2017考研数学（一）真题及答案解析.doc

1、 世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：2017 考研数学(一)真题及答案解析2017 考研数学考试已经结束为了方便大家在考及时知道自己的考试情况，文都数学老师及时整理了 2017 考研数学(一)真题内容及答案解析，以下是文都教育提供的 2017 考研数学(一)真题及答案解析，供考生们参阅。一、选择题（18 小题，每小题 4 分，共 32 分）（1 ）若函数 在 处连续，则（ ）0,cos1)(xbaf 0x。 。)(A2ab )(B21ab。 。C0D【答案】

2、)(【解】 ， ，axfx21cos1lim)0(bf)0()因为 在 处连续，所以 ，从而 ，应选 。)(f )()0(ff 21a)(A（2 ）设函数 可导，且 ，则（ ）xf)xf。 。)(A)1(f )(B)1(f。 。C|ff D|ff【答案】 )(【解】若 ，则 ，从而 ；0xf0)(xf 0)1(f世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：若 ，则 ，从而 ，故 ，应选 。0)(xf0)(xf 0)1(f |)1(|)|ff )(C（3 ）函数 在点 处

3、沿向量 的方向导数为（ ）2,zyzf, 2,n。 。 。 。)(A12)(B6)(C4)(D【答案】 )D【解】 ， ， ，xyf22fzf， ， ，4|)0,21(xf 1|)0,2(yf 0|),21(zf，所求的方向导数为3cos,s,3cos，应选 。214|)0,21(nf )(D（4 ）【答案】【解】（5 ）设 为 维单位列向量， 为 阶单位矩阵，则（ ）nEn不可逆。 不可逆。)(ATE)(BT不可逆。 不可逆。C2D2【答案】 )(A【解】令 ， ，TA2世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 888201

4、36 传真：010 - 88820119 网址：令 ，由 得 ， 或 ，XA0)()(22XA201因为 得 的特征值为 ，nTtr1)( ,11nn的特征值为 ，从而 ，E0,11nn 0|TE即 不可逆，应选 。T)(A（6 ）已知矩阵 ，则 （ ）201,02,102CB与 相似， 与 相似。 与 相似， 与 不相似。)(AC)(AB与 不相似， 与 相似。 与 不相似， 与 不相似。BDC【答案】 )(【解】 的特征值为 ，CBA, 1,231由 得 ，则 可相似对角化，从而 ；102E)(AEr CA由 得 ，则 不可相似对角化，从而 与 不相102B2)(Br B,似，应选 。)(

5、（7 ）设 为随机事件，若 ，则 的充要BA, 1)(0,)(PA)|()|(BAP条件是（ ）世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：。 。)(A)|()|ABP)(B)|()|ABP。 。C| D|【答案】 )(A【解】由 得 ，等价于)|()|(BP)(1)()(BPAA；)()(ABP等价于 ，即 ，)|()|()(1)(APBB)()(BPA应选 。)(A（8 ）设 （ ）为来自总体 的简单随机样本，记 ，nX,21 2)1,(NniiX1则下列结论正确的

6、是（ ）服从 分布。 服从 分布。)(Anii12)2)(B21)Xn服从 分布。 服从 分布。)(CniiX12)2)(D2)2【答案】 )(A【解】若总体 ，则 ，),(2NX)()(122nXnii世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：因为总体 ，所以 ，应选 。)1,(NX)()(21nXnii)(A二、填空题（914 小题，每小题 4 分，共 24 分）（9 ）设 ，则 。21)(xf_)0(8f【答案】 !8【解】 ，)(1)( 86422 xoxxf

7、 由 得 。!80)(f !8)0(f（10 ）微分方程 的通解为 。32y_y【答案】 )2sincos(1xCxex【解】特征方程为 ，特征值为 ，032i212,通解为 。)sincos(21xxeyx（11 ）若曲线积分 在区域 内与路径无关，则Lyad2 1|),(2yxD。_a【答案】 1【解】 ，1,22yxaQyxP， ，22)1(yxy 22)(yx世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：因为曲线积分与路径无关，所以 。1a（12 ）幂级数 在区间

8、 内的和函数为 。11)(nnx),(_【答案】 )l(x【解】 x xnnnn ddS00111 1)()()。)l()(0 xdxx （13 ）矩阵 ， 为线性无关的三维列向量组，则向量组102A32,的秩为 。321,_【答案】2【解】 ，321321 ,),( AA因为 线性无关，所以 可逆，321,321,从而 ，)(,(321ArAr由 得 ，故向量组 的秩为 2。0)(r 321,A（14 ）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正X)24(5.0)(.)(xxF)(x态分布的分布函数，则 。_E世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大

9、厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：【答案】 2【解】 的密度为 ，X)24(5.0)(.)(xxf dxdxdxfE )(.)(5.0)(。2)(2)()24()24( 三、解答题（1523 题，共 94 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。（15 ）（本题满分 10 分）设函数 具有二阶连续的偏导数， ，求 ， 。),(vuf )cos,(xefy0|xdy02|x【解】 ， ；21sinfxfedxy)1,(|0fdx，)sin(sico)si( 221212112 fxfexffffxx 则 。),(,),(| 21102

10、fffdxy（16 ）（本题满分 10 分）求 。nkk12)l(lim【解】 10112 )ln()ln(lim)ln(li dxkkknkn xxxd 1022102 )(|)l()(l世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：。412ln412ln)1(2ln110 dxx（17 ）（本题满分 10 分）已知函数 由方程 确定，求 的极值。)(xy0233yx)(xy【解】 两边对 求导得023y，令 得 ，对应的函数值为 ，2yx 1,21x01y；12两边再

11、对 求导得033yxx，62由 得 为极小点，极小值为 ；0)1(y1x0y由 得 为极大点，极大值为 。 1（18 ）（本题满分 10 分）设函数 在 上二阶可导且 ， 。)(xf1,00)1(f 0)(limxf证明：（ ）方程 在 内至少有一个实根；I)(f,（ ）方程 在 内至少有两个不同的实根。0)(2xffx)1,(【证明】（ ）由 得 ，Ilim0xf又存在 ，当 时， ，即当 时 ，),(0)(x),(x0(xf世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址

12、：于是存在 ，使得 ，),0(c0)(cf因为 ，所以存在 ，使得 。1f )1,(,0x0)(xf（ ）令 ，I)()(fx因为 ，0所以由罗尔定理，存在 ，使得 ，)1,0(,(x0)(而 ，故 ，)()2ffx 2ff即 在 内至少一个实根。02ff 1,(（19 ）（本题满分 10 分）设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密S2yxzxz2度为 ，记圆锥面与柱面的交线为 。29),(zyx C（ ）求 在 平面上的投影曲线方程。ICo（ ）求 的质量 。SM【解】（ ）由 得 ，Ixzy2,x22故 在 平面上的投影曲线为Cxoy0,1)(:2zyL世纪文都教育

13、科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：（ ） ，ISdszyxM229由 得 ，22,yxzyxz dxyzsyx212则 DS ddszM99222cos2021818rxyD。64cos36cos320323 dd（20 ）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 有三个不同的特征值，),(321A且 。213（ ）证明：I)(Ar（ ）若 ，求方程组 的通解。321AX【证明】（ ）设 的特征值为 ，IA321,因为 有三个不同的特征值，所以 可以相似对角化，即存在可逆矩阵

14、 ，使得P，3211AP世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：因为 两两不同，所以 ，321,2)(Ar又因为 ，所以 线性相关，从而 ，于是 。213321, 3)(Ar2)(r（ ）因为 ，所以 基础解系含一个线性无关的解向量，I)(ArOX由 得 的通解为321,0（ 为任意常数）。1kXk（21 ）（本题满分 11 分）设二次型 在正交变换3231212321321 8),( xxaxxf 下的标准型为 ，求 的值及一个正交矩阵。QYX2y【解】 ， ，

15、，aA142321xXAXxfT),(321因为 ，所以 。030|由 得 。)2(3142| aA由 得 。0)6(321442| E 0,6,3321世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：由 得0151423AE对应的线性无关的特征向量为 ；31 1由 得04176AE对应的线性无关的特征向量为 ；62 12由 得 对应的线性无关的特征向量为 。0210AE3123规范化得， ， ，1311021263故正交矩阵为 。612310Q（22 ）（本题满分 11

16、分）世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：设随机变量 相互独立， ， 的密度为YX, 210XY其 他,0,12)(yyfY（ ）求 。IEP（ ）求 的概率密度。YXZ【解】（ ） ，I3210yd。9420YPE（ ） ，I )( zYXzZzFZ 当 时， ；00当 时， ；3z1)(zFZ当 时，0 ,0,0zYXPzYXP；210ydzYXPz当 时， ；21z 210,)( YPXzYXPFZ当 时，3 ,2,0zZz，20)(11210 zydzZP

17、XYPX z世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：即 3,1,32,)(2,0,)(2zzzFZ密度为 。其 他,0,21,)(zzfZ（23 ）（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 次测量，该物体的质量n是已知的，设 次测量结果 相互独立且均服从正态分布 。该工nnX,21 ),(2N程师记录的是 次测量的绝对误差 （ ），利用 估|iiZi,21 nZ21计 。（ ）求 的概率密度。IiZ（ ）利用一阶矩求 的矩估计量。

18、（ ）求 的最大似然估计量.I【解】（ ）由 得 ，I),(2NXi )1,0(NXi的分布函数为iZ，)(zPzFi当 时， ；00世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：当 时， ，0z 1)(2)()|)( zzXPzFi0,1)(2,)(zz的密度函数为iZ0),(2)(zzf（ ）I 00 )(2)(| zddzzXEi， 2)()(2 02020 tetedt由 得 的矩估计量为 。Zni12Z（ ）似然函数为I )(211 2)(2)( nznnezffL ( )，nizi,21,0，)(21lllln 2nzL由 得0)(1l23nznd，故 的最大似然估计量为 。niz12niZ12世纪文都教育科技集团股份有限公司 地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010 - 88820136 传真：010 - 88820119 网址：