一元积分学的几何应用与重积分计算.doc

1、1一元积分学的几何应用与重积分计算一、考试内容（一）一元积分学的几何应用1、平面图形的面积 (,),()()()baDXDxyabgxyfSdxyfgxd型 区 域 的 面 积 为 ;,f a由 曲 线 与 直 线 所 围 图 型 的 面 积 为 ;(,)() ()dcDYfcdfy型 区 域 的 面 积 为 ;,xfygySgd 由 曲 线 与 直 线 所 围 图 型 的 面 积 为 ; 21(,),()()()DDfdf型 区 域 的 面 积 为 ;2、旋转体体积 2(,),0()()()bxaXxyabgxyfxVfgxd 型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 =;)0yfga所 围

2、图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 =;2(,)(),()dycYDfcdfy型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 ; 2),xfxyyyVgd 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 ;(,)0()() ()byaXaxbgfxxfx型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 =;),0yfg所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 生 成 的 =;(,)(),2()dxcYDxyfycdVfgyd型 区 域 绕 轴 旋 转 一 周 的 ;),xfcdxy 所 围 图 形 绕 轴 旋 转 一 周 的 ;22()() ()()baabkgfkfkxk绕 旋 转 一 周 的 =2), bayfy

3、xaxbyVfgdx所 围 图 形 绕 旋 转 一 周 的 ;()()2()()baDxyf x绕 旋 转 一 周 的 ;注：利用平面图形的面积与旋转体体积公式时，有时可借助参数方程或极坐标表示 ,xy3、曲线的弧长（数三不要求） 2:(),()btLaLftygtabdsftgtd的 弧 长 =;的 弧 长4、旋转体的侧面积（数三不要求） 2:()0, 2()2()1()bxLayfxabxSfdsfxfdx 绕 轴 旋 转 一 周 的 侧 面 积 ;()(),()()xyfygDgyf ss绕 轴 旋 转 一 周 的 =222()11baff d（二）重积分计算法则21、记忆以下二重积分奇

4、偶对称性性质：（1）当积分域 对称于 轴时，令 是 关于 轴某一侧的部分，则有DxDx(,)2(,)(,)(,)(,0fyfydfyfyfxd连 续 若 关 于 为 偶若 关 于 为 奇上述性质可类似地应用于关于 轴的对称性与函数关于 的奇偶性x（3）当积分域关于原点对称时，若 ，则有),(),(yfxf .0),(Ddyxf（4）若将 互换，积分域 不变， （ 关于 对称）,xyD则 （轮换性）1()(,)(,)(,)2Dfdfxdffxd2、记忆以下三重积分奇偶对称性性质：（数一）（1）当积分域 对称于 面时，令 是 关于 面某一侧的部分，则有oyoy(,)(,),(,)(,)(,0fxz

5、fxzdvfxzfxyzfydv连 续 若 关 于 为 偶若 关 于 为 奇上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性（2）若将 互换，积分域 不变， ,xz则 （轮换性）()(,)(,)fydvfxzydvfyzxdv3、记忆重积分算法对 ， (,),()()XDabgh型 区 域 ()(,),bhxagDfydfyd对 ，Yxyycd型 区 域 ()ycx对 ，(,),()()型 区 域 ()(,)cosinos,in)hgDDfdf fd特别地， 2 21 1(,)cr rd对 ， 为 在 面的投(,()(,)xyzDxyzhxy（ 疑 似 ） 柱 体 区 域 Dxoy影

6、则 ，此为先二后一法（数一）(,)(,),hgxyDfxyzdvfz对 绕 轴（ ）的旋转体区域 ， 为 在 处的横截面区域，0Fazbz则 ，此为先一后二法（数一）(,)(,)zbaDfxyzdvfxyd特别地，截面面积为已知的立体体积 ()()bbaaDxVAxdyzdv=对由球面与锥面所围成的区域 ，可利用球坐标法计算：（数一）2(,)(sinco,sin,cosinfxyzdvfrrrr二、典型例题3（一）一元积分学的几何应用例 1、如图，连续函数 在 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆()yfx3,2,周，在 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 ，则2,0 0()()dx

7、Fft有（C）（A） (B) （C ） （D ）3()(2)4F5(3)(2)4F3()(2)4F5提示： ，故选（C）.()()4F例 2、求由曲线 及 在上半平面围成图形的面积 及周长 .23xy2xAS解： ，或130Ad 1230()(5+2)10Axd.2()S(8)7例 3、设 D 是由曲线 ，直线 及 轴所转成的平面图形， 分别3xyayxV,是 D 绕 轴和 轴旋转一周所形成的立体的体积，若 ，则 x yxV107a提示： ， 2530aVd 7302()6yVfd例 4、求曲线 和直线 所围成图形绕极轴旋转一周的 .)cos1(4r,x解： .80220incosxyrdcs

8、120()(1)60tttd例 5、 位于第一象限的图像与 轴、 轴所围区域的面积为 3()xft xy529提示：面积 4443200 0()()()Afxff x例 6、曲线 的弧长 tanxydsln1)提示： 44422 4000011taecln(tasec)s xdd 例 7、过 上一点 做切线，问 为何值时所作切线与抛物线x),(所围区域的面积最小？2y解：易得两曲线交点 342)(,34221 x，易知21 32(4)()(xSaxda韦 达 定 理时 amin3例 8、设 D 是位于曲线 下方、 轴上方的无界区域，2(1,0)xayx（1）求区域 D 绕 轴旋转一周所成旋转体

9、的体积 ;（2）当 为何值时， 最小?x(Va()Va4提示：(1) 2 200()()lnxaVayxdda(2) 3ln1la 2()().eVe时 取 最 小 值（二）二重积分计算例 1、换序 .2si0(,)xdfy02sin1sin1arc0arc, (,)y yfxdfxd例 2、设 连续，则 . (,)fy40d(o,i)=fr22y例 3、 .21 2 42 2010011x xy ry ln38例 4、设区域 由曲线 围成，则 Dsin,5Dxd提示：对称奇偶性与二重积分的几何意义例 5计算 ，其中 2Ixyd222(,),xyaxDya解：令 ，由二重积分奇偶对称性性质知，

10、21 2(,),0axya.12DI 2cos303 ad 34(8)9例 6、设 是 的第 象限的部分，记 ，则k 1|),(2ykkDdxyI（B）（A） （B ） （C ） （D）01I2I3I04I提示：由轮换性知 由不等式性质知 130,240, 0,)(2xexF0，表示矩形t x t，0 y F(t)的面积. 求)(1S(I) S(t) = S 的表达式； ，t (0 , +).)(1e21(II) S(t)的最小值 是最小值225（B） 、设 及 ，若 表示 位于直0,),yxyD:(0)lxyt)(tSD8线 左下方部分的面积，则 l320 601() 12x xxStd26

11、（B） 、曲线 与直线 , 及 围成一曲边梯形该曲边梯(2xye0)(txy形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为 ，侧面积为 ，在 处的底面积为 ,)tVtStx)(tF求 ； 计算 （ 2 1）()StVlim(tSF27（B） 、已知曲线 L 的方程 214()xyt，（I）讨论 L 的凹凸性；（凸的） （II）过点 引 L 的切线，求切线的方程；（,0）1yx（III）求此切线与 L（对应于 的部分）及 x 轴所围成的平面图形的面积 （ ）0 73（二）二重积分计算1（A） 、设 连续，则 可换序为 .(,)fy12sin(,)xdfyd10arcsin(,)ydfxd2（A） 、设 连续

12、，则 可换序为121(,)yyfx.1(,)xdf3（B） 、设 由 所围，如图所示，将 （D222,ax(,)Dfxyd0）化为极坐标系下的二次积分.a. 20Idcos(,sin)afrrd3420(cos,in)afrrd4（A） 、设函数 连续, 区域 , 则 等于（D）)u(,Dxyy(Dfxy（A） （B ） .21(xfy 220)df（C） （D ） sin0icos)drdrsin(icosrrd5（A） 、设函数 连续，则二次积分 =（B）)(tf 220cos)f（A） （B）yxfyx)(24220 yxfdx)(2420（C） （D）dx12 d126（A）、设 ，2

13、223cos,cos,cosD DIdII其中 ，则按从大到小的排列次序为 .2,1y217（A） 、设 是 面上以 为顶点的 区域， 是 在第一象限的x(,),(1,)ya2yx4)(22ay22x9部分，则 （A ）(sinco)Dxyxd（A） （B） （C） （D）1212Dy14(sinco)Dxyxd08（A） 、如图，正方形 被其对角线划分为四个区域 ，:|,|x(1,234k设 ，则 (A)2tankDIyd14makI(A) 1 (B) 2 (C) 3I (D) 4I 9（A） 、(1) ；（2） 、求 .210lnydx 120sinyxd1cos10（A） 、计算 .41

14、si()i()xxy34(2)11（B） 、计算 （极坐标）222211000y yxyxedee18e12（A） 、设 由 及 所围，若 ，则 .D,cos()DAydA313（A） 、设 是由直线 所围成的平面区域，则 ,y 2=Dx914（A） 、设 D 是由曲线 所围成，则 83yxx 41615（A） 、设区域 ，则 = .2(,)| ,0xyd516（B） 、设 , .2y2()2sin()xyDIe()2e17（B） 、设极标域 ，则 0sec4r： 1cosrr.13618（A）、设 由 与 及 围成，则D21xy0xy20xy3()=Dxyd.4519（A） 、设 ， 则 .

15、（对称奇偶性）2:,21d=Dxyln20（A） 、设 ，则 .（轮换性与对称奇偶性）2()xy()221（B） 、设 由 与极轴围成，则 .（对称奇偶性）D0cos1r Dx4522（B） 、设 是由 和 所围，求 . 24xy21xy2()yd提示： ，注意对称奇偶性与分块性.6(3)923（B） 、设 连续，求 ， 由 与 所围.f 2()DIfd ,1x10提示： ，注意对称奇偶性与分块性.2324（B） 、设 连续，则 （对称奇偶性）(,)fxy1(,)(,)1xdfyfxdy25（A） 、 .（轮换性与对称奇偶性）21=8326（B） 、 .（分块性）20min,|yx427（A）

16、 、设 ，则 （分块性）(),02Dy1Dxyd32ln28（B） 、设 ，计算 .（分块性）:,cos()29（B） 、设 连续，求证： （换序与换元）)(xf 1 120 0ydf fx30（B） 、设 连续，求证： （极标） 242()(4)8yxyd31（B） 、设 ()fx连续,并设 10(),fxA则 （轮换性）10=xf2A32（A） 、若 .则 21()xyyf21(,)xyfd16（三）三重积分计算(仅数一打印)1（A） 、锥面 与平面 围成 ， 连续，则2xzz),(zf（B）,)fydv（A） 221104(,)yxyfzd（B） 0cosinz（C） 210(,)dfz

17、（D） 240sisi,cos)ind2（A） 、设 ， ，则有221:,0xyzR2:,0,xyzRxyz(C)（A） (B) 12dv124v(C) (D) 124zz 12xyzdxyzv3（A） 、若 为平面 所围成的四面体，,0,zyx则 3()ydvln564（A） 、设 是由曲面 及平面 所围成的区域，则 2222()xydv1635（A） 、设 是由曲面 及 所围成的闭区域，则 2yxz2yxz=zdv12116（A） 、设 ，则 22(,)|1xyzz2zdxy4157（A） 、设 ： ，则 22abcv43abc8（A） 、设 ： ，则 2xyzR2()xyzdv563R9（A） 、设 ，计算 2:()31()Ixy2410（A） 、设 ，2,|(),0xyzzxy则 22dv311（A） 、设 由 所围，则221,xyzzxy331=960zdv12（B） 、记曲线 绕 轴旋转一周生成的曲面与 所围的立体区域为 ，2yz1,2z求 221dvxz43ln13（B） 、 由 面上的区域 绕 轴旋转一周而成的空间区域， 则 =