1、绵阳市高中 2015 级第三次诊断性考试数学（理工类）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 满足 （ 是虚数单位） ，则 =（ ）A. 1 B. -1 C. D. 【答案】A详解：由题设有 ，选 A.点睛：本题考查复数的加、减、乘、除等四则运算，属于基础题.2. 已知集合 ， ，集合 ，则集合 的子集个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】分析： 为一元二次不等式的解集，可先计算出 ，求得 为单元素集合，其子集的个数为 2.详解：由题设有 ，故 ，所以
2、的子集的个数为 ，选 B.点睛：本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为 ，那么其子集的个数为 .3. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程 ，则（ ）A. 0.25 B. 0.35 C. 0.45 D. 0.55【答案】B【解析】分析：题设中给出了 关于 的线性回归方程中的一个参数，可利用 计算 .详解：由题设有 ，故 ，解得 ，选 B.点睛：本题考查线性回归方程中系数的计算，注意线性回归方程表示的直线必过点 .4. 已知实数
3、 满足 ，则 的最小值是（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】分析：题设中给出的是二元一次不等式组，要求的是线性目标函数的最小值，可以先画出不等式组对应的可行域，再把目标函数看成一条动直线即可判断出目标函数的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线 过 时， 取最小值为 6，选 C.点睛：当题设条件给出的是关于 的二元一次不等式组时，我们可考虑利用线性规划来求目标函数的最值.5. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合 的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有 ，当
4、时， ；当 时， ，从而当 时， ，选 C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（ ）A. 吉利，奇瑞 B. 吉利，传祺 C. 奇瑞，吉利 D. 奇瑞，传祺【答案】A【解析】分析：因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.详解：因为丁的猜测只对了一个，所
5、以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾， “丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选 A.点睛：本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.7. 如图 1，四棱锥 中， 底面 ，底面 是直角梯形， 是侧棱 上靠近点 的四等分点， .该四棱锥的俯视图如图 2 所示，则 的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据俯视图，计算 的长度，然后在直角三角形 中，计算 的大小即可.详解：在俯视图中，因为 ，所以 ，而四边
6、形 为直角梯形，故 为直角三角形斜边上的高且大小为 ，又 ，所以在直角三角形 中， ，从而 ， ，选 C.点睛：本题中所要求解的角是直角三角形内角的补角，该直角三角形的一个直角边已知，所以只要求出 的长度即可，但该长度隐含在俯视图中，利用勾股定理和等积法可以求出其大小.8. 在区间 上随机取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据给出的三角不等式求出 所在的区间，计算出该区间的长度再利用几何概率的计算方法计算概率.详解： ，从而 .而 ，所以 ，也就是 ，故所求概率为 ，选 B.点睛：几何概型的概率计算关键是基本事件的测度的选取，通常是线段
7、的长度、平面区域的面积或几何体的体积等.9. 双曲线 的离心率是 ，过右焦点 作渐近线 的垂线，垂足为 ，若 的面积是 1，则双曲线 的实轴长是（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】分析：利用点到直线的距离计算出 ，从而得到 ，再根据面积为 1 得到 ，最后结合离心率求得 .详解：因为 ， ，所以 ，故 即 ，由 ，所以 即 ，故 ，双曲线的实轴长为 .点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长” ，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.10. 已知圆 ，圆 交于不同的 ， 两点，给出下列结论： ； ； ， .其中正确结论的个数是（ ）A. 0 B.
8、1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为 ， 两点均在该直线上，故其坐标满足.而 的中点为直线 与直线 的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到也是正确的.详解：公共弦的方程为 ，所以有 ，正确；又 ，所以 ，正确；的中点为直线 与直线 的交点，又，. 由 得 ，故有 ，正确，综上，选 D.点睛：当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算. 11. 中， ， ， ，点 是 内（包括边界）的一动点，且，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分
9、析：根据点 在三角形内部（含边界）可以得到 ，再通过 的解析式来求 的最大值.详解：因为 为三角形 内（含边界）的动点，所以 ，从而 .又 ，因为 ，所以 的最大值为 ，故 ，选 B.点睛：本题中向量 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算 ，其中 的取值范围可以由 的位置来确定.12. 对于任意的实数 ，总存在三个不同的实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：题设中给出的二元方程可以化简为 ，因为对每一个 ，总有三个不同的 使得等式成立，因此我们需要研究 的值域和的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.详解：由题设有 .令，
10、.，当 时， ，在 为单调增函数，所以 的值域为 .，当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以当 时， 是减函数，当 时， 是增函数，当 时， 是减函数，所以 的图像如图所示.因为关于 的方程 ，对任意的 总有三个不同的实数根，所以 ，也就是 ，选 A.点睛：较为复杂函数的零点个数问题，均需以导数为工具研究函数的极值，从而刻画出函数的图像，最后数形结合考虑参数的取值范围.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中， 的系数是_【答案】16【解析】分析：展开式中 的系数取决于 展开式中的 和 的系数，后者可以利用二项展开式的通项求得. 详
11、解： 的展开式中， ，故 的系数分别为 ，从而的展开式中 的系数为 .点睛：本题考虑二项展开式中特定项的系数的计算，这类问题可利用多项式的乘法和二项展开式的通项来处理.14. 奇函数 的图象关于点 对称， ，则 _【答案】2【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为 2，从而求出 .详解：由题设有，从而有 ， 为周期函数且周期为 ，所以 .点睛：一般地，定义在 上的函数如果满足 ， （ ） ，那么的一个周期为 .15. 已知圆锥的高为 3，侧面积为 ，若此圆锥内有一个体积为 的球，则 的最大值为_【答案】详解：设圆锥的母线长 ，底面的半径为
12、，则 即，又 ，解得 .当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为 ，则，故 ，所以 .点睛：对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.16. 如图，在 中， ， ， 的垂直平分线 与 分别交于 两点，且 ，则 _【答案】【解析】分析：连接 ，因为 是中垂线，所以 .在 中，由正弦定理得到与角 的关系.在直角三角形 中， ，两者结合可得 的大小，从而在中利用正弦定理求得 ，最后在 中利用余弦定理求得 .详解：由题设，有 ，所以 ，故 .又 ，所以 ，而 ，故 ，因此 为等腰直角三角形，所以 .在 中， ，所以 ，故 ，在 中，
13、.点睛：解三角形时，如果题设给出的几何量分散在不同的三角形中，我们就需要找出沟通这些不同三角形的几何量，如本题中的 和 ，通过它们得到分散的几何量之间的关系.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的前 项和 满足： .（）求数列 的通项公式；（）若 ，数列 的前 项和为 ，试问当 为何值时， 最小？并求出最小值.【答案】 （） 或 ；（）-10.【解析】分析：（）题设给出了 与 的关系，从该关系可以得到 或 以及，故可得 的两种不同的通项；（）数列 为等差数列，其前 项和的最值与项的正负相关，故考虑项何时变号即可.详解：（
14、） 由已知 ，可得当 时， ，可解得 ，或 ，当 时，由已知可得 ，两式相减得 .若 ，则 ，此时数列 的通项公式为 .若 ，则 ，化简得 ，即此时数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 .综上所述，数列 的通项公式为 或 .（）因为 ，故 .设 ，则 ，显然 是等差数列，由 解得 ，当 或 ， 最小，最小值为 . 点睛：（1）一般地，如果知道 ，那么我们可以利用 将前者转化为关于或 的递推关系； （2）数列前 项和的最值往往和项的正负有关，解题时注意合理使用.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量 （单位：吨）的历史统计数据，得到如下
15、频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（）求在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 的概率；（）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 时，没有影响；当时，经济损失为 10 万元；当 时，经济损失为 60 万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治 350 吨的污水排放，每年需要防治费 3.8 万元；方案二：防治 310 吨的污水排放，每年需要防治费 2 万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.【答案】 （） ；（）方案二.【解析】分析：（）根据给出的频率分布表可以得到每年排放量在 吨到 吨的概率为，而三
16、年中之多有一年排放量满足题设要求的概率可由二项分布来计算.（）考虑不同方案导致的经济损失.方案一的经济损失为 万元；方案二中，排列量在吨到 吨的概率为 ，相应的经济损失为 万，排放量不在此范围内的概率为 ，相应的经济损失为防治费 万，故经济损失的数学期望为 ，同理可以计算出方案三的经济损失的数学期望为 万，故方案二较好.详解：（）由题得 ，设在未来 3 年里，河流的污水排放量 的年数为 ，则 .设事件“在未来 3 年里，至多有一年污水排放量 ”为事件 ，则.在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 的概率为 .（） 方案二好，理由如下：由题得 ， .用 分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失
17、.则 万元.的分布列为：.的分布列为：.三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.点睛：本题为统计与离散型随机变量的综合题，往往需要从频率分布表中得到随机事件发生的概率，注意常见的离散型随机变量的概率分布（如二项分布、超几何分布等）.另外，这类问题还涉及到不同方案的选择，我们往往通过数学期望或方差来决定方案的优劣.19. 如图，在五面体 中，棱 底面 ， .底面 是菱形，.（）求证： ；（）求二面角 的余弦值.【答案】 （）见解析；（） .【解析】分析：（）要证明 ，可证明 ，它可由 证得.（）取 的中点为 ，可证 ， ，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面 和平面 的法向量，计算两
18、个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.详解：（）在菱形 中， ， ， ， .又 ，面 ， .（）作 的中点 ，则由题意知 ， ， .如图，以 点为原点，建立空间直角坐标系 ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， .设平面 的一个法向量为 ，则由 ， ，得 ，令 ，则 ， ，即 ，同理，设平面 的一个法向量为 ，由 ， ，得 ，令 ，则 ， ，即 ， ，即二面角 的余弦值为 .点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）.20. 如图，椭圆 的左、右焦点分别为 ， 轴，直线 交 轴于 点， ， 为椭圆
19、 上的动点， 的面积的最大值为 1.（）求椭圆 的方程；（）过点 作两条直线与椭圆 分别交于 ，且使 轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】 （） ；（） .【解析】分析：（） 意味着通径的一半 ， 最大面积为，所以 ，故椭圆的方程为 .()根据对称性，猜测定点必定在 轴上，故可设 ， ，则 ， ，再设 ，根据 三点共线可以得到 ，联立直线 和椭圆的标准方程后消去 ，利用韦达定理可以得到 ，从而 过定点 ，同理直线 也过即两条直线交于定点 .详解：（）设 ，由题意可得 ，即 . 是 的中位线，且 ， ，即 ，整理得 .又由题知，当 在
20、椭圆 的上顶点时， 的面积最大， ，整理得 ，即 ，联立可得 ，变形得 ，解得 ，进而 .椭圆 的方程式为 .()设 ， ，则由对称性可知 ， .设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 ，联立 ，消去 ，得 ， ， ，由 三点共线 ，即 ，将 ， 代入整理得 ，即 ，从而 ，化简得 ，解得 ，于是直线 的方程为 ， 故直线 过定点 .同理可得 过定点 ，直线 与 的交点是定点，定点坐标为 .点睛：（1）若椭圆的标准方程为 ，则通径长为 ；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些
21、参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点.21. 已知函数 的两个极值点 满足 ，且 ，其中 为自然对数的底数.（）求实数 的取值范围；（）求 的取值范围.【答案】 （） ；（） .【解析】分析：（）由题设有 ，因为 有两个极值点 且 ，所以有两个不同解为 ，故 ，结合题设有 ，从而得到 .（）由（）可知 ，所以 ，又 ，从而，其中 ，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（） ，由题意知 即为方程 的两个根.由韦达定理： ，所以 且 .令 ， 则由 可得 ，解得 .（） ， ， ，由（）知 ，代入得 ，令 ，于是可得 ，故 在 上单调递减， .点睛：（1）因为函数在 上导数是存在的，所以函数
22、的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线 的极坐标方程是 .（）求曲线 的直角坐标方程；（）设曲线 与 轴正半轴及 轴正半轴交于点 ，在第一象限内曲线 上任取一点 ，求四边形 面积的最大值 .【答案】 （） ；（） .【解析】分析：（）把 整合成
23、，再利用 就可以得到曲线 的直角坐标方程；（）因为 在椭圆上且在第一象限，故可设 ，从而所求面积可用 的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.详解：（）由题可变形为 ， ， ， ， .（）由已知有 ， ，设 ， .于是由 ，由 得 ，于是 ，四边形 最大值 .点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 ，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式 ，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化 .另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数 来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23. 选修 4-5：设函数 .（）若 的最小值是 4，求 的值；（）若对于任意的实数 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （） ；（） .【解析】分析：（）由绝对值不等式知 ，当且仅当 异号时等号成立，所以 ，故 ； （）原不等式等价于关于 的不等式 在 有解，所以 ，由此解出 的范围即可.详解：（） ，由已知 ，知 ，解得 .（）由题知 ，又 是存在的， .即 ，变形得 ， ， .点睛：（1）利用 和 可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件） ；（2）含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离.
