1、辽宁省朝阳市普通高中 2018届高三第三次模拟考试数学（文）试卷第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出 A中绝对值不等式的解集结合元素的特征，确定出 A中的元素，根据交集中元素的特征，求得 ，从而选出答案.详解：根据题中所给的条件，可以求得 ，由交集中元素的特征，可以求得 ，故选 B.点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，注意先将 A中的元素确定，尤其要注意条件 ，之后应用交集的运算求得结果.2. 已知复数满足
2、（为虚数单位） ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，得 ，所以 .故选 D.3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ）A. 46,45 B. 45,46 C. 46,47 D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数 ，将所有数从小到大排列后，中间两数为 ，故中位数为 ，故选 A.点睛：本题主要考查众数、中位数求法，属于简单题.要解答本题首先要弄清众数、中数的定义，然后根据定义和公式求解， （1）中位数，如果样本容量是奇数中间的
3、数既是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数既是中位数；（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据.4. 若在集合 中随机取一个元素 ，则“ 大于 1”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：解不等式 可得 ，以长度为测度，即可求得集合 中随机取一个元素，恰使 大于 1成立的概率.详解：若 ，可以求得 ，在集合 中随机取大于 2的数，满足条件的值所对应的几何度量就是区间 的长度等于 ，而对应的在集合 中随机取一个数所对应的几何度量是区间 的长度等于，所以对应事件的概率为 ，故选 C.点睛：该题考查的 是有关几何概型的问题，在解题的过程中，需要解一个对数不等式，在求解的
4、过程中，需要把握利用对数函数的单调性求解对数不等式，之后需要将对应集合涉及的测度都求出，之后利用概率公式求得结果.5. 九章算术中有“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共 3升，下面 3节的容积共 4升，则该竹子的容积为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得与 的值，从而可得数列 的通项公式，进而可得结果.详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列 且 ，则， 竹子的容积为 ，故选 D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中
5、档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知 是两条不同的直线， 是平面，则下列命题是真命题的是（ ）A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】B【解析】对于答案 A，有 的可能，故不是真命题；对于答案 C，直线 也可以与平面相交，不是真命题；对于答案 D中的直线 ，有 的可能，故不是真命题，应选答案 B。7. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运
6、算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误） 详解：第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环，；第四次循环， ，不成立，此时结束循环，所以输出的 的值为 ，故选 C.8. 已知函数 ， ，且 在区间 上有最小值，无最大值，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据 ，且 在区间 内只有最小值，没有最大值，确定函数取最小值时自变量 所满足的条件，之后确定 的表达式，进而求出 的值，得到结果.详解：如图所示，因为 ，且 ，又 在区间 内只有最小值，没有最大值，所以 在 处取得最小值，所以 ，所以 ，当 时， ，此时函数 在区间 内存在最大值，故 ，故选 C
7、.点睛：该题考查的是有关三角函数型的函数解析式中的参数求解问题，在解题的过程中，需要把握题中的条件，两个自变量对应函数值相等的等价条件是什么，从而找出对应的等量关系式，再结合题中的条件在相应区间上没有最大值，对 的值进一步确定，求得结果.9. 已知点 是抛物线 ： 上的一点， 是其焦点，定点 ，则 的外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由点 是抛物线 上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点 坐标代入抛物线 方程 ，得 ，解得 点 ，据题设分析知， ，又 为 外接球半径） ，外接圆面积 ，故选 B.点睛：正弦
8、定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 函数 （ ）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先利用诱导公式，将函数解析式化简，判断出函数的奇偶性，利用奇函数图像的对称性，先将选项中不关于原点对称的选项排除，再利用导数研究函数的单调性，确定函数图像在哪个区间上单调增，在哪个区间上单调减，最后确定结果.详解：函数 是奇函数，故排除 A，C，当 时，函数 ，令 ，可得 ，当 时，
9、，当 时， ， 的一个根 落在 上，并且 时， ， 是减函数，当 时， ， 时， ，的一个根 在 上，时， ，函数是增函数， ，函数是减函数，所以排除 D，故选 A.点睛：该题所考查的是有关函数图像的选择问题，在求解的过程中，一是判断函数的奇偶性，排除两个选项，二是利用函数的导数判断函数的单调性，排除一个选项，就剩下一个，选出函数的图像即可.11. 已知点 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点，为的内心（三角形 内切圆的圆心） ，若 （ 分别表示 的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质
10、，结合 可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与 的三边 分别相切于点 ，分别连接 ，则， ，又 ， ， ，又 ，故选 A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知 是定义在区间 上的函数， 是 的导函数，且 ，则不等式 的解集是（ ）A. B.
11、C. D. 【答案】C【解析】分析：首先将题中所给的式子进行整理，之后构造新函数，对函数求导，利用条件可以判断新构造函数的导数的符号，从而可以确定所构造的新函数的单调性，再利用题中所给的已知自变量对应的函数值，从而可以应用单调性求得结果，注意函数的定义域以及复合函数的定义域.详解： ，所以 ，设 ， ，可知 是 上的增函数， ，当 时， ，又 ，所以 ，所以不等式的解集为 ，故选 C.点睛：该题考查的是函数的综合题，在解题的过程中，需要我们构造新函数，求导，利用题中的条件来判断导数的符号，从而确定出新函数的单调性，结合题中所给的 ，可以判断出自变量所满足的条件，这里需要注意复合函数的定义域问题
12、.二、填空题（每题 4分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 若向量与 的夹角为 ， ， ，则 _.【答案】【解析】分析：首先根据条件中所给的向量的模以及两向量的夹角，可以求得两个向量的数量积，之后应用向量的模的平方和向量的平方是相等的，通过求其平方然后开方来求，也可以直接用带根号的式子解决.详解：由向量与 的夹角为 ，则 ，则有 ，故答案是 .点睛：该题考查的知识点是向量的模及平面向量的数量积的运算，在求解过程中，根据向量的模以及向量的夹角，可以求得两向量的数量积，要求 的值，可以利用平方法解决.14. 若 ，则 _.【答案】【解析】分析：由 ，根据同角三角函数之间的关系，求出 与 的
13、值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解： ，又 ，解得 ，于是 ，故答案为 .点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数 满足不等式组 ，则 的最大值是_.【答案】12【解析】分析：画出不等式组 表示的可行域，平移 ，结合所画可行域，可求得 的最大值.详解：作出不等式组 表示的平面区域如阴影部分，分析知，当 时，平移直线，由图可得直线经过点 时，取得最大值，且 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标
14、函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 已知 为数列 的前 项和， ，若 ，则 _.【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的数列递推公式，对 为奇数还是 为偶数进行讨论，可以确定数列 的所有偶数项构成以-2 为首项，以 4为公比的等比数列，再把奇数项转化为偶数项，然后借助于等比数列的前 n项和公式进行求解.详解：由 得，当 为奇数时，有 ，当 为偶数时，有 ，所以数列 的所有偶数项构成以
15、为首项，以 为公比的等比数列，.故答案是 .点睛：该题考查的是已知数列的递推公式，求数列的前若干项和的问题，在求解的过程中，需要我们对递推公式进行加工，因为涉及到负数的整数指数幂的形式，故需要对指数是奇数还是偶数进行讨论，从而得出数列的偶数项构成等比数列，奇数项可以向偶数项转换，从而借助等比数列的求和公式求得结果.三、解答题 （本大题共 6题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知在 中，角 所对的边分别为 ，且 .（1）若 ，求；（2）若 的面积为 ，求 的周长.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：第一问根据题中所给的 的值，应用平方关系，求得 的值，结合题
16、中的条件 的值以及 的值，利用正弦定理求得的值，第二问利用面积公式，借助 求得的值，再借助 的值利用余弦定理，求得 ，从而借助平方公式求得结果.详解：(1) ， ，又 ， ， ，解得 .（2）据题意，得 的面积 , , ，即又 ， ， ， ， ， 的周长等于 .点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题相关的知识点以及题中所给的量，建立相应的等量关系式，最后求得结果，这里第二问在求解时，要注意整体思维的运用，不用单纯的去求 的值，而是需要应用完全平方式求其和即可.18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有
17、套房源，则设置 个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有 20户家庭去抽取 6套房源.（1）求每个家庭中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号.目前该小区剩余房源有某单元 27、28 两个楼层共 6套房，其中，第 27层有 2套房，房间号分别记为2702，2703；第 28层有 4套房，房间号分别记为 2803，2804，2806，2808.（i）求该单元 27，28 两个楼层所剩下 6套房的房间号的平均数；（ii）求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率.【答案】(1) ；(2)(i) ；(ii) .【解析
18、】分析：第一问根据在抽签的过程中每个个体被抽到的概率是相等的，利用公式求得结果；第二问中第一小题将剩下的房间号码相加除以 6即可求得平均数，第二小题用列举法求得所有的情况共有 15种，而甲、乙两个家庭住在同一楼层的可能情况只有 7种，应用公式求得对应事件发生的概率.详解：() 因为共有 20户家庭去抽取 6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率 .（2） （i）该单元 27、28 两个楼层所剩下 6套房的房间号的平均数.（ii）将这 6套房编号，记第 27层 2套房分别为 ，第 28层有 4套房分别为 ，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有共 15种.其中甲、乙两个家庭能住
19、在同一楼层的可能情况有 ， 共 7种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为 .点睛：该题考查的知识点由抽签的时候每个个体被抽到的概率是相等的，一堆数据的平均数的求法，随机事件发生的概率公式，在求解的过程中，需要对题的条件分析好，明确各种问题的求解步骤及公式即可得结果.19. 如图，在 中， ， 是 的中点， 是线段 上的一点，且 ，将 沿 折起使得二面角 是直二面角（l）求证： 平面 ；（2）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：第一问咬住直线与平面平行的判定定理的内容，根据题中的条件，在平面内寻找直线 的平行线，从而证得结果，第二问抓住三棱锥的体积公式，利用等级法
20、将三棱锥转化，在题中寻找与其相关的量，来求得三棱锥的底面积和高，利用公式求得结果.详解：(1)因为 ，所以又 ， ，所以又因为所以 是 的斜边 上的中线，所以 是 的中线，所以 是 的中点，又因为 是 的中位线，所以又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由（1）求解知，直线 是 的中位线，所以 ，因为二面角 是直二面角，平面 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，又因为 ，所以点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，题中涉及到平面多边形的翻折，有关线面平行的判定，三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要明确翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的，翻折到什么程度等，还有就是求体积时，等级
21、法的应用.20. 如图，椭圆 经过点 ，且点 到椭圆的两焦点的距离之和为 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）若 是椭圆 上的两个点，线段 的中垂线的斜率为 且直线与 交于点 ， 为坐标原点，求证： 三点共线.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)根据椭经过点 ，且点 到椭圆的两焦点的距离之和为 ，结合性质， ，列出关于、 的方程组，求出、 ，即可得椭圆 的标准方程；(2)可设直线的方程为 ，联立 得 ，设点，根据韦达定理可得 ，所以点 在直线 上，又点 也在直线 上，进而得结果.详解：(1)因为点 到椭圆的两焦点的距离之和为 ，所以 ，解得又椭圆 经过点 ，所以 ，所以所以椭
22、圆 的标准方程为 .(2)证明：因为线段 的中垂线的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，所以可设直线 的方程为据 得设点 ，所以 ，所以 .因为 ，所以所以点 在直线 上，又点 也在直线 上，所以 三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或 ；找关系：根据已知条件，建立关于、 、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数 且 .（1）若函数 在区间 上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数 ，若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；
23、(2) .【解析】分析：第一问首先对函数求导，利用函数单调增，确定导数在给定区间上大于等于零恒成立，对进行讨论，求得结果，第二问根据存在满足条件的值，将其转化为最值来处理，对函数求导，研究函数的单调性，确定出函数的相应的最值，最后求得范围.详解：(1) 当 时，函数 是 上的单调递增函数，符合题意；当 时， ，令 ，则分析知， 在 上单调递减，在 上单调递增又函数 在区间 上单调递增， ，综上，实数的取值范围是 .（2）存在 使不等式 成立，存在 使 成立，令 ，则 ，由（1）知当 时， 在 上单调递增，当 时， ， ，即 在 上单调递增， ， .即实数 的取值范围为 .点睛：该题所考查的是有
24、关导数的综合应用问题，这里涉及到函数的单调性的讨论，函数的最值的求解，借助导数，研究函数的单调性，在解题的过程中，涉及到构造新函数的问题，这里需要时刻保持头脑清醒以及问题的等价转化.请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，以原点 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标是 .（1）求直线的普通方程；（2）求直线上的点到点 距离最小时的点的直角坐标.【答案】(1) ；(2) .【解析】分析：(1)由直线的参数方程 ，利用代入法消去参数，即可得到直线的普通方程为 ；（2） 的极坐标是 化为直角
25、坐标，过点 作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求点.详解：(1)直线的普通方程为 .（2）点 的直角坐标是 ，过点 作直线的垂线，垂足为 ，则点 即为所求的直线上到点 距离最小的点.直线 的方程是 ，即据 解得所以直线上到点 距离最小的点的直角坐标是 .点睛：消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.23. 已知函数 .（1）若 ，解不等式 ；（2）若 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值.【答案】(1) ；(2) 【解析】分析：(1)原不等式等价于 ，从而可得 或 ，进而可得结果；（2）函数解析式化为分段函数形式，分三种情况讨论，分别求出其最大值与最小值即可.详解：(1) 若 ，则 为所以 ，所以 或 ，所以 或故不等式 的解集为 .（2）当 时，讨论：当 即 时， ；当 即 时， ；当 且 即 时， 点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
