1、题型八 二次函数综合题 类型四 与直角三角形有关的问题,例 4 如图，抛物线yx22x3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.(1)求A、B、C点的坐标；,典例精讲,解：已知抛物线yx22x3，令x0，得 y3，C(0，3) 令y0，解得x11，x23， A(1，0)，B(3，0)；,(2)连接AC，BC，ACB是锐角三角形吗？请说明理由；,解：ACB是锐角三角形； 理由：由(1)知A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)， AB4，AC ，BC3 ， ACBC2， ABC是锐角三角形，,【思维教练】分别说明ACB的三个内角是锐角,(3)在y轴上是否存在点D，使ACD是以AC为直角边的直角三角
2、形？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由；,【思维教练】由(2)知ACB为锐角三角形，则ACD为锐角，所以在以AC为直角边的RtACD中，只能是DAC90.所以过点A作ADAC与y轴的交点D即为所求,解：存在如解图，过点A作ADAC，交y轴于点D，设点D坐标为(0，d)， 在RtOAD中，AD2OA2OD21d2， 在RtOAC中，AC2OA2OC2123210， 在RtACD中，DAC90， AD2AC2DC2， (1d2)10(d3)2，解得d ， 点D坐标为(0， )；,例3题解图,(4)在抛物线上是否存在点E，使BCE是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点E坐标；若不存在，
3、请说明理由；,【思维教练】BCE是以BC为直角边的直角三角形，则可分别过点B、C做线段BC的垂线，与抛物线的交点即为所求,解：存在如解图，过点B作BE1BC，交抛物线于点E1，过点C作CE2BC交抛物线于点E2， 当CBE190时，设E1(e，e22e3)， 根据勾股定理得， E1B2(3e)2(e22e3)2e44e3e26e18， E1C2e2(e22e33)2e44e35e2， BC2323218， E1B2BC2E1C2，,(e44e3e26e18)18e44e35e2， 即e2e60，解得e13(不合题意，舍去)，e22， E1的坐标为(2，5)； 当BCE290，设E2(m，m22
4、m3) 根据勾股定理得E2C2m2(m22m33)2m44m35m2， E2B2(m3)2(m22m3)2m44m3m26m18， E2C2BC2BE22， m44m35m218m44m3m26m18，,即m2m0， 解得m10(不合题意，舍去)，m21， E2的坐标为(1，4)， 综上所述，存在点E使BCE是以BC为直角边的直角三角形，点E坐标为E1(2，5)或E2(1，4)；,(5)在抛物线对称轴上是否存在点F，使BCF是直角三角形？若存在，求出点F坐标；若不存在，说明理由,【思维教练】由抛物线解析式求出对称轴，设出点F坐标，表示出BCF三边BC、BF、CF的长，要使BCF为直角三角形，则
5、三边满足勾股定理，需分别讨论BCF、BFC、 CBF为直角时，满足的边之间的关系，再求出 点F坐标,解：存在点F，使BCF为直角三角形， 抛物线yx22x3的对称轴为直线x 1， 设F点坐标为(1，f)， BF2(x BxF)2yF24f2，CFxF2(y FyC)21(3f)2f26f10， 且BC2OB2OC2323218，,如解图，当BFC90时，以BC为直径的圆与对称轴交于点F3，F4，则BF3CBF4C90， BF2CF2BC2，4f2(f26f10)18， 即f23f20，解得f1 ，f2 ， F3(1， )，F4(1， )， 综上所述，存在点F，使BCF为直角三角形，点F的坐标为F1(1，2)或F2(1，4)或F3(1， )或F4(1， ),
