1、【学习目标】1.熟练掌握直线和平面垂直的定义，判定定理和性质定理，并能依据条件，灵活运用.2.掌握两个平面垂直的判定定理、性质定理，并能进行论证和解决有关问题.3.熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化.强化空间垂直感觉.【知识要点】1直线与平面垂直的判定(1)(定义)如果一条直线和平面内_都垂直，那么这条直线和这个平面垂直(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的_都垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号语言表示为： m ， n ， m n B， l m， l nl .(3)如果两条平行线中的一条_一个平面，那么另一条也垂直于这个平面用符号语言表示为：_(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平
2、面垂直，那么在一个_垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面_的直线也与另一个平面垂直(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的_也垂直于第三个平面2直线和平面垂直的性质如果两条不重合的直线_于一个平面，那么这两条直线平行，即 a ， b a b.3两平面垂直的判定(1)(定义)两个平面相交，如果所成的二面角是_，那么这两个平面互相垂直；(2)(判定定理)如果一个平面_另一个平面的一条_，那么这两个平面互相垂直即_， a .4两平面垂直的性质如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面即 ， l，_
3、， a a .【高考模拟】一、单选题1如图，在棱长为 1 的正方体中 ，点 在线段 上运动，则下列命题错误的是（ ）A 异面直线 和 所成的角为定值B 直线 和平面 平行C 三棱锥 的体积为定值D 直线 和平面 所成的角为定值【答案】D【解析】【分析】结合条件和各知识点对四个选项逐个进行分析【详解】，而 平面点 到平面 的距离即为点 到该平面的距离，三棱锥的体积为定值，故正确，由线面夹角的定义，令 与 的交点为 ，可得 即为直线 和平面 所成的角，当 移动时这个角是变化的，故错误故选【点睛】本题考查了异面直线所成角的概念、线面平行及线面角等，三棱锥的体积的计算可以进行顶点轮换及线面平行时，直线
4、上任意一点到平面的距离都相等这一结论，即等体积法的转换。2三棱锥 中， 则 在底面 的投影一定在三角形 的（ ）A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心【答案】C【解析】【分析】先画出图形，过 作 平面 ，垂足为 ，连接 并延长交 于 ，连接 ，可推出 ，结合，根据线面垂直定理，得证 ，同理可证 ，从而可得出结论【详解】过 作 平面 ，垂足为 ，连接 并延长交 于 ，连接 .又 ，平面又 平面，同理是三角形 的垂心.故选 C.【点睛】本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同
5、时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键.3如图，在三棱锥 中， 底面 ， ，则直线 与平面 所成角的大小为A B C D 【答案】B【解析】【分析】根据 底面 ，判断出 为直线 与平面 所成角，利用三角形 为等腰直角三角形求解【详解】【点睛】求解线面角的步骤：先找出线面角，再证明线面角，最后求解线面角。4如图，在 中， ， 为 所在平面外一点， ，则四面体 中直角三角形的个数为 ( ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】根据线面垂直得线线垂直，根据线线垂直确定直角三角形的个数.【详解】【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查基本分析论证能力.5四棱锥 中，底面是边长为 的正方
6、形，若四条侧棱相等，且该四棱锥的体积 ，则二面角的大小为A B C D 【答案】C【解析】【分析】由体积和底面边长分别求出四棱锥的高和斜高，找出二面角的平面角解三角形【详解】如图，连接 ， 交于点四条侧棱相等面 ，取 的中点 ，则 为二面角 的平面角则则故选【点睛】要求二面角的大小就要先找出二面角的平面角，然后解三角形，本题中条件给出四条侧棱相等则可以判定顶点的射影在底面中心，然后求解6如图，在三棱锥 中，侧面 底面 BCD， ， ， ， ，直线AC 与底面 BCD 所成角的大小为 A B C D 【答案】A【解析】【分析】取 BD 中点,可证 ， 为直线 AC 与底面 BCD 所成角。【详解
7、】取 BD 中点，由 ， ，又侧面 底面 BCD，所以 。所以 为直线 AC 与底面 BCD 所成角。,所以 。选 A.【点睛】本题考查线面角，用几何法求线面角要一作、二证、三求，要有线面垂直才有线面角。7如图, 在正方体 中, , 过直线 的平面 平面 ,则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）A B C D 【答案】D【解析】【分析】由正方体结构特征，易得体对角线 ，取 中点 ，则 为所求截面，再进行求解即可.【详解】如图所示，连接 交 于 ，取 中点 ，连接 、 、 和 ，【点睛】本题考查面面垂直的判定，考查正方体的结构特征，借助正方体的结构正确的判定垂直平面的位置是解题关键.8如图，已
8、知平面 ， ， 、 是直线 上的两点， 、 是平面 内的两点，且 ， ， ， 是平面 上的一动点，且直线 ， 与平面 所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）A B C D 【答案】B【解析】【分析】为所求的二面角的平面角，由 得出 ，求出 在 内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值【详解】，在平面 内，以 为 轴，以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系则 ，设，整理可得：在 内的轨迹为 为圆心，以 为半径的上半圆平面 平面 ， ，为二面角 的平面角，当 与圆相切时， 最大， 取得最小值此时故选【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公
9、垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果。9已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，若球 的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正切值为A B C D 【答案】A【解析】【分析】取 的中点 ，则 为所求线面角，利用勾股定理求出 即可得出答案【详解】【点睛】本题考查了棱锥与球的位置关系，属于中档题10如图，矩形 中， ， 是线段 （不含点 ）上一动点，把 沿 折起得到 ，使得平面 平面 ，分别记 ， 与平面 所成角为 ，平面 与平面 所成锐角为 ，则（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，作出 与平面 所成角为 ，平面 与
10、平面 所成锐角为 ，分别求出 和 ，与平面 所成角为 则答案可求【详解】如图，过 作 ，在 中，由 ，可得 由等积法可得 ，则平面 平面 ，且 ，可得 平面 ，则 过 作 ，垂足为 ，连接 ，则 为平面 与平面 所成的锐角 到 的距离 即 故选：A【点睛】本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的求法，考查空间想象能力与逻辑思维能力，是中档题11如图，在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 是侧面 的中点，则 与平面 所成角的大小是（ ）A B C D 【答案】A【解析】【分析】取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 平面 ，从而 为所求角，在 中计算 即可.【详解】取 BC 的中
11、点 E，连接 AE，DE，则 平面 ，为 与平面 所成的角，设三棱柱的棱长为 1，则 ，.故选：A.【点睛】本题考查了线面角的计算，作出所求的线面角是解题的关键，属于基础题.12如图，正方体的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ；则下列结论错误的是（）.A B C 三棱锥 的体积为定值 D 的面积与 的面积相等【答案】D【解析】【详解】分析：在正方体中，点 到 的距离为 ，而 到 的距离为 ，因此可以判断 D 是错误的.详解：在正方体 中， 平面 ，而 平面 ，故 ，故 A 正确.又 平面 ，因此 平面 ，故 B 正确.当 变化时，三角形 的面积不变，点 到平面 的距离就是 到平面 的距离，
12、它是一个定值，故三棱锥 的体积为定值（此时可看成三棱锥 的体积） ，故 C 正确. 在正方体中，点 到 的距离为 ，而 到 的距离为 ， D 是错误的.综上，选 D. 点睛：在三棱锥的体积的计算过程中，我们要选择合适的顶点和底面，使得顶点到底面的距离容易求得.13对于命题：平行于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；垂直于同一直线的两直线平行；垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( )A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个【答案】B【解析】分析：通过找出的反例，判断正误；利用平面平行的性质与判定判断的正误；利用直线垂直平面的性质判定的正误，得到正确结果.点睛：本
13、题考查了用文字语言叙述的空间中平行和垂直关系的判定，是基础题，熟练掌握空间中的线线、线面、面面的位置关系是解题的关键.14在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 1，则二面角 A-CD-B 的余弦值为 ( )A B C D 【答案】C【解析】分析：根据图像，连接 的中点为 ， 的中点为 ，由题意 ， ，则 为二面角 A-CD-B 的平面角，在 中根据余弦定理求解即可。详解：将四面体 ABCD 放入三棱锥进行研究，如图根据题意，设 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ，所以 ，则 ， ，则 为二面角 A-CD-B 的平面角 ， ， ，由余弦定理可知 ，故选 C。点睛：用几何方
14、法求二面角的大小的步骤：1、先找出二面角的平面角。2、证明二面角的平面角。3、求解二面角的平面角。15在正方体 中, 与 垂直的是( )A B C D 【答案】A【解析】分析：先证明 BD平面 ,再证明 BD.详解：因为 BDAC,BD , ,所以 BD平面 ，所以 BD.故答案为：A.点睛：本题主要考查线面垂直的判定和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力，属于基础题.16如图，P 是正四面体 V-ABC 的面 VBC 上一点，点 P 到平面 ABC 距离与到点 V 的距离相等，则动点 P 的轨迹是( )A 直线 B 抛物线C 离心率为 的椭圆 D 离心率为 3 的双曲线【
15、答案】C【解析】分析：由题设条件将点 P 到平面 ABC 距离与到点 V 的距离相等转化成在面 VBC 中点 P 到 V 的距离与到定直线 BC 的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.17把边长为 的正方形 沿对角线 折起，当 、 两点距离为 时，二面角 的大小为（ ）A 30 B 45 C 60 D 90【答案】D【解析】分析：设正方形对角线交点为 ，可证明 为二面角 的平面角，折起后的图形中， ，又知 ，由勾
16、股定理可得结果.详解：点睛：本题主要考查二面角的求法，属于中档题. 求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.18将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中 ， .若将它们的斜边 重合，让三角形 以 为轴转动，则下列说法不正确的是（ ）A 当平面 平面 时， ， 两点间的距离为B 当平面 平面 时， 与平面 所成的角为C 在三角形 转动过程中，
17、总有D 在三角形 转动过程中，三棱锥 的体积最大可达到【答案】C【解析】分析：A 选项，结合图象，利用面面垂直的性质及直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半求解；B 选项，先作出 与平面 所成的角，再求得其为 ；C 选项用反证法，假设垂直，根据线面垂直的判定与性质推到是否可能，从而得出结论；D 选项根据棱锥的体积公式，在底面积不变的情况下，体积的大小取决于高，当平面 ABD平面 ABC 时，高最大，求出即可详解：A 选项，取 AB 中点 O，连接 DO、CO，AD=BD= ，DO=1，AB=2，OC=1平面 ABD平面 ABC，DOAB，DO平面 ABC，DOOC，DC= ，A 选项正确；B
18、 选项，过点 D 作 DMAB，连接 MC，则DCM 就是 与平面 所成的角，因为 DM=CM,所以DCM=45，所以 B 选项正确；C 选项，若 ABCD，则 AB平面 CDO，ABOC，O 为中点，AC=BC，BAC=45与BAC=30矛盾，C 选项错误；D 选项，当 DO平面 ABC 时，棱锥的高最大，此时 V 棱锥 = ACBCDO= 11= D 选项正确故答案为：C点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解答类似空间真假命题的判断，方法比较灵活，有的可以举反例，有的可以反证，有的可以直接证明.19已知正方体的棱长为
19、 2，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D 【答案】A【解析】分析：利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，然后求解 截此正方体所得截面面积的最大值点睛：本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于难题解题关键是平面 与平面 A 平行.20在三棱柱 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 的中心，则 AD 与平面所成角的大小是( )A 30 B 45 C 60 D 90【答案】C【解析】【分析】三棱柱 是正三棱柱，取 的中点 ，则 就是 与平面 所成角，解直角三角形求出的大小，即为所求【详解】由题意
20、可得，三棱柱 是正三棱柱，取 的中点 ，则 ， 就是 在平面 内的射影，故 就是 与平面 所成角，设三棱柱的棱长为 1，直角三角形 中， ，故选 C【点睛】本题考查直线与平面成的角的定义和求法，取 BC 的中点 E，判断ADE 就是 AD 与平面 BB1C1C 所成角，是解题的关键，属于中档题二、填空题21在三棱锥 中， 与 共斜边 ，且 与平面 所成角正弦值为 ， ，则 到平面 的距离为_.【答案】 或【解析】【分析】由题意易知， 是等腰三角形，且 在底面 的射影在中线 上，结合 与平面 所成角正弦值为，可知 ，从而可以解得 到平面 的距离【详解】知 与 全等，所以 是等腰三角形，且 在底面
21、 的射影在中线 上，如图底面 ，设 ，则在 中， 与平面 所成角正弦值为 知 ， ，在 及 中， ， ， ， ，又 ， 解得 或故答案为： 或【点睛】求点平面的距离，第一种方法是根据定义作出垂线段，然后只要通过解三角形求出这个线段的长即可，要注意这里有三个步骤：一作二证三算；第二种方法利用体积法计算，所求距离作为一个三棱锥的高，通过两种不同的方法求三棱锥的体积，然后求得这个高；第三咱方法是利用空间向量法，点到平面的距离就是此点到平面的任一斜线段在平面的法向量方向上的投影的绝对值. 22如图，正四棱锥 的体积为 2，底面积为 6， 为侧棱 的中点，则直线 与平面 所成的角为_.【答案】【解析】【
22、分析】首先找到线面角，然后利用三角函数计算角的大小即可.【详解】【点睛】本题主要考查锥体的空间结构，线面角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23已知三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直，且 ， ，则点 到平面 的距离为_【答案】【解析】【分析】根据题意，利用等体积法，计算 P 点到平面 ABC 的距离，只需求出ABC 的面积【详解】PA、PB、PC 两两互相垂直，且 PA= ，PB=PC= AB=AC= 5，BC=6A 到 BC 的距离为 4ABC 的面积为 设 P 点到平面 ABC 的距离为 h，则 ，解得 h= 即 P 点到平面 ABC 的距离为【点睛】求点到面距离的等体积法:
23、已知或易求出三棱锥的体积，和所求面的面积，应用 即可求出，点到该面的距离。24如图,三棱锥 ,平面 平面 ,若 ,则 的形状为_.【答案】直角三角形【解析】【分析】根据面面垂直的性质即可得到 面 ，根据线面垂直的性质可得到 ，从而可得结果.【详解】【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论 ；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
24、25如图，正方体 中，直线 和 所成角的大小为_，直线 和平面所成角的大小为_【答案】 【解析】【分析】连结 DC1，A 1C1，设 A1C1B 1D1=O，连结 BO，由 B1D1BD，得DBC 1是线 BC1和 B1D1所成角，由此能求出直线 BC1和 B1D1所成角的大小；推导出 C1O平面 B1D1DB，从而OBC 1是直线 BC1和平面 B1D1DB 所成角，由此能求出直线 BC1和平面 B1D1DB 所成角的大小【详解】故答案为：60，30【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般求异面直线所成角的步骤:1 平移,将两条异面直线平移成相交直线2 定角,根据异面直线所成角的定
25、义找出所成角3 求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角4 结论26如图，在直四棱柱 中，当底面四边形 满足条件_时有 （注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）【答案】【解析】【分析】根据题意，由 ，结合直棱柱的性质，分析底面四边形 ，只要 ，进而验证即可【详解】四棱柱 是直棱柱， ，若 ，则 平面 ， ，又由 ，则有 ，反之，由 亦可得到 即答案为 【点睛】题主要考查了棱柱的几何特征以及空间线线，线面，面面垂直关系的转化与应用27三棱锥 P ABC 中， PA PB PC AB AC1， BAC90，则直线 PA 与底面 ABC 所成角的大小为_【答案】45【解
26、析】【分析】先求出 PAE45，再证明 PAE 为直线 PA 与平面 ABC 所成角即得解.【详解】【点睛】(1)本题主要考查直线和平面所成的角的计算，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找 作（定义法） 证（定义） 指 求（解三角形） ，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法） ，其中 是直线 的方向向量， 是平面的法向量， 是直线和平面所成的角.28在直三棱柱 中， .有下列条件： ； ； .其中能成为 的充要条件的是_ （填上序号）【答案】【解析】分析：由题意，对所给的三个条件，结合直三
27、棱柱 中， ，作出如图的图象，借助图象对 的充要条件进行研究. 详解：若 ，如图取 分别是 的中点，可得 ，由直三棱柱 中，可得 都垂直于侧面 ，由此知 都垂直于线 ，又 ，所以 平面 ，可得 ，又由 是中点及直三棱柱的性质知 ，故可得 ，再结合 垂直于线 ，可得 面 ，故有 ，故能成为 的充要条件，同理也可，对于条件，若 ，可得 面 ，若 ，由此可得 平面 形，矛盾，故不为 的充要条件，综上，符合题意，故答案为.点睛：本题主要考查直棱柱的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正
28、确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 29在四面体 中， ， ， .当四面体 体积最大时，直线 与平面 所成的角是_【答案】【解析】分析：当 平面 时，四面体 的体积最大，此时直线 与平面 所成角就是 ，利用等腰直角三角形性质可得结果.详解：如图，将四面体 置于棱长为 的正方体中，显然当 平面 时，四面体 的体积最大，此时直线 与平面 所成角就是 ，而 ，故直线 与平面 所成角就是 ，故答案为 .点睛：本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题.求直线与平面所成的角由两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.30如图，正方体 中，异面直线 与 所成角为_【答案】【解析】分析：首先确定线面垂直，据此确定异面直线所成的角即可.点睛：本题主要考查线面垂直的判断定理，异面直线夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.31如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 平面 ,则四个侧面 ，中,有_ 个直角三角形.
