1、第 26 章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1* 某个篮球运动员共参加了 10 场比赛，他在第 6、第 7、第 8、第 9 场比赛中分别得了23、14、11 和 20 分，他的前 9 场比赛的平均分比前 5 场比赛的平均分要高，如果他的 10 场比赛的平均分超过 18 分，问：他在第 10 场比赛中至少得了多少分？解析 设前 5 场比赛的平均得分为 ，则前 9 场比赛的平均得分为x2314206899xx由题设知 ，68解得 所以前 5 场最多得分是17x（分） 54再设他第 10 场比赛得了 分，那么有y，86018y解得 y282故他第 10 场比赛得分29 分另一方面，当他在第 6
2、、第 7、第 8、第 9、第 10 场比赛中分别得了 23、14、11、20 和 29 分，前 5场总得分为 84 分时，满足题意所以，他在第 10 场比赛中至少得了 29 分评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界） ，然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题26.1.2* 从任意 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是 12 的倍数，求 的最小n n值解析 任取 13 个不同的整数，它们除以 12 所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是 12的倍数又 l，2，12 这 12 个数，其中没
3、有两个数的差为 12 的倍数综上所述，至少需任取 13 个数才能满足题意26.1.3* 从 1，2，3，20 中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍解析 从 1，2，20 中取 7，8，20 这 14 个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍把 1，2，20 分成如下 14 组：1，3，9 ，2，6，18，4，12 ，5，15，7，f8，10，11，13，14，16，17，19，20，从中任取 15 个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍26.1.4* 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在 100 个小伙子中，如果某人不亚于其他 99
4、 人，就称他为棒小伙子问 100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取 100 个小伙子是这样的一种特殊情况他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的 100 个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有 100个26.1.5* 代数式 中， 、 、 、 、 、 、 、 、 可以分别取rvzwysuzytxvrstuvwxyz1 或者 （1）求证：代数式的值都是偶数；（2）求该代数式所能取到的最大值解析 （1）因为，110mod2rvzwysuzytxv所以，此代数式的值为偶数（2）原式 ，要使原式取得最大值，则 与 取 1 与 ， 与 取 l
5、 与srtuzrsu sruv但是，若 与 的取值相同（1 或 ） ，则 与 的取值也相同，有 若 与 的取值1v1 0vr不同则 与 的取值也不同，也有 u0v所以，原式的最大值为 4这时取 ， ， ， ， sr1uv1wytx26.1.6* 一个三位数除以 43，商是 余数是 （ 、 都是整数） ，求 的最大值abaab解析 由带余除法可知：一个三位数 43ab因为 是余数，它必须比除数小，即 42根据式考虑到等式右边是一个三位数，为此 不超a过 23（因为 24431000） 当 时，因为 4323+10999，此时 为 10当 时，可取余23ab2数 ，此时 4322+429982故当
6、 ， 时， 值最大，最大值 22+4264a4bb从 1，2，1001 这 1001 个正整数中取出 个数，使得这 个数中任意两个数的差都不是素数，求nn的最大值n解析 设正整数 被取出，则 ， ， ， 都不能被取出而 ， ， 三者2a35a71a46a中至多只能有一个被取出所以连续 8 个整数 ， ， ， 3， 4， ， ， 中至多有两个数被取出，而16a710018125+1，所以 2125+1251n又 1，5，9，1001 这 251 个数满足题设条件所以 的最大值为 251n26.1.8* 从 1，2，205 共 205 个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个
7、数 、 、 （ ） ，都有 abcacabc解析 首先，1，14，15，205 这 193 个数，满足题设条件事实上，设 、 、 （ ）这三个数取自 1，14，15，205，若 ，则 ；若1abc，则 45210另一方面，考虑如下 12 个数组：（2，25，225） ， （3，24，324） ， （13，14，1314） ，上述这 36 个数互不相等，且其中最小的数为 2，最大的数为 13141821，则1240xx 1，2且 2221111xxxx所以，当 1 时，可以把 逐步调整到 1，这时， 将增大；同样地，可以把 ， 2240x2x， 逐步调整到 1，这时 将增大于是，当 ， ， 均为
8、 1，3x39 22140xx1239x时， 取得最大值，即40122140x239A 个若存在两个数 、 ，使得 ，则ixj 2140jixij ，22221ijijjiijx x这说明在 ， ， ， 中，如果有两个数的差大于 1，则把较小的数加 l，较大的数减 1，这12x3940x时， 将减小240所以，当 取到最小时， ， ， 。中任意两个数的差都不大于 1不难算出，221xx 1x240x当 ， 时， 取得最小值，即22234402214022189B 个 个故 49A26.1.11* 从 1，2，9 中任取 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部） ，n它们的和能被
9、 10 整除，求”的最小值解析 当 时，数 1，3，5，8 中没有若干个数的和能被 10 整除n当 时，设 ， ， 是 1，2，9 中的 5 个不同的数若其中任意若干个数，它们的和5a2a都不能被 10 整除，则 ， ， 中不可能同时出现 1 和 9；2 和 8；3 和 7；4 和 6于是 ，125 1a， 中必定有一个数是 52a5若 ， ， 中含 1，则不含 9于是不含 4（4+l+510） ，故含 6；于是不含 3（3+6+110） ，1a故含 7；于是不含 2（2+1+710） ，故含 8但是 5+7+820 是 10 的倍数，矛盾若 ， ， 中含 9，则不含 1于是不含 6（6+9+
10、520） ，故含 4；于是不含 7（7+4+9 20） ，1a25a故含 3；于是不含 8（8+9+320） ，故含 2但是 5+3+210 是 10 的倍数，矛盾综上所述， 的最小值为 5n26.1.12* 把 1，2，30 这 30 个数分成 个小组（每个数只能恰在一个小组中出现） ，使得每一k个小组中任意两个不同的数的和都不是完全平方数，求 的最小值解析 首先，考虑数 6，19，30，因为 6+19 ，6+30 ，19+30 ，所以，这 3 个数必须属于2526273 个不同的小组，于是 3k另一方面，可以把 1，2，30 这 30 个数分成如下 3 个小组，使得它们满足题设条件：3，7
11、，11，15，19，23 ，27，4，8，16，24） ，1A1，5，9，13，17，21， 25，29，6，14，18，26 ，22，10，12，20，22，28 ，30 ，3由于完全平方数除以 4 的余数只能是 0 或者 1，容易验证 、 、 满足题设条件1A2326.1.13* 从1，2，3， ，2000）中最多可能取出几个数，使得任意两个取出的数的差不为质数？解析 首先，对于任意自然数女， ， ， ， ， 中至多取 2 个，使得它们的差kk7k不为质数事实上，只需考虑集合1，2 ，3，4，5，6，7，8 把它分成 3 组： ， 1，3，6，8） ，5AB2，4，7） 集合 或 中任意两
12、数之差均为质数，故 、 中最多只能取一个若 5 取出，则CBCBC中 1 或 6 可取出对于 1，5， 中不能取出数了；对于 5，6， 中也不能再取出数了若 5 不取B出，则 、 中最多各取一个，至多为 2 个综上所述， ， ， ， 中至多取 2 个，它们的差不为质数从而kk7k1，2，3，2000中至多可取 500 个又对于 4，42，4500 这 500 个数，其中任意两个数的差为 4 的倍数，不是质数因此，最多可取 500 个数满足要求26.1.14* 有一个正方形的纸片，用剪刀沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；取出其中一部分，再沿一条不过任意一个顶点的直线将其剪成两部分；又从
13、这三部分中取其中之一，还是沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分如此下去，若最后得到了 34 个 62 边形和一些多边形的纸片，则至少要剪多少刀？解析 根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加，于是，经过忌次分割后，可得（ 1）个多边形，这些多边形的内角和为（ 360 k 1360k因为这（ ）个多边形中有 34 个 62 边形它们的内角和为1k，4280346180其余多边形有 （个） ，而这些多边形的内角和不少于 所以kk 3180k，解得 2005136041803180k k当我们按如下的方式剪 2005 刀时，可以得到符合条件的结论先从正方形上剪下
14、一个三角形，得到一个三角形和一个五边形，再在五边形上剪下一个三角形，得到 2 个三角形和一个六边形如此下去，剪了 58 刀后，得到 58 个三角形和一个 62 边形再取出 33 个三角形，在每个三角形上各剪一刀，又可得到 33 个三角形和 33 个四边形，对这 33 个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪 58 刀，便得到 33 个 62 边形和 3358 个三角形于是共剪了 58+33+33582005（刀） 评注 我们也是先估计 （剪的次数）的下界，然后再说明这个下界（2005）是可以取到的，这里给k了一个具体的剪法注意，这个具体的剪法是必不可少的另外，本题中估计女的下界，用的是“算两次”方
15、法，即从两个不同的方面去考虑同一个量，一方面另一方面结合两个方面，可以得到一个等式，或者不等式，进而得到我们需要的结果 “算两次”是解最大值和最小值问题的有力工具26.1.15* 某市有一些数学爱好者参加了今年的数学邀请赛，这次比赛的试题共有 6 道已知每道试题恰有 500 名学生答对，但是任意两名学生中，至少有一道试题使得这两名学生都没有答对，问：该市至少有多少名数学爱好者参加了这次数学邀请赛？解析 首先，易知每位学生至多答对了 4 道题事实上，由题设知，对任意一位学生来说，不可能答对 6 题若有一位学生答对 5 题，由题意知，所有其他学生都与他答错相同的题，这也与每道试题恰有 500 个学
16、生答对的题设矛盾若有一位学生答对了 4 题，不妨设答对了第 l、2、3、4 题，则没有一位学生同时答对第 5 题和第 6题，否则将与题意矛盾因为答对第 5 题与第 6 题的学生各有 1500 人，这样，学生人数至少为500+500+11000 人若每位学生至多答对了 3 题，由于全部学生答对题数的总和为 50063000 题，所以学生人数至少有：300031000 人下面的例子说明 1000 人是可能的答对下列问题的人数各有 100 人：（1，2，3） ， （1，3，4） ， （1，4，5） ， （1，5，6） （1，2，6） ，（2，4，6） ， （2，3，5） ， （2，4，5） ， （3
17、4，6） ， （3，5，6） 综上所述，至少有 1000 人参加了这次数学邀请赛26.1.16* 一座大楼有 4 部电梯每部电梯可停靠三层（不一定是连续三层，也不一定停最底层）对大楼中的任意的两层，至少有一部电梯可同时停靠，请问这座大楼最多有几层？解析 设大楼有 层，则楼层对有 ，每部电梯停 3 层，有 个层次，所以n12n231432n所以 当 时，四部电梯停靠楼层分别为（1，4，5） ， （24，5） ， （3，4，5） ，5 （1，2，3） 综上所述，大楼至多有 5 层26.1.17* 10 个学生参加 个课外小组每一个小组至多 5 个人；每两个学生至少参加某一个小组；n任意两个课外小组
18、，至少可以找到两个学生，他们都不在这两个课外小组中证明： 的最小值为n6解析 设 10 个学生为 ， ， ， 个课外小组为 ， ， 1S210S1G2n首先，每个学生至少参加两个课外小组否则，若有一个学生只参加一个课外小组，设这个学生为 ，1S由于每两个学生都至少在某一小组内出现过，所以其他 9 个学生都与他在同一组出现，于是这一组就有 10 个人了，矛盾若有一学生恰好参加两个课外小组，不妨设 恰好参加 、 ，由题设，对于这两组，至少有两个1S1G2学生，他们没有参加这两组，于是他们与 没有同过组，矛盾所以，每一个学生至少参加三个课外小组于是 个课外小组 ， ， 的人数之和不小于n1G2n31
19、030另一方面。每一课外小组的人数不超过 5，所以 个课外小组 ， ， 的人数不超过 ，故12n5n，50n所以 6下面构造一个例子说明 是可以的6n，12345,GSS，2678,，313910,SS，4247,G，53589,SS64610,容易验证，这样的 6 个课外小组满足题设条件所以， 的最小值为 6n26.1.18* 2006 个都不等于 119 的正整数 ， ， 排列成一行数，其中任意连续若干项1a2206a之和都不等于 119，求 的最小值12206a解析 首先汪明命题：对于任意 119 个正整数 ， ， 其中一定存在若干个（至少一个，也1b219b可以是全部）的和是 119
20、的倍数事实上，考虑如下 119 个正整数， ， ， 1b21219b若中有一个是 119 的倍数，则结论成立若中没有一个是 119 的倍数，则它们除以 119 所得的余数只能为 1，2，118 这 118 种情况所以，其中一定有两个除以 119 的余数相同，不妨设为 和 ，于是1ib19jbij ，19|ijb从而此命题得证对于 ， ， 中的任意 119 个数，由上述结论可知，其中一定有若干个数的和是 119 的倍数，1a2206a又由题设知，它不等于 119，所以，它大于或等于 2119，又因为 200616119+102，所以 12206138910取 ，其余的数都为 1 时，式等号成立9
21、38154aa所以， 的最小值为 391012206aa26.1.19* 设 是大于 2 的整数，将 2，3， 这 个数任意分成两组，总可以在其中一组中nn1找到数 ， ， （可以相同） ，使得 求 的最小值bcbac解析 当 时，把 2，3。， 分成如下两组：16n2，3， ， +1， 一 1和4 ，5， 18216 8在数组2，3。 ， +1， 1中，由于 199，所以，除了某排能安排 8 所学校的725+15190名学生外，其余每排只能安排 7 所学校的学生，11 个横排总共只安排了 8+10778 个学校的学生，矛盾评注 首先，猜出答案是 12（利用本题的解法不难想到） 然后，证明 1
22、2 排是可以的，再构造实例说明 11 排不行这种“先猜后证”的方法对于解离散量最值问题非常有效另外注意，本题中的“构造”不是唯一的，渎者可以自己再构造一个例子26.1.28* 平面上有 7 个点，它们之间可以连一些线段，使 7 个点中的任意三点必存在两点有线段相连问至少要连多少条线段？证明你的结论解析 首先，证明需连的线段条数大于或等于 9下面分 4 种情形讨论（1）若 7 个点中，存在 1 个点不与其他点连线，由题设，剩下的 6 个点必每两点都有连线，此时，至少要连半一 15 条线段（2）若 7 个点中，有 1 个点只连出 1 条线段，则其余 5 个点必每两点都有连线，此时，至少有条线段54
23、（3）若每一个点至少连出 2 条线段，且有 1 个点恰好连出 2 条线段，不妨设这点为 ，连出的 2 条A线段为 、 ，则不与点 相连的 4 个点每两点都必须连线，要连 条线段而点 连出ABCA4362B的线段至少 2 条，故除 外，至少还有 1 条，所以，此时至少要连 6+2+19 条线段BA AB C（4）若每一个点至少连出 3 条线段，则至少要连 73210 条线段综上可知，图中的线段数大于或等于 9如图给出了构造的一个例子，即说明 9 条线段是可以的综上所述，最少要连 9 条线段 D GE F26.1.29* 88 的国际象棋棋盘中最多能放几个不重叠的“十字架”形 ？解析 如图所示，在棋盘中标好数字，易知十字架形的中央格，只能从标上数的小方格中选择显然，在标 1 的 33 棋盘中，最多只能容纳 2 个中央格，其余类推，故十字架形至多 8 个不难构造例子1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 21 1 1 2 2 23 3 3 4 4 43 3 3 4 4 43 3 3 4 4 4
