1、1(2018成都模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的两个顶点 A，B 的坐标分别为( 1,0)，(1,0)，且 AC， BC 所在直线的斜率之积等于 2，记顶点 C 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)设直线 ykx2(0k2) 与 y 轴相交于点 P，与曲线 E 相交于不同的两点 Q，R( 点R 在点 P 和点 Q 之间) ，且 ，求实数 的取值范围PQ PR 解析：(1)设 C(x，y) 由题意，可得 2(x1)，yx 1 yx 1曲线 E 的方程为 x2 1(x1) y22(2)设 R(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)联立，得Error!消去 y，可得(2
2、k 2)x24kx20，8 k2160，k 22.又 0k2， k2.2由根与系数的关系得，x 1x 2 ， 4k2 k2x1x2 . 22 k2 ，点 R 在点 P 和点 Q 之间，PQ PR x 2x 1(1) 联立，可得 .1 2 8k22 k2 k 2，2 (4， )，8k22 k2 82k2 1 1634 ，1 2 163 3，131，实数 的取值范围为 (1,3)2(2018武汉调研)已知抛物线 C：x 22py(p0) 和定点 M(0,1)，设过点 M 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，抛物线 C 在 A，B 处的切线的交点为 N.(1)若 N 在以 AB 为直径的圆上，求
3、 p 的值；(2)若ABN 的面积的最小值为 4，求抛物线 C 的方程解析：设直线 AB：y kx1 ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线 AB 的方程代入抛物线 C 的方程得 x22pkx2p0，则 x1x 22pk ，x 1x22p. (1)由 x22py 得 y ，则 A，B 处的切线斜率的乘积为 ，xp x1x2p2 2p点 N 在以 AB 为直径的圆上，AN BN ， 1 ，p2.2p(2)易得直线 AN：y y 1 (xx 1)，直线 BN：yy 2 (xx 2)，x1p x2p联立，得Error!结合式，解得Error!即 N(pk，1) |AB| |x2x 1|
4、 ，1 k2 1 k2x1 x22 4x1x2 1 k24p2k2 8p点 N 到直线 AB 的距离 d ，|kxN 1 yN|1 k2 |pk2 2|1 k2则ABN 的面积 SABN |AB|d 2 ，当 k0 时，取等号，12 ppk2 23 2pABN 的面积的最小值为 4，2 4，p2，故抛物线 C 的方程为 x24y.2p3(2018山西四校联考)如图，圆 C 与 x 轴相切于点 T(2,0)，与 y 轴正半轴相交于两点M、N (点 M 在点 N 的下方)，且| MN|3.(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M 任作一条直线与椭圆 1 相交于两点 A、B，连接 AN、BN，求证：x
5、28 y24ANM BNM.解析：(1)设圆 C 的半径为 r(r0) ，依题意，圆心 C 的坐标为 (2，r)|MN | 3， r2 22 2，解得 r2 .(32) 254圆 C 的方程为(x2) 2 2 .(y 52) 254(2)证明：把 x0 代入方程(x2) 2 2 ，(y 52) 254解得 y1 或 y4，即点 M(0,1)、N(0,4)当 ABx 轴时，可知ANMBNM0.当 AB 与 x 轴不垂直时，可设直线 AB 的方程为 ykx1.联立方程Error!，消去 y 得，(12k 2)x24kx60.设直线 AB 交椭圆于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，则
6、x1x 2 ，x 1x2 . 4k1 2k2 61 2k2k ANk BN .y1 4x1 y2 4x2 kx1 3x1 kx2 3x2 2kx1x2 3x1 x2x1x2若 kANk BN0，则ANMBNM.2kx 1x23( x1x 2) 0， 12k1 2k2 12k1 2k2ANMBNM.4(2018德州模拟)已知 C 为圆( x1) 2y 28 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q 在圆的半径 CP 上，且有点 A(1,0)和 AP 上的点 M，满足 0， 2 .MQ AP AP AM (1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x2y 21
7、 相切，与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点F，H， O 是坐标原点，且 时，求 k 的取值范围34 OF OH 45解析：(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，所以|CP |QC| |QP|QC | |QA|2 | CA|2，2所以点 Q 的轨迹是以点 C，A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 的椭圆，2所以 a ，c 1，b 1，2 a2 c2故点 Q 的轨迹方程是 y 21.x22(2)设直线 l：ykxt，F(x 1，y 1)，H (x2，y 2)，直线 l 与圆 x2 y21 相切 1t 2k 21.|t|k2 1联立，得Error!(1 2k 2)x24kt x2t 220，16k 2t24(12k 2)(2t22)8(2k 2t 21)8k 20k0，x1x 2 ，x 1x2 ， 4kt1 2k2 2t2 21 2k2所以 OF OH x 1x2y 1y2(1k 2)x1x2kt( x1x 2)t 2 kt t 21 k22t2 21 2k2 4kt1 2k2 k 211 k22k21 2k2 4k2k2 11 2k2 ，1 k21 2k2所以 k 2 |k| ，34 1 k21 2k2 45 13 12 33 22所以 k 或 k .22 33 33 22故 k 的取值范围是 ， ， 22 33 33 22
