1、达标训练知识巩固1.若直角三角形的三边长分别是 n+1，n+2，n+3 ，求 n.思路分析：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解.解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得：（n+1） 2+（n+2） 2=（n+3） 2，化简得：n 2=4.n=2，但当 n=2 时，n+1=10，n=2.2.直角三角形周长为 12 cm，斜边长为 5 cm，求直角三角形的面积.思路分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解.解：设此直角三角形两直角边分别是 x，y，根据题意得：)2(,512yx由（1）得：x+y=7， （x+y） 2=4
2、9，x 2+2xy+y2=49.(3)(3)(2)，得：xy=12.直角三角形的面积是 xy= 12=6（cm 2）.3.若直角三角形两直角边的比是 34，斜边长是 20，求此直角三角形的面积.解：设此直角三角形两直角边分别是 3x、4x，根据题意得：（3x） 2+（4x） 2=202，化简得 x2=16；直角三角形的面积= 3x4x=6x2=96.14.一架云梯长 25 米，如图 18-1-20 斜靠在一面墙上，梯子底端离墙 7 米.图 18-1-20（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了 4 米吗？思路分析：（1）可设这个梯子
3、的顶端距地面有 x 米高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度组成直角三角形，所以 x2+72=252，解出 x 即可.（2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了 4 米，应计算才能确定.解：（1）设这个梯子的顶端距地面有 x 米高，据题意得 AB2+BC2=AC2，即 x2+72=252，解得x=24.轻轻告诉你 个人的绝对自由是疯狂，一个国家的绝对自由是混乱。罗曼罗兰即这个梯子的顶端距地面有 24 米高. （2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，即 AD=4 米,BD=20 米，设梯子底端离墙距离为 y 米，据题意得 BD2+BE2=DE2，即 20
4、2+y2=252,解得 y=15.学优中考网 此时 CE=15-7=8.梯子的底部在水平方向滑动了 8 米.5.等边三角形的边长为 2，求它的面积.解：如图，等边ABC 中，作 ADBC 于 D，则：BD= BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）,21AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）,BD=1.在直角三角形ABD 中 AB2=AD2+BD2，即 AD2=AB2BD 2=41=3.AD= .SABC = BCAD= .313注：等边三角形的面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为 a2.43综合应用6.如图 18-1-21，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第 n 个三
5、角形的面积为_.图 18-1-21 图 18-1-22思路分析：由勾股定理可知，第一个三角形的面积是 ；第二个三角形的面积是 ；第212三个三角形的面积是 ； ；则第 n 个三角形的面积为 .23n答案： n7.如图 18-1-22， ABC 中，AB=15 cm，AC=24 cm， A=60，求 BC 的长.思路分析：因为A 是一个特殊角，可考虑过点 B 作 BDAC，垂足为 D，则ABD=30，所以 AD 可求.在 RtBCD 中，由勾股定理可求出 BC 的长.解：过点 B 作 BDAC，垂足为 D.A=60， ABD=30.AD= AB= 15=7.5.21BD2=AB2-AD2=152
6、-7.52=168.75.在 RtBCD 中，由勾股定理得,BC 2=BD2+CD2=168.75+16.52=441.BC=21.抓住特殊角，构造直角三角形是解决本题的关键.本题也可以这样作辅助线：过点 C 作CEAB，垂足为 E，但过点 A 作 AFBC，垂足为 F，则是行不通的.请你想一想为什么？从中可以得到什么启发？8.在锐角ABC 中，已知其两边 a=1，b=3，求第三边的变化范围思路分析：显然第三边 bacb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC 为直角三角形时第三边的值.解：设第三边为 c，并设ABC 是直角三角形.当第三边
7、是斜边时，c 2=b2+a2，c= .10当第三边不是斜边时，则斜边一定是 b，b 2=a2+c2，c= （即 ）.8ABC 为锐角三角形，所以点 A 应当绕着点 B 旋转，使ABC 成为锐角（如图） ，但是当点 A 从 A1出发，移动到点 A2位置时，在 A1、A 2处，ACB 都成为直角,故点 A 应当在 A1和A2间移动，此时 AC .0注：此题易忽视或中的一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否为直角边，所以要分两种情况考虑.9.如图 18-1-23，有一个高 1.5 米，半径是 1 米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0.5 米，问这根
8、铁棒应有多长？图 18-1-23思路分析：题目中没有告诉铁棒如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的 A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为 x 米，则应求最长时和最短时的值.(1)x2=1.52+22，x 2=6.25，x=2.5.所以最长是 2.5+0.5=3(米).(2)x=1.5，最短是 1.5+0.5=2(米).答：这根铁棒的长应在 23 米之间(包含 2 米和 3 米).10.已知：在 RtABC 中， C=90，A、B、C 的对边分别为 a、b、c，设ABC 的面积为 S，周长为 l.(1)填表：三边 a、b
9、、c a+b-c lS3、4、5 2学优中考网 5、12、13 48、15、17 6(2)如果 a+b-c=m，观察上表猜想： =_(用含有 m 的代数式表示).lS(3)证明(2)中的结论.思路分析：（1）略；(2)根据（1）中结论得出猜想， .4lS(3)证明：S= ab,l=a+b+c,2 .)(cbalSa+b-c=m,a+b=m+c.又a 2+b2=c2,(a+b) 2=(m+c)2,即 ab= m(m+2c).1 .4)2()(2mccbalS11.如图 18-1-24，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处，以 10 千7米/时的速度向北偏西 60的
10、BF 方向移动，距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域.图 18-1-24（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果 A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？思路分析：（1）A 市是否会受到台风的影响,取决于距台风中心的距离，我们可首先计算A 到 BF 的距离，若 A 市到 BF 的距离小于 200 千米，则受其影响，反之则不受其影响.（2）过 A 作 AD=200 km，交 BF 于点 D.计算出 CD 的距离，就可以计算出受影响的时间.解：（1）过 A 作 ACBF 于 C，则 AC= AB=150200，21A 市会受到台风影响.（2）过 A 作 AD=200 km，交 BF 于点 D.DC= ，7501022D该市受台风影响的时间为： 2=10 小时.7105学优中考网 学+优%中。考，网
