1、1,二、洛比达法则及其应用,一、 微分中值定理及其应用,中值定理及导数的应用,第三章,三、导数应用-研究曲线的性态,2,二、中值定理的应用,一、几个中值定理,中值定理及其应用,专题：,3,罗尔定理：,拉格朗日定理：,柯西定理：,1. 微分中值定理,一、 几个中值定理,4,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,若函数,内具有 n + 1 阶导数,泰勒中值定理：,5,微分中值定理之间的相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,6,2. 零点定理与介值定理,1)零点定理 ：,至少有一点,且,使,(又叫根的存在定理).,2)介值定理：,则对 A 与 B 之间的任一数 C ,推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于
2、最小值与最大值,之间的任何值 .,7,3. 费马定理,取得极值,4. 积分中值定理,实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.,积分中值定理,微分中值定理,说明：,牛顿 莱布尼茨公式,8,研究函数或导数的性态导数的应用及求不定式的极限,1. 证明恒等式.,2. 证明不等式.,3. 证明有关中值问题的结论.,关键:利用逆向思维 设辅助函数,经验1:,二、中值定理的主要应用,利用中值定理证明不等式的步骤:,(3) 根据 a b 的关系,证明出不等式.,(2) 利用中值定理,(1) 设出辅助函数和区间，,经验2：,经验3: 欲证,(1)设函数,(2)验证函数 在区间 上满足罗尔定理.,9,1.证明恒
3、等式,例1. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,10,例1. 证明不等式,证: 设,的条件,即,因为,所以,因此应有,2.证明不等式,11,例2. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,12,3. 证明有关中值问题的结论,题型一.,保号性定理,例1. 设,试证：,证: 不妨设,必有,使,故,保号性定理,必有,使,故,又在,上,连续,由零点定理知, 存在,13,例2. 设,分析：,14,例2. 设,15,题型二.,16,例3. 设,分析：,保号性定理,证: 不妨设,必有,保号性定理,必有,17,
4、例3. 设,18,例4. 设,分析：想用罗尔定理时找辅助函数的方法,证:,19,例5. 设,证:,20,题型三.,例6. 设,分析：,21,例6. 设,解：,22,例6. 设,23,24,题型四.,25,例7. 设,在,内可导, 且,证明至少存在一点,上连续, 在,分析: 问题转化为证：,证明：设辅助函数,显然,故至少,使,即有,存在一点,26,例8.设,证明：,设辅助函数,只需验证：,分析:,27,例8.设,证明：,28,例9.设,证明：,设辅助函数：,只需验证：,分析:,29,题型五.,30,例10.设,分析:,31,题型六.,例11.,试证存在,证: 欲证,将代入 , 化简得,故有,即要
5、证,32,已知函数,内可导, 且,证: (1) 令,使,即,(2005 考研数1,2),(2) 根据拉格朗日中值定理,使,练习.,33,练习：,分析：,解：,34,总之， 有关中值问题的解题方法:,利用逆向思维 , 设辅助函数 .,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数 .,多用罗尔定理,可考虑用柯,西中值定理 .,必须多次应用,中值定理 .,(4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,有时也可考虑对导数用中值定理 .,35,备用. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示: 设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,
