1、2.2 直线的投影,直线的投影,直线上的点,直线的真长及其倾角,两直线间的相对位置,一边平行于投影面的直角投影规律,A,B,b,a,C,D,c,d,E,F,e ( f ),直线的投影特性：一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积聚为一点。,直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：,一般位置直线,投影面平行线,投影面垂直线, 直线与三个投影面均倾斜。, 直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。, 直线垂直于某一投影面。,1、直线的投影,一般线的投影特性：一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，也不反映直线与投影面的倾角。,一 般 位 置 线,直线所平行
2、的投影面不同，投影面平行线又可分为：,水平线,直线平行于H面，倾斜于V、W面。,正平线,直线平行于V面，倾斜于H、W面。,侧平线,直线平行于W面，倾斜于H、V面。,投 影 面 平 行 线,水平线的投影特性： 1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为；与OY轴的夹角为；= 0。 2.水平线的V投影 abOX；W投影 a”b”OY；,水 平 线,正平线的投影特性： 1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为； 与OZ轴的夹角为; = 0。 2、正平线的H投影 a bOX；W投影 abOZ；,正 平 线,侧平线的投影特性： 1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为；与OZ轴的夹
3、角为 ； = 0。 2.侧平线的V投影 abOZ；H投影 a bOY；,侧 平 线,按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：,铅垂线,直线垂直于H面，平行于V、W面。,正垂线,直线垂直于V面，平行于H、W面。,侧垂线,直线垂直于W面，平行于H、V面。,投影面垂直线,投 影 面 垂 直 线,铅垂线投影特性： 1、铅垂线的H投影积聚为一点； 2、铅垂线的V、W投影反映直线的真长，且平行于OZ轴。,铅 垂 线,正垂线投影特性： 1、正垂线的V投影积聚为一点； 2、正垂线的H、W投影反映直线的真长，且平行于OY轴。,正 垂 线,侧垂线投影特性： 1、侧垂线的W投影积聚为一点； 2、侧垂线的V、
4、H投影反映直线的真长，且平行于OX轴。,侧 垂 线,A,B,C,a (b),E,F,D,e,d,f,直线上点的投影特性: 1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。 2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：ED:DF = e d:d f = ed: df=ed:df,(c),2、直线上的点,a,b,a,b,k,k,k,a,b,X,Z,YH,YW,O,K 点在直线 AB 上,【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？,X,YH,YW,Z,a,b,a,b,k,k,a,b,k,K点不在直线AB上,O,【例题2】判断点K是否在直线AB上。,【例题3】已知点C在线段AB
5、上，求点C 的正面投影。,a,b,a,b,C ,c,X,O,【例题4】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。,直角三角形法,AB真长,AB真长,ZAB,量取ZAB,YAB,量取YAB,3、一般线的实长与倾角,求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影响面
6、的夹角。二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。四、作图1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角例题1,一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解,在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。,真长（TL),坐标差 Z、Y、X,H、V、W投影长,直 角 三 角 形 法,1 求
7、直线的实长及对水平投影面的夹角角,|zA-zB|,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角,|yA-yB|,|yA-yB|,3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,ab,【例题5】已知线段实长AB，且A点在B点前方，求它的水平投影。,【例题6】试在直线AB上其一点C，使AC=25 mm，求点C的投影,a,b,a,b,X,O,ZAB,=ZAB,C,在AB上量取 AC=25mm,c,c,【例题7】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影,量取YAB,R=40mm,YAB,a,b,a,b,【例题8】已知直线AB的V投影，且=30，求AB的H投影。,a,b,a,b,YAB,量取YAB,
8、【例题9】已知直线AB的V投影，且=30,求AB的 H 投影。,a,b,a,b,zAB,直线的H投影长,以直线的H投影长 为半径，作圆弧,直线AB真长,两直线的 相对位置,两直线交叉,两直线相交,两直线平行,4、两直线的相对位置,两直线平行的投影特性： 两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即ABCD，则：abcd ；abcd；abcd 。,两 直 线 平行,a,b,c,d,c,a,b,d,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,【例题10】 判断图中两条直线是否平行,b,d,c,a,c,b,a,d,d,b,a,c,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相
9、平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,求出侧面投影,【例题11】判断图中两条直线是否平行,两直线相交的投影特性： 两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。,两 直 线 相 交,先作正面投影,【例题12】过C点作水平线CD与AB相交,两直线交叉的投影特性：既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉.,两 直 线 交 叉,1(2),3(4 ),投影特性：, 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点的投影规律。, “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影
10、点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,交叉两直线的投影特性：,交叉两直线重影点投影的可见性判断,【例题13】判断两直线的相对位置（方法一）,两直线交叉,【例题14】判断两直线的相对位置(方法二）,1,=1d,=1c,两直线交叉,【例题15】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。,(k),l ,l,k,作kle f ,作klef,【例题16】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30夹角。,ZCD,CD水平投影长,CD真长,以CD水平投影长为半径作弧,d,有两解,d,直角投影规律：空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线
11、时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。,5、一边平行于投影面的直角投影,直角投影定理,一、垂直相交的两直线的投影定理一 垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。 二、交叉垂直的两直线的投影定理三 相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四 两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,两 直 线 交 叉 垂 直,注意：,距离直线只
12、有平行于投影面时才能反映实长。,举例,求作点到直线的距离,【例题17】求点K到直线AB的距离 。,【例题18】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。,e,f,e,f,a,a,b,b,c,c,量取bc=30mm,【例题19】求两直线AB、CD之间的距离。,n,m,m,两交叉线间距离,【例题20】过点E作线段AB、CD 公垂线EF,两 平 行 直 线 的 距 离,投影面垂直线,投影面平行线,两 平 行 直 线 的 距 离,（e）,【例题21】 求直线AB和CD间的最短距离。,空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的
13、投影仍互相垂直。,f,e,分析：,因为AB H, EF AB,所以EF/H；,又因为EFCD,EF/H所以ef cd。,因为EF/H, 所以ef/OX；,EFAB,EFCD,【例题22】作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且 BC AB = 2 3。,d,有ab bc,分析：,空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。,因为ABBC,且ABH,根据直角投影定理,【例题23】已知长方形ABCD中BC边的两投影和AB边的面 投影（ab/OX)，求作长方形的两投影。,【例题24】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正
14、面、侧面投影。,a,f,e,e,f,a,b,c,d,b,d,c,o,o,=XAO,XAO,半对角线长,f 0,【例题25】已知菱形ABCD的对角线AB的两投影，另一对角线CD 长为2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。,e,f ,ZFE,分析：,因为AB CD, 且AB /H所以ab cd；,于是CD成为过E点且已知方向的直线；,在CD线上取点C和D,使EC=ED=L,求投影c、d,本章小结, 直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。 直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。,重点掌握：,一、各种位置直线的投影特性, 一般位置
15、直线,三个投影与各投影轴都倾斜。, 投影面平行线,在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。, 投影面垂直线,在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。,二、直线上的点, 点的投影在直线的同名投影上。, 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比定比定理。,三、两直线的相对位置, 平行：同名投影互相平行。, 相交：同名投影相交，交点是两直线的共有，且符合空间一个点的投影规律。, 交叉（异面）：同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。,四、相互垂直的两直线的投影特性, 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。, 两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。,直角定理,
