1、1 习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为 d，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q，位于和原电荷对称的位置。当电荷 Q 离导体板的距离为 x 时，电荷 Q 受到的静电力为2)(04xF静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力 2)(04xQf在移动过程中，外力 f 所作的功为 dQdxxf 01620162当用外力将电荷 Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为 。dq08/2也可以用静电能计算。在移动以前，系统的静
2、电能等于两个点电荷之间的相互作用能： dQQdQqW 082)(04)(21)(042112 移动点电荷 Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为2。dq08/252 一个点电荷放在直角导体内部（如图 5-1） ，求出所有镜像电荷的位置和大小。解：需要加三个镜像电荷代替导体面上的感应电荷。在（-a，d）处，镜像电荷为-q，在（错误！链接无效。）处，镜像电荷为 q，在（a，-d）处，镜像电荷为-q。 图 5-153 证明：一个点电荷 q 和一个带有电荷 Q、半径为 R 的导体球之间的作用力为2)(204RDqQqF其中 D 是 q 到球
3、心的距离（DR） 。证明：使用镜像法分析。由于导体球不接地，本身又带电 Q，必须在导体球内加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。在距离球心 b=R2/D 处，镜像电荷为 q= -Rq/D；在球心处，镜像电荷为。点电荷 q 受导体球的作用力就等于球内两个镜DRqQq/像电荷对 q 的作用力，即 2)(2042)(04 DRqQqbqF 2)(204RDqQq54 两个点电荷+Q 和-Q 位于一个半径为 a 的接地导体球的直径的 dq-qqqxya3延长线上，分别距离球心 D 和-D。（1）证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a3Q/D2。（2）令 Q 和 D 分别趋于无穷，同时
4、保持 Q/D2 不变，计算球外的电场。解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。在球内应该加上两个镜像电荷：一个是 Q 在球面上的镜像电荷，q 1 = -aQ/D，距离球心 b=a2/D；第二个是-Q 在球面上的镜像电荷， q2 = aQ/D，距离球心b1=-a2/D。当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为 23)1(DQabqp（2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。设+Q和-Q 位于坐标 z 轴上，当 Q 和 D 分别趋于无穷，同时保持 Q/D2 不变时，由+Q 和-Q 在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。均匀场的大小为 ，
5、方向在-e z。由镜像电荷204/产生的电场可以由电偶极子的公式计算： ）sinco2(304erPE）sic(2erDQa455 接地无限大导体平板上有一个半径为 a 的半球形突起，在点（0，0，d）处有一个点电荷 q（如图 5-5） ，求导体上方的电位。解：计算导体上方的电位时，要保持导体平板部分和半球部分的电位都为零。先找平面导体的镜像电荷 q1 = -q，位于（0，0，-d）处。再找球面镜像电荷 q2 = -aq/d，位于（0，0，b）处，b= a2/d。当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图 5-5球面上都不为零，应当在球内再加上一个镜像电荷 q 3 =aq
6、/d，位于（0，0，-b）处。这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即 ）（ 32104rqrRq其中 )(2dzyx211r)(2bzyxd qb q2q3-b-d q1az521)(23bzyxr56 求截面为矩形的无限长区域（01 的各项，得 02,02naAnaA由此解出 。最终得到圆柱内、外的电位分别是D cos20cos02,cos021 raErrE电场强度分别为 eEreEEsin02cos021 erarea)201(si)20(cs2 514 在均匀电场中，设置一个半径为 a
7、的介质球，若电场的方向沿 z 轴，求介质球内、外的电位、电场（介质球的介电常数为 ，球外为空气） 。解：设球内、外电位解的形式分别为)(cos)1(01 nPnrBnA)()(2DC选取球心处为电位的参考点，则球内电位的系数中 ， .0AnB在 r 处，电位 ，则球外电位系数 中，仅仅 不cos02rEC116为零， ，其余为零。因此，球内、外解的形式可分别简化为01EC)(cos(nPrAn)(cos10s02 nPrDE再用介质球面（r=a ）的边界条件 = 及 ，得12rr20 )(cosP2)1(0cos0)(cosP1 nanDnEnanAa比较上式的系数，可以知道，除了 n=1 以外，系数 、 均为零，A且 31021,201 aDEAaDEaA由此，解出系数 3021,0231aEEA最后得到电位、电场： cos230cos02,cos0231 raErrE ereEsin03cs17 eraEreaE )3021(sin0)3021(cos02
