1、减少解几试题计算量的十种方法 1 / 16 减少解几试题计算量的十种方法 在数学试卷中，解析几何题的繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的.常见的策略是： （1）设而不求. 【题1】（湖北黄冈，元月考，10题） 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是 ( ) A.6x5y28=0 B.6x+5y28=0 C.5x+6y28=0 D.5x6y28=0 【分析】如图，椭圆的右焦点既是BMN的重心，容易求出边MN的中点 坐标，那么求直线l的方程，关键在求该直线
2、的斜率. 若用常规方法，须设直线的点斜式方程，代入椭圆方程，而后利用韦达定 理及线段的中点公式求之.显然这个计算量是不菲的.更好的方法是： 【解析】由2 22 24 5 80 120 16x yx y .椭圆上顶点 B（0，4）,右焦点F（2,0）.为BMN的重心，故线段MN的中点为C（3，-2）. 设直线l的斜率为k.，点 1 1 2 2, , ,M x y N x y 在椭圆上，2 21 12 22 24 5 804 5 80x yx y 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 24 4 6 64 5 05 5 4 5y y x xx x x x y y y y kx x
3、y y 所求直线方程为 62 3 6 5 28 05y x x y ，选A. 【评注】我们用参数设置了M,N两点的坐标，但在解题过程中没有也不必要去求这些参数，而是根据它们应该满足的题设条件剖析出所需要的结果.这种的解题方法叫做设而不求. （2）使用特值 【题2】（湖北重点中学4月联考，理科8题）在离心率为65的双曲线 2 22 21 0x ya ba b 中，F为右焦点，过F点倾斜角为60的直线与双曲线右支相交于A,B两点，且点A在第一象限，若 ,AF mFB 则m=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 xyOB 0 4( , )MNF 2 0( , )C 3 2( ,- )图1 减少解几
4、试题计算量的十种方法 2 / 16 【分析】按常规求m值，必先求向量AF FB 与 之长.由于双曲线的 方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人望而生畏的. 注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的形 状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果. 所以我们可以通过取特值，让方程具体化. 【解析】65cea .不妨设2 2 25, 6, , 11a c c a b = +b ，双曲线 方程为：2 2125 11x y ,其右焦点 6,0F ，设 6 , 3A t t ，代入双曲线方程： 2211 6 25 3 25 11t t 264 132 121
5、0t t 16 11 4 11 0.t t 于是11 2211 11, , 44 16tt t mt ，故选C. （3）平几给力 【题3】（2011.武汉四月调考.15题）过圆C：2 2 20 0( , )x y R M x y 内一定点 作一动直线交圆C于两点P、R，过坐标原点O作直线ONPM于点N，过点P的切线交直线ON于点Q，则OM OQ = 。 【分析】与圆有关的问题可以优先利用平面几何知识.题设条件 中既有垂线又有切线，容易构成直角三角形，故求两向量的数量积 容易想到直角三角形中成比例的线段. 【解析】如图4,连OP,则OPPQ.但是OQPR于N,根据 直角三角形的射影性质有：22O
6、Q ON OP R 2cosOM OQ OQ OM OQ ON R 即2OM OQ R . （4）减少参数 【题4】（北京西城元月考.13题）双曲线2 2: 1C x y 的渐近线方程为 若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于 ,P Q两点，且 2PA AQ ，则直线l的斜率为 【分析】第一空，简单；难点是第二问. yABFOA1B1x图3 xyOPRQN图2 减少解几试题计算量的十种方法 3 / 16 xyOA 1 0( , )PQ按常规，为求直线l的斜率，必先确定P或Q的坐标.但由现有 条件却确定不了，因此退而求P,Q两坐标之间的关系.但是两点的坐标有4个未知量，计
7、算太过繁杂.故考虑减少未知量，使运算量减半. 【解析】设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y .当 2PA AQ 时， 1 22 0y y .设直线 : 1PQ y k x .令x=y,得 11 ,1ky k y yk 令x=-y,得 21 ,1ky k y yk 于是：2 1 20 0, 01 1 1 1k kkk k k k 1 2 1 0k k 【别解】（巧用中点公式）如图设P（a,a）,则P关于A（1,0）的对称点为R（2-a,-a）, AR的中点 3,2 2a aQ 符合所设条件且在直线y=-x上，303 3 32, , , 332 2 2 212PQa aP k 得 （
8、5）回归定义 【题5】（山西师大附中，元月考，8题）设1 2F F， 是双曲线 2 22 21 0, 0x ya ba b 的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使 2 20.OP OF F P （O为坐标原点），且1 23PF PF ，则双曲线的离心率是（ ） 3 2 3 1. . 3 2 . . 3 12 2A B C D 【分析】根据向量加法的平行四边形法则，2= ,OP OF OQ 2OQ F P 2OQ F P 且 必过 的中点.可知1 2PFF 为直角三角形. 这就为用定义法求离心率创造了条件. 【解析】不妨设双曲线的半焦距c=1,.令 2 1= , 3 , 2 3 1PF
9、r PF r a r 则 ，1 290 ,FPF 但是 22 2 221 2 1 2, 3 4 1.PF PF FF r r r 即 ，得 于是3 1 2, 3 123 1ca ea ，选D 得k=3. 图4 图5 xyPOF1F2QM减少解几试题计算量的十种方法 4 / 16 （6）正难则反 【题6】（北京海淀，5月考，7题）若椭圆1C ： 1212212byax（ 011 ba ）和椭圆2C ： 1222222byax（ 022 ba ）的焦点相同且1 2a a .给出如下四个结论：椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点； 1 12 2a ba b； 22212221bbaa ； 1 2 1 2
10、a a b b .其中，所有正确结论的序号是（ ） A B. C D. 【分析】各选项都需鉴别3个命题，太繁了. 此外，正面论证哪3个命题正确，太费事了.于是将原命题转换为：其中不正确结论的序号是： A. B. C. D. 此外，4个选项中，最容易用特值否定的是，故有 【解析】构造椭圆2 2 221 2 1 2: 1 : 1. .25 16 10x y xC C y C C 及 显然 与 焦点相同 1 1 1 12 2 2 25 102, 4.210a b a ba b a b 但是 这里 ，故结论不成立，选B. 【评注】以上的解题方法，简单得太过离奇了，因此有人怀疑，这种解法是否合理. 首先
11、，在考场上，这种解法是完全站得住脚的.既然结论在特殊情况下是不正确的，那么在一般情况下就绝无正确的可能，这是因为：任何真命题都是“放之四海而皆准”的. 以下，我们再用直接法（即通法）论证：其他3个结论的正确性. 既是两椭圆焦点相同，那么2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2c c a b a b a a b b .结论正确； 结论：两椭圆没有公共点等价于两曲线方程组成的方程组无解. 2 22 22 2 2 21 1 2 2 2 22 1 2 12 2 2 2 2 2 2 22 21 2 1 2 1 2 1 22 22 211 1 1 10 01x ya b
12、a a b bx y x ya a b b a a b bx ya b 既然结论正确，且已知1 2a a，2 22 2 2 22 1 2 1 2 2 2 21 2 1 20, =0.x ya a b ba a b b 故必 最后的方程无解，这就证明了结论是正确的. 要考察结论是否正确，仅从数据推理是困难的，需采用数形结合的方法. xyFOB1B2减少解几试题计算量的十种方法 5 / 16 图8-1 既然结论正确，即两椭圆没有公共点.已知1 2a a ，所以椭圆1在 椭圆2的外面. 如图6，设两椭圆公共右焦点为F，上顶点分别为 1 2 1 2 1 2 1 2, - ,B B FBB FB FB
13、BB ， 中， 故必1 2 1 2a a b b 这就是说，结论也是正确的.既然结论正确，故选B. 请各位分析一下，两种解法效果相同，可是付出的代价，是不是有天壤之别呢？ （7）数形结合 【题7】（北京西城.5月考，5题）双曲线2 22 21x ya b 的渐近线与圆2 2( 2) 1x y 相切，则双曲线离心率为（ ） （A） 2 （B） 3 （C）2 （D）3 【分析】既是已知圆与双曲线的渐近线相切，故不妨先画出图形再考查其数量关系 【解析】如图，圆C的圆心为C（0,2）,且半径r=1. 双曲线的渐近线 :bl y xa 切圆C于点A,则AOC是含30角的 直角三角形， 60 , tan
14、60 3,bAOxa 于是 2 223 2c aea ，选C. （8）三角代换 【题8】（2007.重庆卷，22题）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点321, PPP ， 使133221FPPFPPFPP ，证明 |1|1|1321FPFPFP为定值，并求此定值. 【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题. 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径， 否则将陷入繁杂的计算而不得自拔. 有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的. 图7 xy OC02(,)by
15、xa= A 图6 xyOFP1P2P3l减少解几试题计算量的十种方法 6 / 16 图8-2 正确的解题途径是： （1）利用椭圆的第二定义；（2）题中有3个相等的角 度，应不失时机地引入三角知识. 【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12 22 2 2 212, 12 3 36, 27aa b a cc . 故椭圆方程为：2 2136 27x y ，其离心率12e . 如图8-2设 1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , , ,P x y P x y P x y 为椭圆上符合条件的三点，令1 1 2 2 3 3, ,FP r FP r FP r .作P1H1l于H1，令1 1 1P
16、H d ， 设P1Fx=则P2Fx=+120P3Fx= 120-.于是 1 11122r ed x ，而1 1 1 1 193 cos , 2 9 cos2 cosx r r r r . 同理：2 39 9,2 cos(120 ) 2 cos(120 )r r .于是 1 2 31 1 1 12 cos 2 cos(120 ) 2 cos(120 )| | | | | | 9FP FP FP 1 26 cos 2cos120 cos9 3 ，故为定值. 【评注】如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁 （9）命题转换 【题10】（湖北重点学校4月考，19题）椭圆的两焦点坐标分别为 1
17、 23,0 , 3,0F F ,且椭圆过点13,2 .（1）求椭圆的方程； （2）过点6,05l 作直线 交该椭圆于M,N两点（直线l不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，求证;2MAN . 【分析】（1）问，简单；（2）问，点6,05 的横坐标为分数，显然会给以下的计算带来不小的麻烦.所以考虑转换为等价命题，使运算中不再含有分数. 【解析】（1）由条件知椭圆半焦距 3c ，13,2P 点 在椭圆上， xyOFlP x y1 1 1( , )P x y2 2 2( , )P x y3 3 3( , )120H1减少解几试题计算量的十种方法 7 / 16 2 2221 21 1 1 1 1 7 12
18、 3 0 22 2 2 2 2 2 2a PF PF 221, 14xb y 于是 所求椭圆方程为 （2）将所求椭圆的长，短轴各自扩大5倍，根据相似原理，原命题等价于：过 6,0Q 点 作直线l交椭圆2 21100 25x y 于M,N两点（直线l不与x轴重合），A为椭圆的左顶点，求证;2MAN . 设所求直线： 6y k x ，代入2 24 100x y ： 2 2 2 2 2 2 24 12 36 100 1 4 48 144 100 0x k x x k x k x k 于是2 21 2 1 22 248 144 100,1 4 1 4k kx x x xk k . 2 21 2 1 2
19、 1 2 1 26 6 6 36y y k x x k x x x x 1 1 2 2 1 2 1 2 1 210, 10, 10 100AM AN x y x y x x x x y y 2 2 21 2 1 21 10 6 100 36k x x k x x k 2 2 2 222 21 144 100 48 10 6100 361 4 1 4k k k kkk k 4 2 4 2 2 421144 44 100 288 480 100 436 144 01 4k k k k k kk 这就证明了：2MAN . （10）先猜后证 【题11】（湖北华师一附中.2010 .5月考.19题） 以
20、1 2(0, 1), (0,1)F F 为焦点的椭圆C过点P(22，1)()求椭圆C的方程； ()过点S(13 ，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以A B为直径的圆恒过点T? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】本题难点在第()问.考察曲线是否通过定点，用一般方法很难发现，所以先考察特殊图形，推测出可能的结果，而后再加证明. xyOA 10 0(- , )Q 6 0(- , )M x y( , )1 1N x y( , )2 2图9 减少解几试题计算量的十种方法 8 / 16 () 解法一（定义法）：设椭圆方程为2
21、 22 21y xa b ( 0)a b ，由已知 1c 。 又2 22 22 22 2 0 2 22 2a 所以2 2 22, 1a b a c ，椭圆C的方程是2x + 22y=1 解法二（方程法）：设椭圆方程为2 22 21y xa b ( 0)a b ，由已知 1c ，即2 21a b ，得2 22 211y xb b P(22，1)代入： 2 2 2 4 22 21 11 2 1 3 1 2 1 01 2b b b b bb b 2 20, 1b b 椭圆C的方程是2x + 22y=1 ()（先用特殊值探求，再证明探求的结果）在椭圆方程中， 令1,3x 得43y .如图即有：1 14
22、3ST SA SB .这说明 以弦A1B1为直径的圆过点T（1,0）.以下我们证明：椭圆中过点 S的其他弦为直径的圆也过定点T（1,0）只需证明 0TA TB . 设直线AB：13y k x .代入椭圆方程,整理得： 2 22 22 182 03 9k kk x x . 点S在椭圆内,此方程必有二实根1 2,x x ,且 2 21 2 1 22 22 18,3 2 9 2k kx x x xk k .于是 1 1 2 2 1 2 1 21 11, 1, 1 13 3TA TB x y x y x x k x k x 2 2 21 2 1 21 11 3 93 9k x x k x x k 2
23、2 2 2 2 2211 18 2 3 9 2 09 2k k k k k kk 可知TA TB ,也就是任何其他弦为直径的圆都过定点T（1,0）. 练习题 1.（北京东城二模，6题）已知双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与xyST(1,0)ABA1B1O图10 减少解几试题计算量的十种方法 9 / 16 双曲线交于 ,M N两点，O为坐标原点.若OM ON ，则双曲线的离心率为 （A）1 32 （B）1 32（C）1 52 （D）1 522.（2011.湖北重点学校4月考.文科.9题）.已知抛物线 22 0y px p ，RtABC的3个顶点
24、都在抛物线上，且斜边ABy轴，则斜边上的高为 （ ） A.2p B.4p C.p D.P/2 3.（湖北武昌，元月考，6题）直线 2y k x 与抛物线28y x 交于A,B两点.若AB中点的横坐标为3，则弦AB的长为（ ） A.6 B.10 C. 2 5 D.16 4.（2010.北京宣武5月考.8题.）如图抛物线1C ： pxy 22 和圆2C : 42222pypx ，其中 0p ，直线l经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于 , , ,A B C D四点，则 CDAB 的值为（ ） 2 2 22. . . .4 3 2p p pA B C D p 5（2010.北京.崇文.5月考.8
25、题）已知圆的方程2 225x y ，过 ( 4,3)M 作直线 ,MA MB与圆交于点 ,A B，且 ,MA MB关于直线 3y 对称，则直线AB的斜率等于 （ ） （A）43 （B）34 （C）54 （D）45 6（2011.元月.海淀.7题）已知椭圆2 2: 14x yEm ，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与 : 1l y kx 被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（ ） A 0kx y k B 1 0kx y C 0kx y k D 2 0kx y 7. （2011.元月.北京西城.14 题）在平面直角坐标系中，定义1 2 1 2( , )d P Q x x y y 为两点1 1
26、( , )P x y ,2 2( , )Q x y 之间的“折线距离”. 则坐标原点O与直线2 2 5 0x y 上一点的“折线距离”的最小值是_； 圆2 21x y 上一点与直线2 2 5 0x y 上一点的“折线距离”的最小值是_. 8（2011.元月.湖北武昌.9题）.如图，已知点P是圆 22: 2 2 1C x y 的一个动点，点Q是直线: 0l x y 上的一个动点，O为坐标原点，则向量OP在向量OQ方向投影的最大值是（ ） 减少解几试题计算量的十种方法 10 / 16 A.3 B. 222 C. 3 2 D.1 9. （湖北黄冈，元月.13题）如果点P在平面区域02012022yx
27、yxyx上，点Q在曲线2 2( 2) 2x y 上，那么 QP 的最小值为_ 10. （同上，14题）过双曲线2 22 21x ya b (a0,b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线2 22 21x yb a 上，则双曲线的离心率为 _. 11.（海南12校第一次联考，6题）设双曲线M: 2221, 0,1xy Ca 点 ，若直线 22212x tty t 为参数 交双曲线的两渐近线于A,B，且 2BC AC ，则双曲线的离心率为B 5 10. . . 5 . 102 3A B C D 12.（河北唐山一模.16题）双曲线 2 22 21 0, 0x ya ba b 的左、右焦
28、点分别为1 2,F F ,P为双曲线右支上一点，2PF2 2 2x y b 与圆 切于点G,且G为2PF 的中点，则该双曲线的离心率e= 13.（重庆7区2月考，8题）设F1，F2分别为双曲线 （a0,b0）的左右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足2 1 2PF FF ,且点P的横坐标为54c（c为半焦距），则该双曲线的离心率为 14. （2010.北京西城 5 月考.8 题）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB/CD，且 AB=2AD，设)2,0(, DAB ，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为1e ，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为2e ，则（ ） A随着角度的增大，1e 增
29、大，21ee 为定值 减少解几试题计算量的十种方法 11 / 16 B随着角度的增大，1e 减小，21ee 为定值 C随着角度的增大，1e 增大，21ee 也增大 C随着角度的增大，1e 减小，21ee 也减小 15.（2010.武汉二月调考.10题）. 过定点P（3,1）的直线l交x轴正半轴于A, 交y轴正半轴于B,O为坐标原点，则OAB周长的最小值为（ ） A.8 B.10 C.12 D.4 5 参考答案 1. （平几给力）MON是等腰直角三角形，斜边上的高为半焦距.Rt1 2 2 1 2, 2MFF MF c FF c 中， . 25 ,MF c 1 2 5 15 1 .2 25 1a
30、c e 则 于是离心率 2.（设而不求）如图设 1 1 1 1 2 2, , , , ,A x y B x y C x y ，则斜边上的高1 2h x x .由CA CB 1 2 1 2 1 2 1 2, , 0x x y y x x y y 2 22 21 2 1 2 1 2 1 20 2 0x x y y x x p x x 1 2 1 2 1 20, =2 . 2x x x x x x p h p 约去 得： 即 ，故选A. 3. （平几给力）如图，抛物线的焦点为F（2,0）准线方程为 : 2l x .若M为AB中点，由A,M,B分别向准线 : 2l x 引垂线，垂足依次为.1 1 1,
31、 ,A M B 那么1MM 是梯形1 1AAB BD 中位线，且15MM .故1 1 12 10AB AA BB MM ,选B. 4.（取特殊直线）如图：圆2C 的圆心为抛物线的焦点 ,02pF 令直线 AD 与 x 轴垂直，那么xy AB23-2OA1B1MM11题解图 xyOMNF1F2xyOABCD2题解图 3题解图 减少解几试题计算量的十种方法 12 / 16 , ,2pFA FD p FC FB .2pAB CD AB与CD同向，24pAB CD ，故选A. 5.（几何法：利用垂径定理及圆的对称性）如5题解图 显然点 ( 4,3)M 在圆2 225x y 上. 点M关于y轴的对称点N
32、（4,3）也在圆2 225x y 上.连ON.MN平分AMB,N为AB的中点. 必ONAB.3 4,4 3ON ABk k 6.（特值法省力）不妨设k=1,则4条直线依次为：A.y=-x-1; B.y=x-1; C.y=-x+1; D.y=-x+2. 显然，A与B关于y轴对称，B与C关于x轴对称，这3条直线与直线y=x+1被椭圆2 2: 14x yEm 所截得的弦长都相等.故选D. 7.（数形结合）直线2 2 5 0x y 交x轴于 5,0 , 0,2 5 .A B 显然坐标原点O与该直线上一点的“折线距离”的最小值等于 5OA . 设点P为圆2 21x y 上一点，为求其到该直线上一点 “折
33、线距离”的最小值，显然点P只能在第一象限的圆弧上. 作PQx轴，交该直线于Q，对于固定的P，我们证明点P,Q 的折线距离（也就是线段PQ之长）最小. 若点C在BQ上，作CFPQ于F，由于BQP=BAO45， , ( , )CF QF d P C PF CF PQ ； 若点D在AQ上，仅P,D横坐标差点绝对值已大于PQ之长. xyOPQABCDExyOABF p 2 0( / , )CDy 2px =24题解图 xyM(-4,3)OAB(5,0)y=3c(5,6)5题解图 y x 1=- -y x 1=- +y x 2=- +y x 1= -Oxyy x 1= +6题解图 7题解图 减少解几试题
34、计算量的十种方法 13 / 16 现在设 2 5 sincos ,sin , ,sin 0,2 2P Q .那么 1 5, 5 sin cos 5 sin2 2d P Q .当且仅当 sin =1时，所求最小值为52. 8. 解法1.（数形结合）设圆C垂直于直线 : 0l x y 的切线为x=-y+m，代入 圆的方程： 222 2y 2 2 1 2 2 4 2 7 0m y y m y m 令 2 2 20 4 16 2 32 8 7 0 4 2 6 0m m m m m . 解得： 2,3 2m . 取 3 2,m 直线方程为 3 2,x y 令x=y,得3 32, 2 ,2 2Q 则所求投
35、影的最大值为9 932 2OQ ，选A. 解法2.（平面几何给力）过圆心 0,2 2C 作直线 : 0l x y 的平行线，设与圆的上交点为P，PMl于M， 又作ON直线CP于N, 21, sin 45 2 2 2,2CP CN OC 故所求投影的最大值为 3OM NP 9.（数形结合）符合题意的平面区域如图所示.作圆的平行于直线 x-2y+1=0的切线，设其方程为 2y 0.x m 则圆心M（0，-2） 到此直线的距离42, 4 105md m .取 4 10m ， 则切线方程为 2y 4 10 0.x 所求 QP 的最小值为4 10 15 25 10.设双曲线右焦点为F（c,0），取渐近线
36、 :bl y xa ，FMl于M,直线FM的方程为： xyOPQC: 0l x y- =xyOQC:l x y-PMNxyOA 0 2( , )B 1 0(- , )C 1 1( , )M 0 2( ,- )x 2y 1 0- + =x 2y m 0- + =8题解图1 8题解图2 9题解图 减少解几试题计算量的十种方法 14 / 16 ay x cb 由 0by xb aax x ca a by x cb 2 2,c ac ax xab b c ，从而2b a abya c c ,得 2,a abMc c .代入椭圆方程： 4 2 22 2 2 2 4 4 2 2 22 2a a ba b
37、a b a b b a b a bc c .则双曲线的离心率为 2 11.（减少参数）双曲线的渐近线为xya ，直线的一般方程为 1y x 由11 , ;1By xx ax xxa aya 由11 ,y xxxxaya ,1Aaxa 由条件知A为BC中点，2.1 1a aa a 0, 1 2 1 0 3a a a a .于是 1010,3c e 离心率 .选B. 【评注】只求x，不求y，省力的典范. 12.（回归定义）当2PF2 2 2x y b 与圆 切于点G时，有2 2, c, .OG b OF GF a 但 于是 1 22 2 2 . 2a PF PF b a b a 知290 ,OGF
38、 2 2 22 22 25 5.cOG GF OF a c ea xyOF c 0( , )MxyOC 0 1( , )BxyPOF1F2bcaaG11题解图 12题解图 xyF 4 01(- , )O F 4 02( , )PQ 5 0( , )13题解图 ABCDO xy14题解图 减少解几试题计算量的十种方法 15 / 16 O A B P(2,1) x y M N 1 1 2 2 13.（取特值，回归定义）不妨令c=4，则点的横坐标为5.如图有 1 2 2 1 24,0 , 4,0 . 8.F F PF FF 则 作PQx轴于Q,有Q(5,0).且2 2 228 1 63 63 9 1
39、2.PQ PF ， 2 11 112 8 2, 22 2ca PF PF ea 离心率 14.（回归定义，三角法）连AC,BD. 不妨设 1,AD 则 2, 2 2cosAB CD . 由余弦定理： 5 4cosAC BD . 对于双曲线, 11 15 4cos 1 ,2 2a DB DA 1 121,5 4cos 1c e . 0,2 ,当增大时，1e 减小. 对于椭圆, 21 15 4cos 12 2a DA CA , 2 22 1 cos11 cos , .25 4cos 1c CD e , 1 22 1 cos 4 1 cos214 1 cos5 4cos 1 5 4cos 1e e
40、,故为定值. 15.解法1（三角代换）如15题截图1，作PMx轴于M，PNy轴于N，则ON=2,ON=1. 设OAB=NPB=，则NB=2ton,MA=cot,AP=csc,PB=2sec. 于是OAB的周长 2 cot 1 2tan csc 2secL 222 22 1 sin1 cos3sin cos2 cos sin2cos2 2232sin cos cos sin2 2 2 2 2 cos sin 2 cos sin 2sin2 2 2 2 23 cot 3 cot2 2cos sin cos sin2 2 2 2 4sin425 cot 6 cot 12 2cos sin cot 12 2 2
