东湖中学中考攻略专题：几何三大变换之旋转探讨(含答案).doc

1、- 1 -【中考攻略】专题：几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕 一 固 定 点 旋 转 一 个 定 角 ，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋 转 前 、 后 图 形 的 对 应 点 到 旋 转 中 心 的 距 离 相 等 ，即 旋 转 中 心 在 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线 上 ； 旋 转 前 、 后 的 图 形 对 应 点 与 旋 转 中心 所 连 线 段 的 夹 角 等 于

2、旋 转 角 。把 一 个 图 形 绕 着 某 一 定 点 旋 转 一 个 角 度 360/n(n 为 大 于 1 的 正 整 数 )后 ， 与 初 始的 图 形 重 合 ， 这 种 图 形 就 叫 做 旋 转 对 称 图 形 ， 这 个 定 点 就 叫 做 旋 转 对 称 中 心 ， 旋 转 的 角度 叫 做 旋 转 角 。 特 别 地 ， 中 心 对 称 也 是 旋 转 对 称 的 一 种 的 特 别 形 式 。 把 一 个 图 形 绕 着 某 一 点 旋 转180， 如 果 它 能 与 另 一 个 图 形 重 合 ， 那 么 就 说 这 两 个 图 形 关 于 这 个 点 对 称 或 中

3、心 对 称 ，这 个 点 叫 做 对 称 中 心 ， 这 两 个 图 形 的 对 应 点 叫 做 关 于 中 心 的 对 称 点 。 如 果 把 一 个 图 形 绕某 一 点 旋 转 180 度 后 能 与 自 身 重 合 ， 这 个 图 形 是 中 心 对 称 图 形 。在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。结合 2011 和 2012 年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心 对 称 和 中 心 对 称 图 形 ； （2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三

4、角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。一、中 心 对 称 和 中 心 对 称 图 形 ：典型例题：例 1. （2012 天津市 3 分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【 】（A） （B） （C） （D）【答案】B。- 2 -【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A、C、D 都不符合中心对称的定义。故选 B。例 2. （2012 上海市 4 分）在下列图形中，为中心对称图形的是【 】

5、A 等腰梯形 B 平行四边形C 正五边形 D 等腰三角形【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，等腰梯形、正五边形、等腰三角形都不符合；是中心对称图形的只有平行四边形故选 B。例 3. （2012 广东深圳 3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】【答案】A。【考点】中心对称和轴对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，A既是轴对称图形，又是中心对称图形，选项正确；B既不

6、是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误。故选 A。例 4. （2012 福建宁德 4 分）下列两个电子数字成中心对称的是【 】- 3 -【答案】A。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，符合条件的只有 A。故选 A。例 5. （ 2012 湖北随州 4 分）下列图形：等腰梯形，菱形，函数 的图象，函1y=x数 y=kx+b(k0)的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有【 】A B. C. D.【答案】D。【考点】

7、轴对称图形和中心对称图形。【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本小题错误；菱形，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；函数 图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确；1y=x函数 y=kx+b（k0）图象是直线，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本小题正确。综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形有。故选 D。例 6. （2012 山东德州 4 分）在四边形 ABCD 中，AB=CD，要使四边形 ABCD 是中心对称

8、图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 （只要填写一种情况）【答案】AD= BC（答案不唯一）。【考点】中心对称图形，平行四边形的判定。【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形：AB=CD，当 AD=BC 时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形。当 ABCD 时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。当B+C=180或 A+D=180时，四边形 ABCD 是平行四边形。- 4 -故此时是中心对称图形。故答案为：AD=BC 或 ABCD 或B+C=180或A + D=180等（答案不唯一）。例 7. （2012

9、 四川宜宾 3 分）如图，在平面直角坐标系中，将ABC 绕点 P 旋转 180得到DEF，则点 P 的坐标为 【答案】（1，1）。【考点】坐标与图形的旋转变化，中心对称的性质。【分析】将ABC 绕点 P 旋转 180得到DEF，ABC 和DEF 关于点 P 中心对称。连接 AD，CF，二者交点即为点 P。由图知，P（1，1） 。或由 A（0，1） ，D（ 2，3） ，根据对应点到旋转中心的距离相等的性质得点 P 的坐标为（ ） ，即（1， 1） 。2四练习题：1. （2012 重庆市 4 分）下列图形中，是轴对称图形的是【 】A B C D2.（2012 广东珠海 3 分）下列图形中不是中心对

10、称图形的是【 】 A.矩形 B.菱形 C.平行四边形 D.正五边形3. （2012 江苏盐城 3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】- 5 -4.（2012 四川达州 3 分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【 】5.（2012 河南省 3 分）如下是一种电子记分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】A B C D6.（2012 黑龙江大庆 3 分）下列哪个函数的图象不是中心对称图形【 】A. B. C D.y2x2yx2yxy2x7.（2011 云南曲靖 3 分）小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称。如果小明家距学校2 公里，那么他们两

11、家相距 公里；二、构造旋转图形：典型例题：例 1. （2012 浙江丽水、金华 3 分）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形该小正方形的序号是【 】A B C D【答案】B。【考点】中心对称图形。【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转 180 度后与原图重合。因此，通过观察发现，当涂黑时，所形成的图形关于点 A 中- 6 -心对称。故选 B。例 2. （2012 福建三明 8 分）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，1），B（3，3），C（1， 3）.画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1，并写出点 A1 的坐

12、标；（4 分）画出ABC 关于原点 O 对称的A 2B2C2，并写出点 A2 的坐标.（4 分）【答案】解：如图所示，A 1（2，1）。如图所示，A 2（2，1）。 【考点】轴对称和中心对称作图。【分析】根据轴对称和中心对称的性质作图，写出 A1、A 2 的坐标。例 3.（2012 海南省 8 分）如图，在正方形网络中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A、B、C 的坐标分别为（2，4）、（2，0）、（4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）画出ABC 关于原点 O 对称的A 1B1C1.（2）平移ABC，使点 A 移动到点 A2（0，2），画出平移后的A 2B2C2 并写出点 B

13、2、C 2的坐标.（3）在ABC、A 1B1C1、A 2B2C2 中，A 2B2C2 与 成中心对称，其对称中心- 7 -的坐标为 .【答案】解：（1）ABC 关于原点 O 对称的A 1B1C1 如图所示：（2）平移后的A 2B2C2 如图所示：点 B2、C 2 的坐标分别为（ 0，2），（2，1）。（3）A 1B1C1；（1，1）。- 8 -【考点】网格问题，作图（中心对称变换和平移变换），中心对称和平移的性质。【分析】（1）根据中心对称的性质，作出 A、B、C 三点关于原点的对称点 A1、B 1、C 1，连接即可。（2）根据平移的性质，点 A（2，4）A 2（0，2），横坐标加 2，纵坐标

14、减2，所以将 B（2，0）、C（ 4，1）横坐标加 2，纵坐标减 2 得到 B2（0，2）、C2（2，1），连接即可。（3）如图所示。例 4. （2012 江苏泰州 10 分）如 图 ， 在 边 长 为 1 个 单 位 长 度 的 小 正 方 形 组 成 的 网 格 中 ， ABC 的 顶 点 A、 B、 C 在 小 正 方 形 的 顶 点 上 ， 将 ABC 向 下 平 移 4 个 单 位 、 再 向 右 平移 3 个 单 位 得 到 A1B1C1， 然 后 将 A1B1C1 绕 点 A1 顺 时 针 旋 转 90得 到 A1B2C2（ 1） 在 网 格 中 画 出 A1B1C1 和 A1B

15、2C2；（ 2） 计 算 线 段 AC 在 变 换 到 A1C2 的 过 程 中 扫 过 区 域 的 面 积 （ 重 叠 部 分 不 重 复 计 算 ）【答案】解：（1）如图所示：（2）图中是边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格， 。2AC 将ABC 向下平移 4 个单位 AC 所扫过的面积是以 4 为底，以 2 为高的平行四边形的面积：42=8。- 9 -再向右平移 3 个单位 AC 所扫过的面积是以 3 为底，以 2 为高的平行四边形的面积：42=6 。当A 1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90到A 1B2C2 时，A 1C1 所扫过的面积是以 A1 为圆心以以 为半径，圆心角为

16、 90的扇形的面积，重叠部分是以 A1 为圆心，2 以 为半径，圆心角为 45的扇形的面积，去掉重叠部分，面积为：2 245=360线段 AC 在变换到 A1C2 的过程中扫过区域的面积 =86 =14+。【考点】作图（平移和旋转变换），平移和旋转的性质，网格问题，勾股定理，平行四边形面积和扇形面积的计算。【分析】（1）根据图形平移及旋转的性质画出A 1B1C1 及A 1B2C2 即可。（2）画出图形，根据图形平移及旋转的性质分三部分求取面积。 例 5.（2012 江苏常州 6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A（1，0）、B（3，0）、C （2，1）

17、、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点 O 为位似中心，将 ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2：1 放大得ABC 的位似图形A 1B1C1，并解决下列问题：（1）顶点 A1 的坐标为 ，B 1 的坐标为 ，C 1 的坐标为 ；（2）请你利用旋转、平移两种变换，使A 1B1C1 通过变换后得到A 2B2C2，且A 2B2C2 恰与DEF 拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。【答案】解：作图如下： - 10 -（1）（2，0），（6，0），（4，2）。（2）符合要求的变换有两种情况：情况 1：如图 1，变换过程如下： 将A 2B2C2 向右平移 12

18、 个单位，再向上平移 5 个单位；再以 B1 为中心顺时针旋转 900。情况 2：如图 2，变换过程如下： 将A 2B2C2 向右平移 8 个单位，再向上平移 5 个单位；再以 A1 为中心顺时针旋转 900。【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：先确定图形的位似中心；利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；按原图形中的方式顺次连接对应点要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确

19、定一组对应点；确定图形中的关键点；利用第一组对- 11 -应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。例 6. （2012 福建漳州 8 分）利用对称性可设计出美丽的图案在边长为 1 的方格纸中,有如图所示的四边形(顶点都在格点上 ) (1)先作出该四边形关于直线 成轴对称的图形，再作出你所作的图形连同原四边形绕lO 点按顺时针方向旋转 90o 后的图形；(2)完成上述设计后，整个图案的面积等于_【答案】解：（1）作图如图所示：先作出关于直线 l 的对称图形；再作出所作的图形连同原四边形绕 O点按顺

20、时针方向旋转 90后的图形。（2）20。【考点】利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案。【分析】（1）根据图形对称的性质先作出关于直线 l 的对称图形，再作出所作的图形连同原四边形绕 0 点按顺时针方向旋转 90后的图形即可。（2）先利用割补法求出原图形的面积，由图形旋转及对称的性质可知经过旋转与轴对称所得图形与原图形全等即可得出结论。边长为 1 的方格纸中一个方格的面积是 1，原图形的面积为 5。- 12 -整个图案的面积=45=20。例 7. （2012 福建福州 7 分）如图，方格纸中的每个小方格是边长为 1 个单位长度的正方形 画出将 RtABC 向右平移 5 个单位长度后的 RtA 1

21、B1C1； 再将 RtA 1B1C1 绕点 C1 顺时针旋转 90，画出旋转后的 RtA 2B2C1，并求出旋转过程中线段 A1C1 所扫过的面积 (结果保留 )【答案】解： 如图所示； 如图所示；在旋转过程中，线段 A1C1 所扫过的面积等于 4。9042360【考点】平移变换和旋转变换作图，扇形面积的计算。【分析】根据图形平移的性质画出平移后的图形，再根据在旋转过程中，线段 A1C1 所扫过的面积等于以点 C1 为圆心，以 A1C1 为半径，圆心角为 90 度的扇形的面积，再根据扇形的面积公式进行解答即可。例 8. （2012 四川南充 3 分） 如图，四边形 ABCD 中，BAD=BCD

22、=90 0,AB=AD,若四边形 ABCD 的面积是 24cm2.则 AC 长是 cm. 【答案】4 。3【考点】等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理。【分析】如图，将ADC 旋转至ABE 处，则AEC 的面积和四边形 ABCD 的面积一样多为 24cm2，,这时三角形AEC 为等腰直角三角形，作边 EC 上的高 AF，则- 13 -AF= EC=FC, 12 SAEC= AFEC=AF2=24 。AF 2=24。12AC 2=2AF2=48 AC=4 。3练习题：1. （2012 湖南张家界 6 分）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点A

23、BC 向右平移 4 个单位得到A 1B1C1，再将A 1B1C1绕点 C1 点旋转 180得到A 2B2C22.（2012 贵州六盘水 10 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形Rt ABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A 的坐标为（ 4，1） ，点 B的坐标为（1， 1） - 14 -（1）先将 RtABC 向右平移 5 个单位，再向下平移 1 个单位后得到 RtA 1B1C1试在图中画出图形 RtA 1B1C1，并写出 A1 的坐标；（2）将 RtA 1B1C1 绕点 A1 顺时针旋转 90后得到 RtA 2B2C2，试在图中画出图形 RtA2B2C

24、2并计算 RtA 1B1C1 在上述旋转过程中 C1 所经过的路程3.（吉林省 6 分）如图所示，在 76 的正方形网格中，选取 14 个格点，以其中三个格点为顶点一画出 ABC,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：（1） 图中所画的三角形与 ABC 组成的图形是轴对称图形。（2） 图中所画的三角形与 ABC 组成的图形是中心对称图形。（3） 图中所画的三角形与 ABC 的面积相等，但不全等。CBACBACBACBA4.（2011 浙江绍兴 8 分）分别按下列要求解答：（1）在图 1 中作出O 关于直线 l 成轴对称的图形；图 图 图- 15 -（2）在图 2 中作出A

25、BC 关于点 P 成中心对称的图形5.（2011 辽宁抚顺 10 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC与DEF 关于点 O 成中心对称，ABC 与DEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题(1)在图中画出点 O 的位置(2)将ABC 先向右平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到A 1B1C1，请画出A 1B1C1；(3)在网格中画出格点 M，使 A1M 平分B 1A1C1.6.（2011 辽宁阜新 10 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格，直角梯形 ABEF 的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）请在图中拼上一个直角梯形，使它与

26、梯形 ABEF 构成一个等腰梯形 ABCD；（2）将等腰梯形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90，画出相应的图形 A1B1CD1；（3）求点 A 旋转到点 A1 时，点 A 所经过的路线长（结果保留 ）- 16 -7. （2011 黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 6 分）如图，每个小方格都是边长为 1 个单位长度的小正方形（1）将ABC 向右平移 3 个单位长度，画出平移后的A 1B1C1（2）将ABC 绕点 O 旋转 180，画出旋转后的A 2B2C2（3）画出一条直线将AC 1A2 的面积分成相等的两部分8.（2011 广东台山 10 分）如图，在 55 的正方形网格

27、中，每个小正方形的边长都为 1，请在所给网格中按下列要求画出图形。（1） 从点 A 出发的一条线段 AB，使它的另一个端点落在格点（即小方形的顶点）上，且长度为 ；2（2）以（1）中的 AB 为边的一个等腰三角形 ABC，使点 C 在格点上，且另两边的长都是无理数；（3）以（1）中的 AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数。9.（2011 湖北孝感 8 分）如图所示，网格中每个小正方形的边长为 1，请你认真观察图（1）中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：- 17 -图（1） 图（2）（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是_对称

28、图形，都不是_对称图形. （4分）（2）请在图（2）中设计出一个面积为 4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图（1）中所给出的图案相同. （4 分）10. （2011 四川巴中 8 分） 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是 l，ABC与 成中心对称。ABC(1)画出对称中心 O；(2)画出将 沿直线 MN 向上平移 5 格得到的 ：ABCABC(3)要使 与 重合，则 绕点 沿顺时针方向旋转，至少旋转多 少度?(直接写出答案)11.（2011 山东烟台 4 分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起，O 1、O 2 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .三、有关点

29、的旋转：典型例题：例 1. （2012 广东梅州 7 分）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2 ） 、B（1，3） AOB 绕点 O 逆- 18 -时针旋转 90后得到 A 1OB1 （直接填写答案）（1）点 A 关于点 O 中心对称的点的坐标为 ；（2）点 A1 的坐标为 ；（3）在旋转过程中，点 B 经过的路径为弧 BB1，那么弧 BB1 的长为 【答案】解：（1）（3， 2）。（2） （2，3 ）。（3） 。10【考点】坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。【分析】（1）根据关于坐标原点成中心对称

30、的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。（2）根据平面直角坐标系写出即可。（3）先利用勾股定理求出 OB 的长度，然后根据弧长公式列式进行计算即可得解：根据勾股定理，得 ，弧 BB1 的长= 。2OB1+3=09010=82例 2. （2012 黑龙江大庆 9 分）在直角坐标系中，C (2，3) ，C (4，3) ， C(2,1)，D(4，1) ，A(0， )，B( ，O)( 0).aa- 19 -（1）结合坐标系用坐标填空 点 C 与 C关于点 对称; 点 C 与 C关于点 对称; 点 C 与 D 关于点 对称（2）设点 C 关于点(4，2)的对称点是点 P，若PAB 的面积等于 5，

31、求 值a- 20 -例 3. （2012 黑龙江牡丹江 3 分）如图，A( ，1)，B(1， )将AOB 绕点 O 旋转 l50033得到A OB，则此时点 A 的对应点 A的坐标为【 】A( ，l) B( 2，0) C( l ， )或（2，0) D( ，1)3 33或( 2， 0)【答案】C。【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。【分析】如图，过点 A 作 AC 轴于点 C, 过点 B 作 BD 轴于点 D。由锐角三角函数定义， , 。A3tanO0OC3同理， 。 。0BD30若将AOB 绕点 O 顺时针旋转 l500，则点 A与点 B 关于

32、坐标原点对称，- 21 -A(l， )。3若将AOB 绕点 O 逆时针旋转 l500，则点 A在 轴反方向上， A(2，0)。综上所述，点 A 的对应点 A的坐标为(l， )或( 2，0)。故选 C。3练习题：1. （2011 河南省 3 分）如图，将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置，先将它绕原点 O 旋转 180到乙位置，再将它向下平移 2 个单位长到丙位置，则小花顶点 A在丙位置中的对应点 A的坐标为 【 】A、（3，1） B、（1，3） C、（3，1） D、（1，1）2.（2011 山东泰安 3 分）若点 A 的坐标为（6，3）O 为坐标原点，将 OA 绕点 O 按顺时针

33、方向旋转 90得到 OA，则点 A的坐标是【 】A、（3，6） B、（3，6） C、（3，6） D、（ 3，6）3. （ 2011 辽宁盘锦 10 分）如图，风车的支杆 OE 垂直于桌面，风车中心 O 到桌面的距离OE 为 25cm，小小风车在风吹动下绕着中心 O 不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C 、D 在同一圆 O 上，已知 O 的半径为 10cm.(1)风车在转动过程中，当AOE45时，求点 A 到桌面的距离(结果保留根号)(2)在风车转动一周的过程中，求点 A 相对于桌面的高度不超过 20cm 所经过的路径长(结果保留 )- 22 -备用图 1 备用图 24.（2011 四川眉

34、山 11 分）如图，在直角坐标系中，已知点 A（0，1），B（4，4），将点 B 绕点 A 顺时针方向旋转 90得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点 B（1）求抛物线的解析式和点 C 的坐标；（2）抛物线上一动点 P，设点 P 到 x 轴的距离为 d1，点 P 到点 A 的距离为 d2，试说明d2=d11；（3）在（2）的条件下，请探究当点 P 位于何处时，PAC 的周长有最小值，并求出PAC 的周长的最小值5.（2011 辽宁葫芦岛 10 分）如图，有一直径 MN4 的半圆形纸片，其圆心为点 P，从初始位置开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置，其中，位置中的 MN 平行于数轴，且半

35、P 与数轴相切于原点 O；位置和位置中的 MN 垂直于数轴；位置中的 MN 在数轴上；位置中的点 N 到数轴的距离为 3，且半P 与数轴相切于点 A.解答下列问题：(1)位置中的 MN 与数轴之间的距离为_；位置中的半P 与数轴的位置关系是_；(2)求位置中的圆心 P 在数轴上表示的数；(3)纸片半P 从位置翻滚到位置时，求点 N 所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；(4)求 OA 的长(2)，(3)，(4)中的结果保留 - 23 -四、有关直线（线段）的旋转：典型例题：例 1. （2012 安徽省 8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是网格线

36、的交点）和点 A1.（1）画出一个格点A 1B1C1，并使它与ABC 全等且 A 与 A1 是对应点；（2）画出点 B 关于直线 AC 的对称点 D，并指出 AD 可以看作由 AB 绕 A 点经过怎样的旋转而得到的.【答案】解：（1）答案不唯一，如图，平移即可：(2)作图如上，AB= ，AD= ，BD= ，AB 2+AD2=BD2。105ABD 是直角三角形。AD 可以看作由 AB 绕 A 点逆时针旋转 90得到的。- 24 -【考点】作图（平移变换、轴对称变换），全等图形，旋转和轴对称的性质，勾股定理和逆定理。【分析】 （1）利用ABC 三边长度，画出以 A1 为顶点的三角形三边长度即可，利

37、用图象平移，可得出A 1B1C1。（2）利用点 B 关于直线 AC 的对称点 D，得出 D 点坐标，根据勾股定理和逆定理可得出 AD 与 AB 的位置关系。例 2.（2012 湖北武汉 7 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 的坐标分别为(1，3) 、(4，1) ，先将线段 AB 沿一确定方向平移得到线段 A1B1，点 A 的对应点为 A1，点 B1的坐标为(0，2)，在将线段 A1B1 绕远点 O 顺时针旋转 90得到线段 A2B2，点 A1 的对应点为点 A2(1)画出线段 A1B1、A 2B2；(2)直接写出在这两次变换过程中，点 A 经过 A1 到达 A2 的路径长【答案】解：（

38、1）画出线段 A1B1、A 2B2 如图：（2）在这两次变换过程中，点 A 经过 A1 到达 A2 的路径长为 。517+2【考点】网格问题，图形的平移和旋转变换，勾股定理，扇形弧长公式。- 25 -【分析】（1）根据图形的平移和旋转变换性质作出图形。（2）如图，点 A 到点 A1 的平移变换中，221 C+ 417点 A2 到点 A3 的平移变换中， ，21 O5 。19090582在这两次变换过程中，点 A 经过 A1 到达 A2 的路径长为 。517+2例 3. （2012 四川泸州 2 分） 将如图所示的直角梯形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形是【 】【答案】D。【考点】点、线、面

39、的关系，旋转的性质。【分析】将如图所示的直角梯形绕直线 l 旋转一周得到圆台。故选 D。【注：本题已不是平面内的旋转，是空间内的旋转】例 4. （2012 黑龙江大庆 3 分）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为( ，1)，3将 OA 绕原点按逆时针方向旋转 30得 OB，则点 B 的坐标为【 】A.(1， ) B.( 1， ) C.(0，2) D.(2，0)3【答案】 A。【考点】坐标与图形的旋转变换，勾股定理，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。【分析】如图，作 ACx 轴于 C 点，BDy 轴于 D 点，点 A 的坐标为（ ，1） ，AC=1，OC= 。33OA=

40、。AOC=30。2+=OA 绕原点按逆时针方向旋转 30得 OB，- 26 -AOB=30，OA=OB。 BOD=30。Rt OACRtOBD （AAS） 。DB= AC=1， OD=OC= 。 B 点坐标为（1， ） 。故选 A。33例 5. （2012 陕西省 3 分）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分A在平面内，将长度为 4 的线段 AB 绕它的中点 M，按逆时针方向旋转 30，则线段 AB扫过的面积为 B用科学计算器计算： （精确到 0.01）7sin69【答案】 ；2.47。2 3【考点】扇形面积的计算，计算器的应用。【分析】A、画出示意图，根据扇形的面积公

41、式求解即可：由题意可得，AM=MB = AB=2。12线段 AB 扫过的面积为扇形 MCB 和扇形 MAB 的面积和，线段 AB 扫过的面积= 。230 6B、用计算器计算即可： 。7sin9.47例 6. （2012 江苏镇江 6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（0，2），直线OP 经过原点，且位于一、三象限，AOP=45 0（如图 1）。设点 A 关于直线 OP 的对称点为 B。（1）写出点 B 的坐标 ；（2）过原点 O 的直线 l 从直线 OP 的位置开始，绕原点 O 顺时针旋转。当直线 l 顺时针旋转 100 到直线 l1 的位置时（如图 1），点 A 关于直线

42、l1 的对称点为C，则 BOC 的度数是 ，线段 OC 的长为 ；当直线 l 顺时针旋转 550 到直线 l2 的位置时（如图 2），点 A 关于直线 l2 的对称点为D，则BOD 的度数是 ； 直线 l 顺时针旋转 n0（0 n900），在这个运动过程中，点 A 关于直线 l 的对称点所经过的路径长为 （用含 n 的代数式表示）。- 27 -【答案】解：（1）（2，0）。（2）20 0，2；110 0； 。n45例 7. （2012 四川泸州 7 分）“ 五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩。如图为某游乐场大型摩天轮- 28 -的示意图，其半径是 20m，它匀速旋转一周需要 24 分钟，

43、最底部点 B 离地面 1m。小明乘坐的车厢经过点B 时开始计时。(1)计时 4 分钟后小明离地面的高度是多少？(2)的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面 31m 以上的空中？【答案】解：（1）设 4 分钟后小明到达点 C，过点 C 作 CDOB 于点 D，DA 即为小明离地的高度，COD= ，OD= OC= 20=10。0364212DA=20101=11（m）。答：计时 4 分钟后小明离地面的高度是 11m。（2）设当旋转到 E 处时，小明离地面高度为 31m。作弦 EFAO 交 AO 的延长线于点 H，连接 OE，OF ，此时 EF 离地面高度为 HA。HA=31，OH=3

44、1120=10。OH= OE。HOE=60。12FOE=120 。每分钟旋转的角度为： ，由点 E 旋转到 F 所用的时间为：0361524（分钟）。012=85答：在旋转一周的过程中，小明将有 8 分钟的时间连续保持在离地面31m 以上的空中。- 29 -【考点】圆的综合题，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）设 4 分钟后小明到达点 C，过点 C 作 CD OB 于点 D，根据旋转的时间可以求得旋转角COD，利用三角函数即可求得 OD 的长，从而求解。（2）设当旋转到 E 处时，小明离地面高度为 31m。作弦 EFAO 交 AO 的延长线于点 H，连接 OE，OF

45、，此时 EF 离地面高度为 HA，在直角 OEH 中，利用三角函数求得HOE 的度数，则 EOF 的度数即可求得，则旋转的时间即可求得。例 8. （2012 辽宁营口 14 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点cbxay2A ，0) 、B (0，3)、C（1，0）三点3(1) 求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标；(2) 如图 1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点 D 顺时针旋转 ,与直线 交于60xy点 N在直线 DN 上是否存在点 M，使得MON= 若存在，求出点 M 的坐标；75若不存在，请说明理由；(3) 点 P、Q 分别是抛物线 和直线 上的点，当四边形 OBPQcbxay2xy是

46、直角梯形时，求出点 Q 的坐标【答案】解：（1）由题意把 A(3，0) 、B(0，3)、C(1， 0)代入 得，2yaxbc，解得 。90abc123abc抛物线的解析式是 。2yx ，23(1)4yx抛物线的顶点 D 的坐标为（ 1，4）。- 30 -（2）存在。理由如下： 由旋转得EDF=60 。在 RtDEF 中，EDF=60，DE=4，EF=DE tan60=4 。3OF= OE+EF=1+4 。F 点的坐标为（ ，0）。143设过点 D、F 的直线解析式是 ，ykxb把 D（1，4），F（ ，0）代入求得 。14334yx分两种情况：当点 M 在射线 ND 上时， MON =75，BON=45，MOB=MONBON=30。MOC=60。直线 OM 的解析式为 。3yx点 M 的坐标为方程组 的解，解方程组得，34yx。1236xy点 M 的坐标为（ ， ）。123362当点 M 在射线 NF 上时，不存在点 M 使得MON =75。MON=75，FON=45 ， FOM= MONFON=30。DFE=30。FOM=DFE。OMFN 。不存在点 M 使得MON=75。综上所述，存在点 M ，且点 M 的坐标为（ ， ）。123362（3）有两种情况：如图，直角梯形 OBPQ 中，PQ OB，OBP=90。OBP=AOB =90，PBOA 。