为重要不等式,即对于任意实数 a,b,都有 a2+b22 ab 当且仅当 a=b 时,等号成立 . 我们也可以通过作差法来证明: a2+b2 - 2ab =(a-b)20, a2+b22 ab ,当且仅当 a=b 时取等号 . 问题 2:基本不等式若 a,b(0, + ),则 ,当且仅当 a=b 时,等号成立 . 问题 3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释 .(1)基
3、本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的 中线不小于 斜边上的 的高 .在圆中,半径不小于半弦长 . (2)如果把看作正数 a、 b 的 等差中项 ,看作正数 a、 b 的 等比中项 ,那么该定理可以叙述为:两个正数的 等差中项 不小于它们的 等比中项 . (3)在数学中,我们称为 a、 b 的 算术平均数 ,称为 a、 b 的 几何平均数 .因此,两个正数的 算术平均数 不小于它们的 几何平均数 . 问题 4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知 x,y(0, + ),若积 xy=p(定值),则和 x+y 有最 小 值 2 ,当且仅当 x=y 时,取“ =”. (2
4、)已知 x,y(0, + ),若和 x+y=s(定值),则积 xy 有最 大 值 ,当且仅当 x=y 时,取“ =”. 即“积为常数, 和有最小值 ;和为常数, 积有最大值 ”. 概括为:一正二定三相等四最值 .调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数,也称倒数平均数,是平均数的一种 .但统计调和平均数,与数学调和平均数不同 .在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的,计算结果前者恒小于等于后者,因而数学调和平均数定义为:数值倒数的平均数的倒数 .但统计加权调和平均数则与之不同,它是加权算术平均数的变形,附属于算术平均数,不能单独成立体系,且计算结果与加权算术平均数完全相等
5、,主要是用来解决在无法掌握总体单位数( 频数) 的情况下,只有每组的变量值和相应的标志总量 ,而需要求得平均数的情况下使用的一种数据方法 .1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).A.若 a,bR,则 +2 =2B.若 a,bR +,则 lg a+lg b2C.若 x 为负实数,则 x+ -2=-2D.若 x 为负实数,则 3x+3-x2 =2【解析】对于 A,若 +2,则须 a,b 同号;对于 B,应有 a1,b1;对于 C,因 x 为负实数,则 x+=-(-x)+ -2;只有 D 正确 .【答案】D2.下列不等式一定成立的是( ).A.lg(x2+)lg x(x0)B.sin x+2
6、( x k, kZ)C.(ba0)D.1(xR)【解析】对于 A,x2+2 =x,可以取“ =”;对于 B,当 sin x0, ,正确;对于 D,当 x=0 时, =1,不成立 . 只有 C 正确 .【答案】C3.已知 x0,y0,4x+9y=1,则 +的最小值为 . 【解析】 x 0,y0,4x+9y=1,+= (+)(4x+9y)=+1312 +13=25,当且仅当 =且 4x+9y=1 时等号成立,得: x=,y=.故当 x=,y=时,( +)min=25.【答案】254.已知 a0,b0,c0,d0,求证: +4 .【解析】 +=+=(+)+(+)2 +2=4(当且仅当 a=b 且 c
7、=d 时,取“ =”).基本不等式求最值(1)已知 x,求函数 y=4x-2+的最小值 .(2)已知正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求 ab 的取值范围 .【方法指导】对已知函数进行变形,再运用均值不等式与换元法,注意等号的取舍 .【解析】(1) x , 4x-50,y= 4x-5+3. 4x-5+2 =2,当且仅当 4x-5=,即 x=时,等号成立 .y 2 +3=5.故当 x=时,函数 y=4x-2+取得最小值 5.(2)ab- 3=a+b2, ab- 2-30 且 ab0,即( -1)24, 3,即 ab9(当且仅当 a=b 时取等号),ab 的取值范围是9, + ).【小结】使用
8、基本不等式时要注意“一正二定三相等” .利用基本不等式证明不等式已知 x、 y 都是正数,求证:( x+y)(x2+y2)(x3+y3)8 x3y3.【方法指导】在运用基本不等式时,注意条件 a、 b 均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形 .【解析】 x ,y 都是正数,x 20,y20,x30,y30.x+y 2 0,x2+y22 0,x3+y32 0, (x+y)(x2+y2)(x3+y3)222 =8x3y3,即( x+y)(x2+y2)(x3+y3)8 x3y3.当且仅当“ x=y”时取“ =”.【小结】多次利用基本不等式证明时,一定要注意是否每次都能保证等
9、号成立,并且取等号的条件应当一致 .单调性与基本不等式设函数 f(x)=x+,x0, + ).(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值;( 2)当 00,0,所以 f(x)2 -1,当且仅当 x+1=,即 x=-1 时, f(x)取得最小值 2-1.(2)因为 f(x)=x+=x+1+-1.当且仅当 x+1=时等式成立,即 x=-1x20,则 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)1-.由于 x1x20,所以 x1-x20,x1+11,x2+11,所以( x1+1)(x2+1)1,而 00,即 f(x1)f(x2),所以 f(x)在0, + )上单调递增 .所以 f(x)
10、min=f(0)=a.【小结】本题第(2)问要从函数的单调性或结合双勾函数来考虑,因为基本不等式等号取不到,这是用基本不等式经常碰到的问题 .(1)设 00,y= 4x(3-2x)=22x(3-2x)2() 2=,当且仅当 2x=3-2x,即 x=(0,)时等号成立,y max=.(2)=(x-1)+=-(x-1)+,- 40,所以 t+2,当且仅当 t=1 时取等号,显然不在区间2, + )内,即等号不成立,故考虑其单调性 .易证 y=t+在区间2, + )上单调递增,故 y .所以,所求函数的值域为, + ).1.下列不等式中恒成立的是( ).A. B.x+2C.3 D.2-3x-2【解析
11、】A: =,恒成立 .B:当 x=-1 时, x+=-2,不恒成立 .C:=-,当 x=0 时最小,最小值为, 不恒成立 .D:当 x0 时,2 -3x-=2-(3x+)2 -2=2-4,不恒成立,选 A.【答案】A2.当点( x,y)在直线 x+3y-2=0 上移动时,表达式 3x+27y+1 的最小值为 ( ).A.3 B.5 C.1 D.7【解析】由 x+3y-2=0 得 3y=-x+2, 3x+27y+1=3x+33y+1=3x+3-x+2+1=3x+12 +1=7.当且仅当 3x=,即 x=1 时取得等号 .【答案】D3.已知 08abc.【解析】 a ,b,c 都是正数,a+b 2 0(当且仅当 a=b 时等号成立),b+c2 0(当且仅当 b=c 时等号成立),c+a2 0(当且仅当 a=c 时等号成立),a 、 b、 c 是不全相等的正数, 上述三式中至少有一个等号不成立, (a+b)(b+c)(c+a)222=8abc,即( a+b)(b+c)(c+a)8abc.(2011 年重庆卷)若函数 f(x)=x+(x2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于( ).A.1+ B.1+C.3 D.4【解析】 x 2,f (x)=x+=(x-2)+22 +2=4,当且仅当 x-2=,即 x=3 时取等号 .a= 3.【答案】C
