1、豫北豫南名校 20172018 学年度精英联赛高三数学（文）试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷 选择题（共 60 分）1、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
2、求的）1.已知集合 ， ，则3xZMexN1NMA. B. C. D.0,01,02.若复数满足 ，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于izi21A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.命题： 的否定是0,02xA. B.,x 02,0xC. D.200 4.某校高三年级共有 800 名学生，学号从 1800 号，现用系统抽样抽出样本容量为 的样n本；从小号到大号抽出的第 1 个数为 8 号，第 6 个数为 168，则抽取的第 3 个数是多少号A.64 B.72 C.80 D.885.已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，则ab321,babaA.1 B. C.2 D.323
3、6.已知双曲线过点 ，渐进线方程为 ，则双曲线的标准方程是,2xy3A. B. C. D.1672yx 123132yx237.我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤。斩末一尺，重二斤。 ”意思是：“现有一根金锤，头部的 1 尺，重 4 斤；尾部的 1 尺，重 2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列。 ”则下列说法错误的是A.该金锤中间一尺重 3 斤B.中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍C.该金锤的重量为 15 斤D.该金锤相邻两尺的重量之差的绝对值为 0.5 斤8.已知奇函数 在 上是增函数， 。若xfRxfg，则 ， ， 的大小关系为3,2,1
4、.5log8.02cbaabcA. B. C. D.cbaacb9.已知实数 满足 若 ，则 的最大值为yx,1,04yxyzzA. B.7436C. D.310410.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是A. B.457C. D.5211.如图，正方体 绕其体对角线 旋转 之后与其自身重DCBAB合，则 的值可以是A. B.3243主 视 图 21侧 视 图俯 视 图ABCDC. D.655312.过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 两点，与抛物线准线交于 点，xy82FlBA, C若 是 的中点，则BACBA.8 B.9 C.10 D.12第卷 非选择题（共 90 分）2、填空题（
5、本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.不等式 的解集是 。0232x14.函数 在其极值点处的切线方程为 。ey15.已知 ，则 。312sin127cos16.已知数列 中， ， 为数列 的前 项和，且当 时，有na1nSna2n成立，则 。2nS20173、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分 12 分）的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 。ABCCabcacba432（1）求 的值；cos（2）若 ，且 、 、 成等差数列，求 的面积。3bAsinBisinABC18.（本题满分 12 分）如图，三棱
6、柱 的所有棱长均为 2，平面 平面 ，1CBAABCB1， 为 的中点， 。601BAPO1（1）证明： 平面 ；1O1ACPB1MO（2）若 是棱 的中点，求四棱锥 的体积。MACBAM119.（本题满分 12 分）某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示。（1）请先求出频率分布表中、位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2
7、）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 教官进行面试，求：第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率？组号 分组 频数 频率第 1 组 65,05 0.050第 2 组 7 0.350第 3 组 ,30 第 4 组 180520 0.200第 5 组 ,10 0.100合计 100 1.0020.（本小题满分 12 分）已知点 在圆 上， 的坐标分别为 ， ，线段 的垂直平C162yxBA,0,1,BC分线交线段 于点 。AM（1）求点 的轨迹 的方程；E（2）设圆 与点 的轨迹 交于不同的四个点 ，求四边形22ryxEGFED,的面积的最大值及相应的四个点的坐标
8、。DEFG21.（本小题满分 12 分）已知函数 。Rbaebxf ,1（1）如果曲线 在点 处的切线方程为 ，求 ， 的值；fy0f xyab（2）若 ， ，关于 的不等式 的整数解有且只有一个，求 的取值范a2xaxf围。【选考题】请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22.（本题满分 10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 ，已知曲线 （ 为参数） ，在以 原点为极点，xOyayxCsinco3: O轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 。x l 1)4cos(2（1）求曲线
9、的普通方程和直线 的直角坐标方程；Cl（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 的距离0,1M1lCABMAB之积。23.（本小题满分 10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】已知函数 。012axxf（1）当 时，解不等式 ；a4f（2）求函数 的最小值。xfxg豫北豫南名校 20172018 学业年度精英联赛高三数学（文）参考答案1、选择题DABBA CBCCB AB1.D【解析】 ，又 ，101xexN3xZM，故选 D。,0M2.A【解析】 ， ，共轭复数所对应的点iiiiz 2312iz1为 ，为第一象限点，故选 A。21,33.B【解析】 （略）4.B【解析
10、】由系统抽样的特点得 。所以抽取的第 3 个数为32,1688k，故选 B。723)1(85.A【解析】由已知条件得 ，所以43cos21ba2ba，故选 A。4422 a6.C【解析】 双曲线渐进线方程为 ，故可设双曲线方程为 ，xy332yx双曲线过点 ，则 ，即 ，故双曲线的标准方程是 。选3,24112C。7.B【解析】由题意可知等差数列中 ， 则 。1a25215ad。,963,6,32 514325113 SdaA 正确，B 错误，C 正确，D 正确。故选：B。8.C【解析】因为 是奇函数且在 上是增函数，所以当 时， 。xfR0x0xf从而 是 上的偶函数，且在 上是增函数，xf
11、gR,0，1.5log.l22a，又 ，则 ，所以即 ，8.0843.l231.5log228.03.l2.g所以 ，故选 C。cab9.C【解析】由题意作出其平面区域如图所示，由题意可得，则 ，则 。故选 C。3,1)57,(BA3xy3102yx10.B【解析】些三视图的几何体如图：，,2,5,2ADBACDC，DBASS，102cos2A，35,103in BDS。故选 B。57S11.A【解析】在正方体中，连接 ，则对角线 垂直于平面 ，而 为CA,DBCBA等边三角形，易知正方体绕对角线旋转 120与原正方体重合。故选 A。12.B【解析】如图，设 在准线上的射影分别为 ，且设B,
12、E,，直线 的倾斜角为 。则 。mCABlcosmB所以 ，1AFD。312coscosA由抛物线焦点弦长公式 可得 。选 B。2sinpB918AB或：由 得 ，得直线方程与抛物线联立进而可解得 ，31cos2tan 5BAx于是 。故选 B。94BAx2、填空题13. 14. 15. 16.,21, ey1310913.【解析】由题原不等式可转化为 ，解得 ，0232x2,x所以 。,x14.【解析】 ，令 ，此时xxefefy11xfef1函数 在其极值点处的切线方程为 。xy ey15.【解析】 。312sin23cos127cos 16.【解析】当 时，由 ，得 ，n12nSa11n
13、nnSSaS所以 ，又 ，所以 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列，所以12nSn，故 ，则 。n 09217S3、解答题17.【解析】 （1）由 ，可得 2 分acbca432acbc4522，4 分852即 。.6 分cosB（2） 85,13b由余弦定理，得 acac41345222 又 、 、 人值成等差数列，由正弦定理，得AsinBiCsin 132bca，解得 。8 分ac4135212由 ，得 ，.10 分8cos839sin的面积 。.12 分ABC 439812si21BacSABC18.【解析】 （1）证明：取 中点 ，连结 ， ， ，DOPCD依题意得 ，且 ，所以四
14、边形PO/1 P为平行四边形，则 ，C因为平面 平面 ，平面 平面ABB1A，D,1所以 平面 ，即 平面 ， 平面 ，所以C1OPB11BA1，OPAB1又因为四边形 为菱形，所以 ，BA1A1又 ，所以 平面 。.6 分11OP（2）解：由（1）结合已知得，四棱锥 的高为 ，BM123CD菱形 的面积为 ，BA1 32432所以四棱锥 的体积为 。.12 分111V19.【解析】 （1）由题可知，第 2 组的频数为 0.35100=35 人，第 3 组的频率为 ，频率分布直方图如右图所示.4 分30.（2）因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6
15、 名学生，每组分别为：第 3 组： 人；第 4 组： 人；60260第 5 组： 人。160所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.7 分（3）设第 3 组的 3 位同学为 ，第 4 组的 2 位同学321,A为 ,第 5 组的 1 位同学为 ，21BC则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能，具体如下： ，13121,BA，3221232121 , BABAA，9 分13 CBC其中第 4 组的 2 位同学为 至少有一位同学入选的有： ，2, 211,，9 种可能。21231312 , CBAA所以其中第 4 组的 2 位同学为 至少有一位同学入选的概率为 .B53112 分
16、20.【解析】 （1）由已知得： ，而 ，4ACM42B所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长 的椭圆，MB,2a设 ，所以点 的轨迹 的方程： 。4 分yx, E134yx（2）由对称性可知，四边形 为矩形，不妨设 为椭圆 上第一象限的点，DFG),(1DE则 ，.5 分14yxSDEFG矩 形而 ，且 ，0,1x321所以 ，8 分3434242111 yxyxyxSDEFG矩 形当且仅当 ，即 ， 时，取“=” ，321161所以矩形 的面积的最大值为 ，.10 分EF34此时四个点的坐标为：。.12 分 26,26,26,21.【解析】 （1）函数 的定义域为 R，xf。xx ebebf
17、1因为曲线 在点 处的切线方程为 ，fy0,f xy所以 得 解得 .4 分,0f,1ba.2,ba（2）当 时， ，b2exf关于 的不等式 的整数解有且只有一个，xa等价于关于 的不等式 的整数解有且只有一个。.5 分01axex构造函数 ，RxF,2所以 .6 分e当 时，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，0x1,x12xea0xF所以 在 内单调递增。F,因为 ，所以在 上存在唯一的整数 使得01,0eFa, 0x，即 8 分x0xf当 时，为满足题意，函数 在 内不存在整数使 ，即,xFx在 上不存在整数使 .9 分1,0xF因为 ，所以 。x12ex当 时，函数 ，所以 在 内为单调递
18、减函数，所以0ax1,，即 ；.10 分1F23ae当 时， ，不符合题意.11 分0a0231aeF综上所述， 的取值范围为 12 分1,22.【解析】 （1）曲线 化为普通方程为： ，C132yx由 ，得 ，14cos2sinco所以直线 的直角坐标方程为 。5 分l 02yx（2）直线 的参数方程为 （ 为参数） ，1lty21t代入 化简得： ，32yx0t设 两点所对应的参数分别为 ，则 ，BA, 21,t12t。10 分21tM23.【解析】 （1） ， 原不等式为 ，a4x，或 或42x,12,x,12,x或 或 ，135原不等式的解集为 .5 分,35（2）由题意得 axaxxfxg 12，当且仅当 ，即 ，且42aa 122x时， 取最小值 .10 分。xg24
