1、3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数【选题明细表】知识点、方法 题号函数单调性的判断 1求函数的单调区间 2,6由单调性求参数(或范围) 5,7,11函数图象与导数的关系 3综合问题 4,8,9,10,12,13【基础巩固】1.在下列结论中,正确的有( A )单调增函数的导数也是单调增函数;单调减函数的导数也是单调减函数;单调函数的导数也是单调函数;导函数是单调的,则原函数也是单调的.(A)0 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个解析:分别举反例:y=ln x;y= (x0);y=2x;y=x 2.故选 A.2.函数 f(x)=x3-3x2+1 的递减区间是(
2、B )(A)(-,0) (B)(0,2)(C)(-,2) (D)(2,+)解析:f(x)=3x 2-6x,令 f(x)=3x 2-6x0,所以 f(x)在(0,+)上是增函数,又 21,所以 00,得 cos x0,得 x0 或 x1 的解集为( B )(A)x|x1 (D)x|00 时,函数 g(x)=xf(x)单调递减,因为 f(1)=1,所以 g(1)=1f(1)=1,则不等式 xf(x)1 等价为 g(x)g(1),即 01 的解集为x|00,有 f(x)0,g(x)0,则当 x0,g(x)0 (B)f(x)0,g(x)0 (D)f(x)0 时,f(x)0,g(x)0,所以 f(x),
3、g(x)在(0,+)上都单调递增.所以 x0,g(x)0,所以 ax2+2x-10 有实数解.当 a0 时,显然满足;当 a0,所以-1-1.答案:(-1,+)12.(2018兰州高二质检)已知 f(x)=ex-ax-1.(1)求 f(x)的单调区间;(2)是否存在 a,使 f(x)在(-,0上单调递减,在0,+)上单调递增?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.解:(1)f(x)的定义域为 R,因为 f(x)=e x-a,当 a0 时,有 f(x)0 在 R 上恒成立;当 a0 时,令 f(x)0,得 exa,有 xln a,令 f(x)0,得 xln a,综上,当 a0 时,f(x)
4、的单调递增区间是(-,+),无减区间;当 a0 时,f(x)的单调递增区间是ln a,+),单调递减区间是(-,ln a.(2)法一 f(x)=e x-a.若 f(x)在(-,0上单调递减,则 ex-a0 在(-,0上恒成立,即 ae x,而当 x(-,0时,e x1,所以 a1;若 f(x)在0,+)上单调递增,则 ex-a0 在0,+)上恒成立.即 ae x,而当 x0,+)时,e x1.所以 a1.综上可得 a=1,故存在 a=1 满足条件.法二 由(1)知,a0,且 ln a=0,所以 a=1.【探究创新】13.(2018柳州高二月考)求证:x1 时,xln(1+x).证明:设 f(x)=x-ln(1+x),则 f(x)=1- = ,因为 x1 时,f(x)0,所以 f(x)在1,+)上是增函数,所以当 x1 时,f(x)=x-ln(1+x)f(1)=1-ln 21-ln e=0,所以 xln(1+x)(x1).
