1、第二十二章 四边形,22.4 矩形,第1课时 矩形及其性质,1,课堂讲解,矩形及其对称性 矩形的边角性质 矩形的对角线性质,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,两组对边分别平行的四边形是平行四边形.,平行四边形的性质：,平行四边形的对边平行；,平行四边形的对边相等；,平行四边形的对角相等；,平行四边形的邻角互补；,平行四边形的对角线互相平分；,我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此 平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性 质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平 行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行 四边形矩形.,一个角是 直角,两组对边 分别平行,矩形
2、,1,知识点,矩形及其对称性,1. 如图，剪出一个矩形纸片ABCD ，点O是这个矩形的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？,知1讲,2. 四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状却是可以改变的.如图，使一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角由钝角先变成直角，再变成锐角.,知1讲,在这个过程中： (1)这个四边形总是平行四边形吗？ (2)当 =90时，其余三个内角各是多少度的角？ (3)当 =90时，两条对角线的长有什么关系？,知1讲,归 纳,知1讲,矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.,（来自教材）,知1讲,例1
3、 一题多解如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，若AB3，BC4，那么阴影部分的面积为_,导引：由题意易得到OEBOFD， 将阴影部分的面积转化为规则 的几何图形的面积进行计算,（来自点拨）,3,知1讲,方法一：四边形ABCD是矩形， 由矩形中心对称的性质知SEBOSFDO， 阴影部分的面积为矩形面积的 . S阴影部分SABO 343. 方法二：在矩形ABCD中，OBOD，EBOFDO. 在OEB与OFD中， OEBOFD. S阴影部分SABO S矩形ABCD 343.,（来自点拨）,总 结,矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对 称性将阴影部分的面积转化
4、为规则的几何图形的面积 求解体现了转化思想,知1讲,（来自点拨）,知1练,（来自典中点）,下列说法不正确的是( ) A矩形是平行四边形 B矩形不一定是平行四边形 C有一个角是直角的平行四边形是矩形 D矩形既是轴对称图形又是中心对称图形,B,知1练,（来自典中点）,【中考菏泽】在ABCD中，AB3，BC4，连接AC，BD，当ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( ) AC5；BADBCD180； ACBD；ACBD. A B C D,B,2,知识点,矩形的边角性质,知2导,因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形 的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形不具有的一些特殊性
5、质呢？,思考,知2导,(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴？ (2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你发现矩形的另外三个角有什么性质?证明你的结论,归 纳,知2导,矩形的四个角都是直角.,知2讲,例2 如图所示，在矩形ABCD中，AEBD于点E， DAEBAE31，求BAO和EAO的度数,由DAE与BAE之和为矩形 的一个内角及两角之比即可求 出DAE和BAE的度数，从 而得出ABE的度数，由矩形的性质易得BAO ABE，即可求出BAO的度数，再由EAO BAOBAE可得EAO的度数,导引：,知2讲,四边形
6、ABCD是矩形， DAB90，AO AC，BO BD，ACBD. BAEDAE90，AOBO. 又DAEBAE31， BAE22.5，DAE67.5. AEBD， ABE90BAE9022.567.5. AOBO，BAOABE67.5. EAOBAOBAE67.522.545.,（来自点拨）,解：,总 结,知2讲,矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形， 矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此 有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等 腰三角形中来解决,（来自点拨）,1 已知：如图，E为矩形ABCD的边AD的中点，连接BE，CE. 求证：EBC是等腰三角形.,知2练,（来自教材
7、）,在矩形ABCD中，ABCD， AD90， E为AD的中点，AEDE，在ABE和DCE中， ABEDCE. EBEC，EBC是等腰三角形,解：,知2练,如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，对角线AC与BD相交于点O，EF经过点O且分别与AB，CD相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为_,（来自典中点）,3,知2练,如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且ADDE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( ) AAOBBOC BBOCEOD CAODEOD DAODBOC,（来自典中点）,A,知2练,【中考西宁】如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OMAB交
8、AD于点M，若OM3，BC10，则OB的长为( ) A5 B4 C. D.,（来自典中点）,D,知2练,【中考安顺】如图，在矩形纸片ABCD中，AD4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O. 若AO5 cm，则AB的长为( ) A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm,（来自典中点）,C,知2练,【中考绍兴】在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，ACFAFC，FAEFEA.若ACB21，则ECD的度数是( ) A7 B21 C23 D24,（来自典中点）,C,3,知识点,
9、矩形的对角线性质,知3导,任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们 的长你有什么发现? 已知：如图所示，四边形ABCD是矩形 求证：AC=DB,知3导,证明：四边形ABCD是矩形， ABC=DCB=90(矩形的性质定理1) AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB ABCDCB(SAS). AC=DB 于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.,归 纳,知3导,矩形的对角线相等.,知3讲,例4 如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O， AOD=120，AB=4 cm.求矩形对角线的长.,（来自教材）,四边形ABCD是矩形， AC=BD，AO=OC=BO=OD. AOD=120，AO
10、B=60. AOB是等边三角形. AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm), 即矩形ABCD对角线的长为8 cm.,解：,总 结,知3讲,因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的 对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可 得到特殊的三角形等边三角形，利用等边三角形 的性质即可求解,（来自点拨）,矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是_.,知3练,矩形的四个内角都是直角； 矩形的两条对角线相等,（来自教材）,如图，四边形ABCD为矩形，指 出图中相等的线段和角.,知3练,（来自教材）,相等的线段：ABCD，ADBC， ACBD，OAOCOBOD. 相等的角
11、：BADADCBCDABC，AOBDOC，AODBOC， OABABOODCOCD， OADODAOBCOCB.,解：,已知矩形ABCD的边AB=4，BC=5.求对角线AC的长.,知3练,（来自教材）,如图，在矩形ABCD中， AB4，BC5，ABC90. AC,解：,如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF丄CE，交AB于点F，DE=2. 矩影的周长为16，且CE=EF. 求AE的长.,知3练,（来自教材）,知3练,（来自教材）,在矩形ABCD中，AD90，ADBC，ABCD，EFCE，FEC90，AEFDEC90，DECDCE90，AEFDCE. 在AEF和DCE中， AEFDCE，
12、AECD，设AEx，则CDx，ADx2. 矩形的周长为16，2(xx2)16.解得x3. 即AE3.,解：,知3练,（来自教材）,在矩形ABCD中， ABCD，ACBD， 因为ABCE，BEAC， 所以四边形ABEC是平行四边形 所以ACBE，又因为ACBD，所以BDBE.,已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BEAC，交DC的延长线于点E.求证：BD=BE.,证明：,知3练,（来自教材）,已知：如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，P为AD上一点，过点P作PEAC，PFBD，垂足分别为E，F.求PE+PF的值.,连接PO，在矩形ABCD中， ACBD 5
13、.OAOD AC BD . SAODSAOPSDOP OAPE ODPFOA(PEPF) SADC ADDC3. 故PEPF .,解：,知3练,（来自教材）,如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E为CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接DF.求DF的长.,知3练,（来自教材）,连接AC，在矩形ABCD中，ADBC，ADBC，ADCDCF90，因为E为CD的中点，所以DECE.因为ADCF，所以DAECFE.在ADE和FCE中， 所以ADEFCE， 所以CFAD，又因为ADBC，所以BCCF， 又因为DCBF， 所以DFBD 5.,解：,【中考怀化】如图，在矩形ABCD中
14、，对角线AC，BD相交于点O，AOB60，AC6 cm，则AB的长是( ) A3 cm B6 cm C10 cm D12 cm,知3练,（来自典中点）,A,9,【中考兰州】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CEBD，DEAC，AD DE2，则四边形OCED的面积为( ) A2 B4 C4 D8,知3练,（来自典中点）,A,10,【中考宜宾】如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( ) A4.8 B5 C6 D7.2,知3练,（来自典中点）,A,1. 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相等 2. 矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角形在解题的时候常用到等腰三角形的性质 3. 矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴,1,知识小结,矩形一个角的平分线分矩形一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为_,2,易错小结,4 cm2或12 cm2,易错点：对题意理解不透彻导致漏解,请完成典中点 、 板块 对应习题！,
