1、第六章 预测模型（Forecast Models） 本讲主要内容 1. 预测和预测模型 2. 时间序列预测模型 3. 灰色预测模型 4. 数学建模案例：SARS疫情对某些经济指标影响问题 6.1预测和预测模型 6.1.1 什么是预测 预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学技术高度发达的当今才产生的。“预测”是来自古希腊的术语。我国也有两句古语：“凡事预则立，不预则废”， “人无远虑，必有近忧” 。预测的目的在于认识自然和社会发展规律，以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要
2、发生的事情，并能动地控制其发展，使其为人类和社会进步服务。因而预测是决策的重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测和决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。 20 世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这也是预测技术迅速发展的另一个
3、重要原因。 6.1.2 预测的方法和内容 为保证预测结果的精确度，预测之前的主要工作是数据的准备，数据是预测工作的前提和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结，从中找出规律，便可科学地推断未来。 1.数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。第一手数据，包括以各种形式初次收集的数据。收集第一手数据的途径包括：抽样调查，连续调查，或全面调查。在预测的定性方法中常常需要第一手数据，但获取
4、第一手数据的费用较高，时间较【产品销量预测问题】假设商店某种产品的销售量如下表6-1。 表6-1 某产品销量资料 年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 销售量（万件） 10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38 试预测2011年的销售量，并且要求在90%的概率保证下，给出预测的置信区间。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 长，所以定量方法常采用第二手数据。第二手数据多为已经公布和发表的资料，易于获取，代价低，数据精度也有一定的保证。其缺点是数据可能不能直接适用于预测情况。因此，常常需要对
5、已公布的数据进行修正和处理，使其适应于预测需要。 无论是第一手数据还是第二手数据，都可能是混乱的、无序的、彼此间孤立的。预测人员都应将原始数据按“单元”或“类别”整理和集中，以便使其成为内容上完整、有序、系统，形式上简明统一的数据。 2.数据的分析和处理 建模不仅需要大量的数据，同时数据必须可靠，并适合建模的要求。这些数据虽然是历史的客观写照，但有可能是失真的数据。对于失真的数据，以及不符合建模的数据，必须通过分析，加以适当处理。处理的原则是准确、及时、适用、经济、一致，处理方法有判别法、剔除法、平均值法、差分法等等。有些模型只能处理平稳数据，如果原始数据为非平稳数据，则需釆取差分处理。 在预
6、测过程中，由于预测对象不同，预测内容不同，以及预测期限不同，所需的数据内涵及数量也不同。经济预测的数据主要包括： （1）国民经济总产值及各部类的分配情况； （2）各行业的生产规模和生产能力以及技术水平； （3）政府的经济政策及产业政策； （4）生产力布局； （5）人口发展趋势及就业情况； （6）国民经济投资及分配； （7）国际环境及变化趋势。 市场需求预测需要的数据主要有： （1）人口及人均收入； （2）国民收入的增长及分配情况； （ 3 ）与产品消费直接有关的政府政策和法规，如进口限制、进口税、销售稅和其它税费、信贷管理及外费管理等； （4）一段时期内产量和产值的生产能力； （5）一段时期内
7、的产品的进口量； （6）代用品或近似代用品的产量和进口量； （7）与有关新投入的产品前后关联度高的产品的产量； （8）国家计划规定的产品或代用品的生产指标； （9）产品出口量； （10）个人或集体消费者们的习惯或嗜好； （11）法律方面的资料。 针对不同的预测问题可选取适当的数学模型进行预测。实用的预测模型很多，数学建模中常用的预测模型有时间序列模型，回归分析模型和灰色预测模型等等。回归模型在第四章中已经介绍，本章讲分别介绍时间序列预测模型和灰色预测模型。 6.2 时间序列预测模型 时间序列一般指一组按时间顺序排列的数据，展示了研究对象在一定时期的发生变化过程。时间序列模型，就是根据预测对象时
8、间变化特征，研究事物自身的发展规律，探讨未来发展趋势，是一种重要的定量预测方法。它是在时间序列变量分析的基础上，运用一定的数学方法建立预测模型，使时间趋势向外延伸，从而预测未来市场的发展变化趋势，确定变量预测值。时间序列模型包括多种模型，主要适用于经济预测、商业预测、需求预测、库存预PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 测等，预测期限主要为中、短期，不适用于有拐点的长期预测。 在时间序列中，通常根据影响因素将数据的变化趋势分为四大类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。对于前三种数据趋势预测问题，由于数据均呈现出某种规律性，因此我们能够将数据进行简化、分析，从
9、而使预测成为可能；而不规则变动是指由某种偶然因素引起的突然变动，如战争的发生、政权的更迭、重大自然灾害的发生等，不规则变动没有周期性。 在建模中常用的时间序列预测方法有移动平均法、指数平滑法、趋势外推法、季节指数预测法等等。 6.2.1 移动平均预测法 移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数，以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。 移动平均法有简单移动平均法、加权移动平均法、趋势移动平均法等，这些都是比较简单的时间序列预测方法。 移动平均
10、法的基本方法是，选一个固定的周期N，对数据进行平均，每递推一个周期就加上后一个数据，舍去初始数据，依次类推，直至把数据处理完毕。以N=5为例： 512345)1(5yyyyyM += ， 523456)1(6yyyyyM += . ( ) ( )1156MM、 分别表示第五、第六个周期的一次移动平均值，依次类推。若移动平均的周期为N，则可得到计算移动平均值的一般公式： NyyyyM Nttttt)1(21)1( += L ， 其中， )1(tM 表示第t期的一次移动平均值。 可见，移动平均法实际上是对于某一期数据，取前 N 个数据进行平均，N 个数权数相同，而其它数据的权为零，这样经过移动平均
11、，将消除数据列中异常的因素，对数据进行修匀。一般情况下，如果数据没有明显的周期变化和趋势变化，可用第t期的一次移动平均值作为t+1期的预测值，即 )1(1 tt My =+ . 表6-2中的的第二列和第三列，即是原始数据与一次移动平均值的对比。始取N=3的3期移动平均，则第三期数据的移动值为5766.33，它可以作为第4期的预测值。 一次移动平均法只能用来对下一期进行预测，不能用于长期预测。使用移动平均法，最重要的是移动周期N的选择。由于移动平均修匀后的方差，随着N的加大而减少。也就是N越大，对原始数据修匀能力越强。必须选择合理的移动跨期，跨期越大对预测的平滑影响也越大，移动平均数滞后于实际数
12、据的偏差也越大。跨期太小则又不能有效消除偶然因素的影响。跨期取值可在320间选取。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 表6-2 移动平均值 序 列 原 始 数 据 一次移动平均值 二次移动平值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5600 5796 5930 6092 6257 6567 6851 7141 7436 7738 8045 5775.3 5939.3 6093.0 6305.3 6558.3 6853.0 7142.7 7438.3 7739.7 5935.9 6112.5 6318.9 6572.2 6851.3 7144.7 744
13、0.2 在一次移动平均值的基础上，应用移动平均的原理，还可以进行二次甚至多次的移动平均，二次移动平均，就是以一项移动平均值为原始数据，再进行一次移动平均。二次移动平均法的公式为： NyyyyM Nttttt)1(21)1( += L ， NMMMMM Nttttt)1()1()1(2)1(1)1()2( += L . 二次移动平均使原始数据得到了进一步修匀，使其显现线性趋势。表6-2中的第四列数据为N=3的二次移动平均值。 在二次移动平均值的基础上，可建立线性模型： tt ttt bay +=+ 其中 ,2 )2()1( ttt MMa = )(12 )2()1( ttt MMnb = ，式中
14、：t -预测超前期数。 对于表6-1中的数据，如以11期数据预测12期值，当取N=3时，则有： ,2.80392.74407.773922 )2(11)1(1111 = MMa .5.2992.74407.7739)(13 2 )2(11)1(1111 = MMb 预测方程为 tt 5.2992.803911 +=+y . 所以第12期的预测值为 7.83385.2992.803912 =+=y . 二次移动平均法是对一次移动平均数再次进行移动平均，并在两次移动平均的基础上建立预测模型对预测对象进行预测。二次移动平均法与一次移动平均法相比，其优点是大大减少了滞后偏差，使预测准确性提高。但它只适
15、用于短期预测。而且只用于 0T 的情形。 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 6.2.2指数平滑预测法 指数平滑法（Exponential Smoothing,ES）是布朗（RobertG.Brown）所提出的，他认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续到未来，所以将较大的权数放在最近的资料。指数平滑法来自于移动平均法，是一次移动平均法的延伸。它将时间数据加工平滑，从而获得其变化规律与趋势。根据平滑次数的不同，指数平滑法可以分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。 1. 一次指数平
16、滑法 一次指数平滑公式为 )1(1)1( )1(+= ttt SyS aa . 其中 )1(tS ：t期数据的指数平滑值；a ：平滑常数，00.95 0.80 0.70 0.65 勉强合格 0.70 0.65 不合格 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 不同的预测方法可以用在不同的场合，各种时间序列方法大都是依赖大量的时间序列数据。时间序列数据间必须有明显的关系。回归分析同样需要大量的时间序列数据。灰色预测预测模型克服了以上预测方法的缺点，只需要较少的数据，便能预测不同因素时间的关联度，得出影响变量变化的主要因素。 6.4 数学模型案例：SARS疫情对某些经济指标
17、影响问题 6.4.1 问题的提出 2003年的SARS疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定的影响,特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是明显的,经济影响主要分为直接经济影响何间接影响.直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务业等行业.很多方面难以进行定量地评估,现仅就 SARS 疫情较严重的某市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量的评估分析. 究竟SARS疫情对商品零售业、旅游业、综合服务业的影响有多大,已知某市从1997年1月到2003年12月的商品零售额、接待旅游人数、综合服务收入的统计数据如表6-8、6-9和6-10.试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2
18、003年SARS疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。 表6-8 商品的零售额（单位：亿元） 年代 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 10
19、9.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 163.2 159.7 158.4 145.2 124 144.1 157.0 162.6 171.8 180.
20、7 173.5 176.5 表6-9 接待海外旅游人数（单位：万人） 年代 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 11.4 26.0
21、19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 表6-10 综合服务业累计数额（单位：亿元） 年代 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1997 1998
22、 1999 2000 2001 96 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972 111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139 151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238 164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497 182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 2002 2003 216 361 5
23、04 642 818 979 1142 1305 1479 1644 1920 241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218 6.4.2模型的分析与假设 根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的总和（或平均值）较好地反映了相关指标的变化规律。从而我们把预测分成两部分： (1) 利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由19972002年的平均值预测2003年的年度平均值； (2) 通过历史数据计算每个月的指标值与全年总和的关系，就可以预测出正常情况下 2003年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS疫情实际造成的影响。
24、假设： (1) 假设所给的统计数据可靠、准确的； (2) 假设该市在SARS疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS疫情的影响有关，不考虑其他随机因素的影响。 6.4.3建立灰色预测模型GM(1,1) 由已知数据，对于19972002年某项指标记为矩阵 ( ) 126= ijaA ，计算每年的年平均值，记为 )6(,),2(),1( )0()0()0()0( xxxx L= ， (6.1) 并要求级比 )389.7,1353.0()(/)1()( )0()0( = ixixis （都符合要求）。对 )0(x 作一次累加，则 )6,3,2()()(),1()1(1)0()1()0()1(
25、L= =ikxixxxik， 记 ,)6(,),2(),1( )1()1()1()1( xxxx L= （6.2） 取 )1(x 的加权平均值，则 )6,3,2()1()1()()( )1()1()1( L=+= kkxkxkz aa ，a 为确定参数，记 ,)6(,),3(),2( )1()1()1()1( zzzz L= (6.3) 得到GM(1,1)的白化微分方程模型为 baxdtdx =+ )1()1(， (6.4) 其中a是发展灰度，b为内生控制灰度. 由 )()1()( )0()1()1( kxkxkx = ，取 )()0( kx 为灰导数， )()1( kz 为背景值，则与方程（
26、6.4）相对应的灰微分方程为 )6,3,2()()( )1()0( L=+ kbkazkx 或 )6,3,2()()( )1()0( L=+= kbkazkx . 矩阵形式为 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 TbaBY ),()0( = ， 其中TT zzzBxxxY =111)6()3()2(,)6(,),3(),2( )1()1()1()0()0()0()0(LLL ， 则用最小二乘法求得参数的估计值为 )0(1)(),( YBBBba TTT = (6.5) 于是方程(6.4)有响应(特解) abeabxtx ak _)1()1( )0()1( =+ ，
27、 则 )()1()()1()1( )1()0()1()1()0( =+=+ kaak eeabxkxkxkx (6.6) 由(6.6)式可以得到 2003 年的平均值为x。则预测 2003 年的总值为 xX =12 .根据历史数据，可以统计出2003年第i个月的指标值占全年总和值的比例为u i，即 = = =6112161j i jijiji aau (i=1,2,12) (6.7) 于是2003年的每个月的指标值(预测值)为 uXY = . 6.4.4模型的求解 (1)商品零售额 由数据表6-8，用（6.1）和（6.2）式计算可得年平均值、一次累加值分别为 )4083.145,8083.13
28、2,4167.118,4750.108,5000.98,6167.87()0( =x ， )2250.691,8167.545,0083.413,5917.294,1167.108,6167.87()1( =x . 计算表明， )0(x 的所有级比都在可容区间内。经检验，这里取 =0.4比较合适，由（6.3）式则 )9800.603,1317.466,9583.341,5067.229,0167.127()1( =z . 由最小二乘法用（6.5）式求得 a=-0.0993,b=85.5985.由（6.6）式可得 2003 年的月平均值为 8826.162=x 亿元；年总值为 6.195412
29、= xX 亿元.由（6.7）式得每个月的比例为 u=(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886, 0.0866,0.0920), 因此2003年的各月的商品零售额的预测值为 = XuY (155.2,157.8,146.4,153.6,160.1,159.9,165.2,163.8,170.5,173.2,169.3,179.9). 将预测值与实际值进行比较如表6-11. 表6-11 2003年商品的零售额（单位：亿元） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月
30、12月 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 预测值 实际值 155.2 157.8 146.4 153.6 160.1 159.9 165.2 163.8 170.5 173.2 169.3 179.9 163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5 (2) 接待海外旅游人数 由数据表6-9，用（6.1），（6.2）式计算年平均值 )0(x 和一次累加值 )1(x .取参数=0.5， 由（6.3）式可得加权平均值 )1(z .由（6.5），（6.6），（6.7）式可求得
31、 a=-0.0938,b=16.2670, 1788.36312,2649.30 = xXx , 以及 u=(0.0407,0.0732,0.0703,0.0878,0.0907,0.0848,0.0836,0.1022,0.1010,0.1041,0.0914,0.0701) 于是2003年的全年接待海外旅游人数的预测值为357.6331（万），各月的预测值与实际值比较如表6-12. 表6-12 2003年接待海外旅游人数（单位：万人） 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 预测值 实际值 14.8 26.6 25.5 31.9 33.0 30.
32、8 30.4 37.1 36.7 37.8 33.2 25.5 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8 综合服务收入类似处理略(3) ( ). 6.4.5模型的结果分析 根据该市的统计报表显示,2003 年的 4,5,6 月的商品零售额分别为 145.2,124,144.1 亿元,在这之前，根据统计部门的估计4、5、6三个月份SARS疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，这三个月估计大约损失62亿元,从我们的模型预测结果来看，4、5、6三个月的损失为60.3亿元，这个数据基本与专家的估算值相符， 8月恢复正常.这也说
33、明了模型的正确性和可靠性。 对于旅游业来说是受影响最严重的行业之一，最严重的 4、5、6、7 四个月就损失 100多万人，按最新统计数据，平均每人消费 1002 美元计算，大约损失 10 亿美元.全年大约损失160万人，约合16亿美元.到年底基本恢复正常。 从预测的结果可以看出，虽然下半年没有发生疫情，但人们一直担心SARS会卷土重来，所以，对这些行业还是有一定的影响的，即SARS影响的延续性的作用。 该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也适用于其他方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有广泛的应用性。 【产品销量预测问题解答】（问题见本章首页） 第一步：确定模
34、型 根据表6-1所给的时间序列数据，绘制图像，如下， PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 某产品销售量01020304050200 200220042006200820102012年份销售量（万件）销售量图6-2 销售数据曲线图 由图可知，该产品的销售量基本符合二次多项式的模型。 （2）计算原始数据的差分，得下表。 表6-13 差分计算表 y t 10 18 25 30.5 35 38 40 39.5 38 一阶差分 8.0 7.0 5.5 4.5 3.0 2.0 -0.5 -1.5 二阶差分 -1.0 -1.5 -1.0 -1.5 -1.0 -2.5 -1.0
35、由表6-13可知，该时间序列观察值的二阶差分大致相等，其波动范围在-2.5-1.0之间。综合散点图和差分分析，确定选用二次多项式曲线模型进行预测。 第二步：求模型参数 模型参数计算如下表： 表6-14 某产品销售量二次多项式曲线模型参数计算表 年份 时序t y t t 2 t 4 ty t 2 y 2002 -4 10 16 256 -40 160 2003 -3 18 9 81 -54 162 2004 -2 25 4 16 -50 100 2005 -1 30.5 1 1 -30.5 30.5 2006 0 35 0 0 0 0 2007 1 38 1 1 38 38 2008 2 40
36、4 16 80 160 2009 3 39.5 9 81 118.5 355 2010 4 38 16 256 152 608 合计 0 274 60 708 214 1613.5 设二次多项式曲线模型为： y t =b 0 + b1 t + b 2 t 2 由统计数据y1 ,y 2 ,y n ,令 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 Q（b0,b1,b2）= (21)tntt yy = ( 222101)tbtbbyntt =最小值， 根据最小二乘原理，得： = 20bQ 0)( 2210 = tbtbbyt 0)(2 22101= ttbtbbybQ t 0)
37、(2 222102= ttbtbbybQ t 经整理，得： +=+=+=4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby201207080605.161306002146009274bbbbb+=+=+=解此三元一次方程，可求得b 0 =35.05，b1 =3.57，b 2 =-0.69。所以二次多项式曲线模型为： y t =35.05+3.57t-0.69t 2 (原点为2006年). 第三步：进行预测和确定预测的置信区间 若要预测2011年的销售量，则t=5时： y 2011 =35.05+3.575-0.675 2 =36.15（万件） 为了确定预测的置信区
38、间，必须计算估计标准误差，其计算过程如表6-15. 表6-15 估计标准差误差计算表 年份 y i y i yi-y i (y i - y i)2 2002 10 9.73 0.27 0.0729 2003 18 18.13 -0.13 0.0619 2004 25 25.15 -0.15 0.0225 2005 30.5 30.79 -0.29 0.0841 2006 35 35.05 -0.05 0.0025 PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建 2007 38 37.93 0.07 0.0049 2008 40 39.43 0.57 0.3249 2009 39.5 39.55 -0.05 0.0025 2010 38.00 38.29 -0.29 0.0841 合计 0.6153 es = 3)y 2ny（ = 66153.0 =0.32(万件) 上述预测2011 年销售量为36.15万件，在给定90%的概率保证程度下，其近似的预测置信区间为： y )6(05.0t es =36.151.9430.32 即在35.5336.77万件之间。 参考文献 1 韩中庚，数学建模及其应用 2姜启源，谢金星，叶俊，数学模型高等教育出版社.2003. PDF 文件使用 “pdfFactory Pro“ 试用版本创建
