1、百校联盟 2018 届 TOP20 一月联考（全国卷）理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 为实数集 ，已知集合 ，则图中阴影部分UR3ln,122AxyBx所表示的集合为（ ）A B 或 C D 2x32x312x1x2.若 ，则 （ ）5,aibiRbaA B C16 D816183.某公交车站每隔 10 分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客侯车时间超过 7 分钟的概率为（ ）A B C D 15710123104.命题 ，命题 函数 在 上有
2、零点，则 是 的（ ）:2pa:qxfa,2pqA.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.如图所示，程序输出的结果为 ，则判断框中应填（ ）156TA B C D 1?k12?k1?k12?k6.已知 ，则函数 的图象大致为（ ）31lnxfxfxA BC D7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为直角梯形，俯视图为两个正方形，则该几何体的表面积为（ ）A B61 C62 D73928.根据天文物理学和数学原理，月球绕地球运行时的轨道是一个椭圆.地球位于椭圆的两个焦点位置中的一个，椭圆上的点距离地球最近的点称为近地点.已知月球的近地点约为
3、36 万千米，月球轨道上点 与椭圆两焦点 构成的三角形 面积约为 (万千米) 2，P12,F12PF4803，则月球绕地球运行轨道的一个标准方程为（ ）123FPA B C D264xy22138406xy2214836xy1839.函数 ，则下面 4 个结论:sinfxmxm函数 图象的对称轴为fx1,2xkZ将 图象向右平移 1 个单位后，得到的函数为奇函数f函数 的单调递增区间为x1,2,2kkZ经过点 的直线和 图象一定有交点,3mfx正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D410.如图所示，四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为PAABC2,60ABD PAD等边三角形且垂直于底面
4、 ， 分别为 的中点，则异面直线 与 所成角,F,PDEBF的余弦值为（ ）A B C D 13341471011.双曲线 ， ，方向向量为 的直线 过点20,1xyab,(),AtEt3,1l且与双曲线交于 两点， ,， ，则双曲线的离心率为（ ）,2OBBCA B C D 52531010312.函数 满足 ， ，若存在 ，使得fx,2xefffe2,1a成立，则 的取值范围是（ ）312fammA B C D 2,31,23第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 向量 ，且 ，则 的坐标为 1,2/BACBA25BC14. 若 满足约束条
5、件 则 的最小值为 ,xy20,4,xy24613zxy15.若 ，则 5 2345401234512 2axaaxx 2a16. 中，角 的对边分别为 ，若 ，ABC, ,bc 2()26sinAcsinBbsiAcoC，则 外接圆面积的最小值为 2b三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 正项数列 满足 ， ，数列 为等差数列，na211310nnnaa1anb， .321b31b（1）求证： 是等比数列，并求 的通项公式；nanb（2）令 ，求数列 的前 项和 .cbncT18.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件
6、质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过 20 克的为合格.（1）从甲、乙两车间分别随机抽取 2 个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；（2）质检部门从甲车间 8 个零件中随机抽取 4 件进行检测，若至少 2 件合格，检测即可通过，若至少 3 件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（3）若从甲、乙两车间 12 个零件中随机抽取 2 个零件，用 表示乙车间的零件个数，求X的分布列与数学期望.X19.如图所示，在底面为正方形的四棱柱 中，1ABCD.111,2,3ABDA（1）证明：平面 平
7、面 ；1ABD1C（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.C20.已知点 ，过点 且与 轴垂直的直线为 ， 轴，交 于点 ，直线0,2F0,2Py1l2x1lN垂直平分 ，交 于点 .lN2lM（1）求点 的轨迹方程；（2）记点 的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 交于不同两点 ，且EABE12,AxyB（ 为常数），直线 与 平行，且与曲线 相切，切点为 ，试问221xml C的面积是否为定值.若为定值，求出 的面积；若不是定值，说明理由.ABC C21.函数 在 处的切线斜率为 .24ln1,xfxabeR2,f 1a（1）讨论函数 的单调性；f（2）设 ， ，2110,23xmfax ln1lh
8、xx对任意的 ，存在 ，使得 成立，求 的取值范围.10,312xhm请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，椭圆 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极xOyC2cos3inxyO点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .x l s24（1）求经过椭圆 右焦点 且与直线 垂直的直线的极坐标方程；F（2）若 为椭圆 上任意-点，当点 到直线 距离最小时，求点 的直角坐标.PCPlP23.选修 4 一 5:不等式选讲函数 ， ，函数 的最小值为 . 1fxx42gxfxM（1）求不等式组
9、 的解集；260fM（2） ，求证： .0mn218xgmn试卷答案一、选择题1-5: CADCB 6-10: ACBAB 11、12：AA二、填空题13. 或 14. 15. 16. 3,61,2123898三、解答题17. （1）由题可得 ， ， ，1130nnaa10na13na ， 是首项为 ，公比为 3 的等比数列.132na22 ， . ，1n3na34,1a .14,2bd1,.bdn（2）由（1）得 ， ，则 ，32nan113322nnc所以 ，4nT令 ， ，2133nS 2311nnS 得 .1nn 32所以 . .1324nS 13484nnT18.（1）甲车间合格零件
10、数为 4，乙车间合格的零件数为 2， .22484518CP（2）设事件 表示“2 件合格，2 件不合格”；事件 表示“3 件合格，1 件不合格”；事AB件 表示“4 件全合格”； 事件 表示“检测通过”；事件 表示“检测良好”.DE ,23144488570CPDBP .故所求概率为 .1753CE53（3） 可能取值为 0，1，2.X,281403PC,48216X,421CP分别列为 .14612033EX19.（1）证明：连接 交 于 ， 为 中点，ACBDOBD , .ABD1 , 为公共边.,O1 , .11AOC又 , 平面 .ACBD1BD , 为平行四边形./11 , 平面
11、，/ 1A又 在平面 内，平面 平面 .1AC1B1ABD1C（2）建立如图所示的空间直角坐标系 ，Oxyz , 为等边三角形， .13AB1A12A又 , .2O2 .10,0,0,2,0,20,2BCDA ， ，1113,ACA,B.2,BD设平面 的一个法向量为 ，1,nxyz 即 .10,nBC20,2.yz0,2xz令 ， .x,设 与平面 所成角为 .1A1D .12sin0C所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .A1B21020.（1）由题意得 ，即动点 到点 的距离和到直线 的距离相等，FMN,F2y根据抛物线定义可知点 轨迹方程为 .28xy（2）设直线 方程为 ，ABykb
12、联立 得 .28ykxb280x .12128,xkxb设 中点为 , .ABQ24,k设切线方程为 ，yxt联立 得 .28ktx280kt ， ，切点 的横坐标为 ， .6430t2tC4k2,Ck 轴.CQx ， ，221m2222148631xxbkbm.2643kb ，32221211 64ABCSQxkbx 为常数， 的面积为定值. m21.（1） 的定义域为 ，fx1,，24xfabe ， .21f 0 ， .lnfxax11axfx（）当 时， ， 在 上单调递增；00ff,（）当 时，令 ， ，afx1a， ， 时， ，1x0f0fx则 在 上单调递增，在 上单调递减；f,a
13、1,a（）当 时， ， 时， 值大于 0，则 在 上单调递增.01xfx fx1,综上所述， 时， 上单调递增区间为 ； 时， 的单调递增区间为f 1,af，单调递 减区间为 .1,a1,a（2） ，由题意得 ，211ln3xmxminin2xh，22l设 ， ，221ln1yxx21lnln12yxx设 ， ，2ll2当 时， ， ， 单调递减，0,1x)1(lnx0y2y则当 时， ， ， 单调递减， ， ， 单调,20y1110y0xx递减， ， ，21ln3xm1lnhxx令 ， ， ， ，tx0t1lnyttmin2l3y ， ， 或 ，21ln3l23200又因为 ，所以 的取值范
14、围为 . 0,mm,22.（1）椭圆方程 ， ，2143xy,0F直线 的直角坐标方程为 ，l 4与 垂直的直线斜率为 ，1直线方程为 ，即 ，yx0y则极坐标方程为 .cosin1（2）设 ，点 到直线 的距离 ，,3iPPl 7sin42cos3in42d此时 ，2721sin,cos0当 时， 取最小值，此时 ，,kZd2,kZ，472cos2sink，33sinsi cos7 点坐标为 .P473,23.（1） ， 。112fxxxM解 ，得 ， .2603240设 .hxfgxMxx12x2,31,4,.x 的解集为 .0h,2（2） 所以 的最小值为 4.4,1,6,2.xfxgfxg(当且仅当22 2111mmmnnn24时，等号成立），2, ， . 2184mn218fxgmn
