1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 高考数学最后冲刺必读题解析 30 讲（9）1. 冀州一模20、已知数列 满足 ， ，且 ，na12a23(1)(1)nnna（n=1,2,3, ）.（1）求 的值及数列 的通项公式；3456, n（2）令 ，记数列 的前 n 项的和为 ，求证： 0,因为 n 是正整数，故 0a1.所以 6 分()limlifn（） 2 2)(1)(0,()1)x xhexhem（ 所 以令 (0, 0即 由 题 意 应 有 ， 即 当 m=0 时， 有实根 ，在 点左右两侧均有 故无极值() 1()0hx 当 时，
2、 有两个实根1m0hx2,xx当 x 变化时， 、 的变化情况如下表所示：()1,112(,)22(,0)x()h+ 0 - 0 +x 极大值 极小值 的极大值为 ， 的极小值为()12()me(hx12()me学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 当 时， 在定义域内有一个实根， 1m()0hx1xm同上可得 的极大值为 12()me10 分综上所述， 时，函数 有极值；0（ ， ） ()hx当 时 的极大值为 ， 的极小值为01m()hx12)me(hx12()me当 时， 的极大值为 12 分(温州三模21 （本题满分 15 分
3、）已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点为 F（0，1） ，且过点A（2，t） ， （I）求 t 的值；（II）若点 P、 Q 是抛物线 C 上两动点，且直线 AP 与 AQ 的斜率互为相反数，试问直线 PQ 的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由.21 （本小题满分5 分）解：（I）由条件得抛物线方程为 24xy=3 分把点 A 代入 24xy， 得 1t 6 分（II）设直线 AP 的斜率为 k，AQ 的斜率为 k，则直线 AP 的方程为 )12()2(1xyxy即 联立方程： 24=-消去 y，得： 0)1(kx 9 分 24)2()12(4kxppA1ky同理，得 4,24
4、2ykxQq 12 分18kxpPPQ是一个与 k 无关的定值。学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 15 分22 （本题满分 15 分）已知函数 2()lnafxx，（I） 若 1a，证明 没有零点；（II）若 ()2fx恒成立，求 a 的取值范围. 22 （本小题满分 15 分）解：（I） )0(ln1)(xfa时xf1)(3 分由 0)(f 得 1可得 x在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增5分故 )(xf的最小值 021)(minfxf，所以 )(xf没有零点7 分（II）方法一： xaxf 1)( 29 分（i）若
5、0a时，令 0)(f，则 1xa，故 )(xf在 10,a上单调递减，在1,上单调递增，故 f在 ,上的最小值为 afln2)(，要使解得 21)(xf恒成立，只需 21lna，得 a12 分（ii）若 0， )(xf恒成立， )(xf在 0,是单调递减， 02)1(af，故不可能 21)(f恒成立.14 分学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 综上所述，1a.15 分方法二：由 21)(xf恒成立，得 2ln1xa恒成立.9 分设 )0(ln)(2xx，则 3l4)(x .11 分由 )( 得 1 故 )(的最大值为 1max.13
6、分要使 )(恒成立，只需 a .15 分湛江二模20 （本小题满分 14 分）已知抛物线 的方程为 ，圆 的方程为 ，直1C)0(2axy2C5)1(22yx线 （ ）是 、 的公切线 是 的焦点mxyl2:101F1（1）求 与 的值；a（2）设 是 上的一动点，以 为切点的 的切A1A1线 交 轴于点 ，设 ，lyBBFM证明：点 在一定直线上20 （本小题满分 14 分）解：（1）由已知，圆 ： 的圆心为 ，半径 12C5)1(22yx)1,0(2C5r分学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 由题设圆心到直线 的距离 3 分mxy
7、l2:1 22)1(|md即 ，解得 （ 舍去） 45)(2|2m64分设 与抛物线的相切点为 ，又 ， 51l ),(0yxAax2/分得 ， 6 分axa12000代入直线方程得： ，61所以 ， 7 分6m（2）由（1）知抛物线 方程为 ，焦点 8 分1C26xy)3,0(F设 ，由（1）知以 为切点的切线 的方程为)6,(2xAAl 1023y分令 ，得切线 交 轴的 点坐标为 110xlyB)61,0(2x分所以 ， ， 12)2361,(xFA)3,(21F分 13 分),(1BM因为 是定点，所以点 在定直线 上 14 分23y21 （本小题满分 14 分）设函数 ，其中 为常数
8、xafln)(（1）证明：对任意 ， 的图象恒过定点；R)(xfy（2）当 时，判断函数 是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，1说明理由；（3）若对任意 时， 恒为定义域上的增函数，求 的最大值,0(ma)(xfym21 （本小题满分 14 分）解：（1）令 ，得 ，且 ，lnx1f所以 的图象过定点 ； 2 分)(fy),(学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 （2）当 时， ， 4 分1axfln)(22/ 1lnl1)(xxf 令 ，经观察得 有根 ，下证明 无其它l)(2xg0g0)(g根，当 时， ，即 在 上是单调递增
9、函1)(/0)(/x)(xy),数所以 有唯一根 ；且当 时， ， 在)(xg)1,0(0)(2/gf )(xf上是减函数；当 时， ， 在 上是增函1,0),1(x2/xff,1数；7 分所以 是 的唯一极小值点极小值是 8x)(f 1ln)(f分（3） ，令22/ lnl1)(xaxaf axxhl)(2由题设，对任意 ，有 ， ，,0(m()0 ,又 10xaxah22)(2/ 分当 时， ， 是减函数；当 时， ，)2,0(x0)(/h)(,)2ax0)(/xh是增函数；所以当 时， 有极小值，也是最小值)(h )(，aa)2ln3()212 分又由 得 ，得 ，即 的最大值为 14()0hx 3(ln)02a 32e m32e分
