1、1.2.3 空间中的垂直关系第一课时 直线与平面垂直1.在下列四个正方体中,满足 ABCD 的是( A )解析:在选项 B、C、D 图中,分别平移 AB 使之与 CD 相交,则交角都不是直角,可排除选项 B、C、D.故选 A.2.经过平面 外一点作平面 的垂线,则( A )(A)有且只有 1 条 (B)可作无数条(C)1 条或无数条 (D)最多 2 条解析:利用直线和平面垂直的性质可知只有 1 条.3.在四面体 P ABC 中,PA=PB=PC=AB=BC=CA,D,E,F 分别为 AB,BC,CA 的中点,下列结论中不成立的是( D )(A)BC平面 PDF(B)BC平面 PAE(C)DF平
2、面 PAE(D)AE平面 APC解析:因为 D,F 分别为 AB,AC 的中点,所以 DFBC,因为 DF平面 PDF,BC平面 PDF,故 BC平面 PDF,故 A 项正确,又 AB=AC,PB=PC,E 为 BC 的中点,所以 AEBC,PEBC,而 AEPE=E,所以 BC平面 PAE,又 DFBC,所以 DF平面 PAE,故 B、C 项正确,由于 AE 与 AP 不垂直,故 AE 与平面 APC 不垂直.选 D.4.在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,PA平面 ABCD,且 PA=1,E 为 BD 上一点,PEDE,则 PE 的长为( B )(A) (B) (C) (D)解析:如
3、图所示,连接 AE.因为 PA平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 PABD.又因为 BDPE,PAPE=P,所以 BD平面 PAE,所以 BDAE.所以 AE= = .所以在 RtPAE 中,由 PA=1,AE= ,得 PE= .5.已知下列命题(其中 a,b 为直线, 为平面):若一条直线垂直于一个平面内无数条直线,则这条直线与这个平面垂直;若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面;若 a,b,则 ab;若 ab,则过 b 有唯一一个平面 与 a 垂直.其中真命题有: . 解析:不正确,因为这无数条直线可能是一组平行线;不正确,和此直线垂直的直线与平面可能平行也
4、可能相交;正确;正确.答案:6.如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a,PA平面 ABCD,若在 BC上只有一个点 Q 满足 PQQD,则 a 的值等于 . 解析:因为 PA平面 ABCD,所以 PAQD,又因为 PQQD,PAPQ=P,所以 QD平面 PAQ.所以 AQQD,即 Q 在以 AD 为直径的圆上,当圆与 BC 相切时,点 Q 只有一个,故 BC=2AB=2.答案:27.已知直线 a,b 和平面 ,下列推论不正确的是( D )(A) ab (B) b(C) a 或 a (D) ab解析:D 不正确,因为直线与平面平行,直线不一定与平面内的所有直线平行.8.已知平面 平
5、面 =l,EA 于 A,EB 于 B,a,aAB,则直线 a 与 l 的位置关系是 . 解析:由 EA,EB 知 lEA,lEB,从而 l平面 EAB,而 aAB,aEA,所以 a平面 EAB,所以 la.答案:平行9.如图所示,PA平面 ABC,M,N 分别为 PC,AB 的中点,使得 MNAC 的一个条件为 . 解析:取 AC 中点 Q,连接 MQ,NQ,则 MQAP,NQBC,由已知条件易得 MQAC,若 ACBC,则 NQAC,所以 AC平面 MNQ,所以 ACMN.答案:ACBC10.如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱
6、 CD 上的动点.试确定点 F 的位置,使得 D1E平面 AB1F.解:连接 A1B、CD 1,则 AB1A 1B,所以 AB1平面 A1BCD1.又 D1E平面 A1BCD1,所以 D1EAB 1.于是 D1E平面 AB1FD1EAF.连接 DE,又 D1DAF,D 1ED 1D=D1,所以 AF平面 EDD1,所以 DEAF.因为四边形 ABCD 是正方形,E 是 BC 的中点,所以,当且仅当 F 是 CD 的中点时,DEAF,即当点 F 是 CD 的中点时,D1E平面 AB1F.11.如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N 分别是棱AB,AD,DD1,BB1
7、,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线 BC1平面 EFPQ;(2)直线 AC1平面 PQMN.解:(1)如图,连接 AD1,由 ABCD A1B1C1D1是正方体,知 AD1BC 1,因为 F,P 分别是 AD,DD1的中点,所以 FPAD 1.从而 BC1FP.而 FP平面 EFPQ,且 BC1平面 EFPQ,故直线 BC1平面 EFPQ.(2)如图,连接 AC,BD,则 ACBD.由 CC1平面 ABCD,BD平面 ABCD,可得 CC1BD.又 ACCC 1=C,所以 BD平面 ACC1.而 AC1平面 ACC1,所以 BDAC 1.连接 B1D1,因为 M,N 分别是 A1B1
8、,A1D1的中点,所以 MNB 1D1,故 MNBD,从而 MNAC 1.同理可证 PNAC 1.又 PNMN=N,所以直线 AC1平面 PQMN.12.(2017全国卷)如图,四面体 ABCD 中,ABC 是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD 是直角三角形,AB=BD.若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点,且AEEC,求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比.解:(1)取 AC 的中点 O,连接 DO,BO.因为 AD=CD,所以 ACDO,又由于ABC 是正三角形,所以 ACBO,从而 AC平面 DOB,又 BD平面 DOB,所以 ACBD.(2)连接 EO.由(1)及题设知ADC=90,所以 DO=AO.在 RtAOB 中,BO 2+AO2=AB2,又 AB=BD,所以 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90,由题设知AEC 为直角三角形,所以 EO= AC,又ABC 是正三角形,且 AB=BD,所以 EO= BD.故 E 为 BD 的中点,从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 ,四面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 ,即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 11.
