1、 -475-第二十四章 时间序列模型 时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。 时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。 1按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序列。 2按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时间序列两种。 3按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序列。如果一个时间序列的概率分布与时间 t 无关，则称该序列为严格的（狭义的）平稳时间序列。如果序列的一、二阶矩存在，而且对任意时刻 t 满足： （ 1）均值为常数 （ 2）协方差为时间间隔 的函数。 则称该序列为宽平
2、稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。我们以后所研究的时间序列主要是宽平稳时间序列。 4按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高斯型时间序列。 1 时间序列分析方法概述 时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合。 （ 1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的主要变化趋势。 （ 2）季节变动。 （ 3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波形相似的波动。 （ 4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。 通常用tT 表示长
3、期趋势项，tS 表示季节变动趋势项，tC 表示循环变动趋势项，tR表示随机干扰项。常见的时间序列模型有以下几种类型： （ 1）加法模型 tttttRCSTy += （ 2）乘法模型 tttttRCSTy = （ 3）混合模型 ttttRSTy += tttttRCTSy += 其中ty 是观测目标的观测记录， 0)( =tRE ，22)( =tRE 。 如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差2 较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未来时，可用一些经验方法进行预测。 2 移动平均法 移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势
4、的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序-476- 列的长期趋势。 移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。 2.1 简单移动平均法 设观测序列为Tyy ,1L ，取移动平均的项数 TN 0.00001 Terr=; for j=N+1:m-1 yhat(j)=w*yt(j-1:-1:j-N); err=yt(j)-yhat(j); Terr=Terr,abs(err); w=w+2*k*err*yt(j-1:-1:j-N); end Terr=max(Terr); end
5、w, yhat 5.2 kN, 值和初始权数的确定 在开始调整权数时，首先要确定权数个数 N 和学习常数 k 。一般说来，当时间序列的观测值呈季节变动时， N 应取季节性长度值。如序列以一年为周期进行季节变动时，若数据是月度的，则取 12=N ，若季节是季度的，则取 4=N 。如果时间序列无明显的周期变动，则可用自相关系数法来确定，即取 N 为最高自相关系数的滞后时期。 k 的取值一般可定为 N/1 ， 也可以用不同的 k 值来进行计算， 以确定一个能使 S 最小的 k 值。 初始权数的确定也很重要，如无其它依据，也可用 N/1 作为初始权系数用，即 ),2,1(1NiNwiL= 自适应滤波法
6、有两个明显的优点：一是技术比较简单，可根据预测意图来选择权数的个数和学习常数，以控制预测。也可以由计算机自动选定。二是它使用了全部历史数据来寻求最佳权系数，并随数据轨迹的变化而不断更新权数，从而不断改进预测。 由于自适应滤波法的预测模型简单，又可以在计算机上对数据进行处理，所以这种预测方法应用较为广泛。 6 趋势外推预测方法 -492- 趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：（ a）选择应预测的参数； （ b）收集必要的数据； （ c）利用数据拟合曲线； （ d）趋势外推； （ e）预测
7、说明； （ f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。 趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络曲线等。 6.1 指数曲线法 一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。 指数曲线的数学模型为 Kteyy0= （ 35） 其中系数0y 和 K 值由历史数据利用回归方法求得。对式（ 35）取对数可得 Ktyy +=0lnln （ 36） 令 yY ln= ，0ln yA = 则 KtAY += 其中 KA, 可以用最小二乘法求得。 6.2 修正指数曲线法 利用指数曲线外推来进行预测时
8、，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。 ttabKy += （ 37） 在此数学模型中有三个参数 aK, 和 b 要用历史数据来确定。 修正指数曲线用于描述这样一类现象。 （ 1）初期增长迅速，随后增长率逐渐降低。 （ 2）当 0K ， 0 baK （ 45） 采用 Compertz 曲线前应对数据进行检验，检验方法是看给定数据的对数逐期增长量的比率是否接近某一常数 b 。即 byyyyt
9、ttt+11lnlnlnln（ 46） Compertz 曲线用于描述这样一类现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快。当达到一定程度后，增长率又逐渐下降。 参数估计方法如下： -495-式（ 46）两边取对数，得 ttbaKy )(lnlogln += （ 47） 记 aaKKyyttln,ln,ln = 得 ttbaKy += 仿照修正指数曲线的三和法估计参数，令 +=+=mmttmmttmttySySyS312321211, （ 48） 其中ttyy ln = 。则类似式（ 42） ，得 =1)1(1)1(1)(121211223bbbaSmKbbbSSaSSSSbmmm（ 49） 例 9（续例
10、 8） 根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程，求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。 解：已知 15=n ， 5=m ，根据式（ 48） ，得 19.75581=S ， 21.60942=S ， 22.73333=S 再由式（ 49） ，得 0.9048=b 1.2588 =a ， 0.284=a 4.8929=K ， 133.3341=K 从而收音机销售量的 Compertz 曲线方程为 tty9048.0284.03341.133 = 将 18=t 代入方程，得 1986 年收音机销售量的预测值为 108.31431986=y （万部
11、） 计算的 MATLAB 程序如下： clc,clear yuce=(t,a,b,k) k*a.(b.t); %定义预测的匿名函数 load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中 yt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3; s1=sum(yt(1:m), s2=sum(yt(m+1:2*m), s3=sum(yt(2*m+1:end) b=(s3-s2)/(s2-s1)(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(bm-1)2) k=(s1-a*b*(bm-1)/(b-1)/m a=exp(a) k=exp(k) -496- y=yuce(
12、1:18,a,b,k) 6.4 Logistic 曲线（生长曲线） 生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快，而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线（生长曲线） ，很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有相当广泛的应用。 Logistic 曲线的一般数学模型是 )1(Lyrydtdy= （ 50） 式中 y 为预测值， L 为 y 的极限值， r 为增长率常数， 0r 。解此微分方程得 rtceLy+
13、=1（ 51） 式中 c 为常数。 下面我们记 Logistic 曲线的一般形式为 ttabKy+=1， 0K ， 0a ， 10 ntt时，拒绝0H 。 对于时间序列的样本nXXX ,21L ，记tX 的秩为 )(ttXRR = ，考虑变量对),(tRt ， nt ,2,1 L= 的 Spearman 相关系数sq ，有 =nitsRtnnq122)()1(61 （63） 构造统计量 212ssqnqT= 作下列假设检验： 0H ：序列tX 平稳，1H ：序列tX 非平稳（存在上升或下降趋势） Daniel 检验方法：对于显著水平 ，由时间序列tX 计算 ntRtt,2,1),( L= 的S
14、pearman 秩相关系数sq ， 若 )2(2/ ntT， 则拒绝0H ， 认为序列非平稳。 且当 0sq时，认为序列有上升趋势； 0 ntT，故拒绝0H ，认为序列是非平稳的；因 0sq ，故序列有上升趋势，即认为该城镇偷盗率有上升趋势。 计算的 Matlab 程序如下：clc,clear x0=1.37 2.96 1.91 3.10 2.08 2.54 4.07 3.62 2.91 1.94 3.96 4.19 2.71 3.42 3.02 3.54 2.66 4.11 4.25 3.76; %x0 为 210 矩阵 x0=x0; x0=x0(:); n=length(x0); xsor
15、t,ind=sort(x0) %按从小到大的次序排列数据 Rt(ind)=1:n %计算秩 t=1:n; Qs=1-6/(n*(n2-1)*sum(t-Rt).2) %计算 Qs 的值 t=Qs*sqrt(n-2)/sqrt(1-Qs2) %计算 t 统计量的值 t_0=tinv(0.975,n-2) %计算上 alpha/2 分位点 2平稳序列自协方差函数与自相关函数的估计 对平稳序列tX 的样本nXXX ,21L ，可以用样本均值估计随机序列的均值 XXnnit=11 （ 64） k 通常有如下两种估计 )()(11XXXXntkntktk=+ ， Kk 0 （ 65） 且kk =。或者
16、)()(11XXXXkntkntktk=+ ， Kk 0 （ 66） k 的估计为 0kk= ， Kk 0 （ 67） 7.2 ARMA时间序列及其特性 下面介绍一种重要的平稳时间序列 ARMA 时间序列。 ARMA 时间序列分为三种类型 : 1） AR 模型，即自回归序列（ Auto Regressive Model） ； 2） MA 序列，即滑动平均序列（ Moving Average Model） ； 3） ARMA 序列，即自回归滑动平均序列（ Auto Regressive Moving Average Model） 。 -501-可证 ARMA 时间序列具有遍历性，因此可以通过它的
17、一个样本估计自协方差函数及自相关函数。 7.2.1 ARMA 时间序列的定义 1 )(AR p 序列 设 ,2,1,0, L=tXt是零均值平稳序列，满足下列模型： tptntttXXXX +=L2211（ 68） 其中t 是零均值、方差是2 的平稳白噪声。则称tX 是阶数为 p 的自回归序列，简记为 )(AR p 序列，而 Tp),(21 L= 称为自回归参数向量，其分量 pjj,2,1, L= 称为自回归系数。 引进后移算子对描述式（ 68）比较方便。算子 B 定义如下： 1ttXBX ，kttkXXB 记算子多项式 ppBBBB = L2211)( ， 则式（ 68）可以改写为 ttXB
18、 =)( 2 )(MA q 序列 设 ,2,1,0, L=tXt是零均值平稳序列，满足下列模型： qtqttttX= L2211， （ 69） 其中t 是零均值、方差是2 的平稳白噪声，则称tX 是阶数为 q 的滑动平均序列，简记为 )(MA q 序列，而 Tq),(21 L= 称为滑动平均参数向量，其分量 qjj,2,1, L= 称为滑动平均系数。 在工程上，一个平稳白噪声发生器通过一个线性系统，如果其输出是白噪声的线性叠加，那么这一输出服从 MA 模型。 对于线性后移算子 B ，有 1ttB ，kttkB ； 再引进算子多项式 qqBBBB = L2211)( 则式（ 69）可以改写为 t
19、tBX )(= 3 ),(ARMA qp 序列 设 ,2,1,0, L=tXt是零均值平稳序列，满足下列模型： qtqttptpttXXX= LL1111， （ 70） 其中t 是零均值、方差是2 的平稳白噪声，则称tX 是阶数为 qp, 的自回归滑动平均序列，简记为 ),(ARMA qp 序列。当 0=q 时，它是 )(AR p 序列；当 0=p 时，它为-502- )(MA q 序列。 应用算子多项式 )(),( BB ，式（ 70）可以写为 ttBXB )()( = 对于一般的平稳序列 ,2,1,0, L=tXt，设其均值 =)(tXE ，满足下列模型： qtqttptpttXXX= L
20、L1111)()()( （ 71） 其中t 是零均值、方差是2 的平稳白噪声，利用后移算子 )(),( BB ，式（ 71）可表为 ttBXB )()( = ， 关于算子多项式 )(),( BB ，通常还要作下列假定： 1） )(B 和 )(B 无公共因子，又 0p ， 0q ； 2） 0)( =B 的根全在单位圆外，这一条件称为模型的平稳性条件； 3） 0)( =B 的根全在单位圆外，这一条件称为模型的可逆性条件。 7.2.2 ARMA 序列的平稳性与可逆性 在理论与实际问题的探讨中， ARMA 序列的平稳性与可逆性是非常重要的。 1 ARMA 序列的平稳性 设 ,2,1,0, L=tt 是
21、零均值平稳白噪声，2)(Var =t。 若 ,2,1, L=kGk是一数列，满足 +，即 )(B 的根在单位圆外，满足平稳性条件。说明在满足平稳性条件时，序列存在传递形式（ 75） 。 对于 ),(ARMA qp 序列 ttBXB )()( = 当 )(B 满足平稳性条件（ )(B 的根全在单位圆外）时，可证kG 是负指数下降的，即存在 0,21gg ，使得 kgkegG12hh ，使得 khkehI12+=+=+qkqkkqkqkkqk,01),(0),1(112222212LL（ 78） 自相关函数为 +=+qkqkkqqkqkkkk0,1,10 ,122221110LL（ 79） 注意到，当 qk 时 0=k ， 0=k
