1、第十编 计数原理,10.1 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理,1.分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N= 种不同的方法.,m1+m2+mn,基础知识 自主学习,2.分步乘法计数原理完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N= 种不同的方法.,m1m2mn,3.分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及 的不同方法的种数.它们的区别在于：分类加法计数原理与
2、有关，各种方法 ，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与 有关，各个步骤，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.,完成一件事情,分类,相互,独立,分步,相互依,存,基础自测 1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为 （ ）A.6 B.5 C.3 D.2解析 “完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种选法和2种选法，所以共有3+2=5种不同的选法.,B,2.设集合A=1，2，3，4，m，nA，则方程 +=1表示焦点位于x轴上的椭圆有 （ ）A.6个 B.8个 C.12个 D.16个解析 因为椭圆的焦点在x轴
3、上，所以当m=4时，n=1,2,3；当m=3时，n=1,2；当m=2时，n=1,即所求的椭圆共有3+2+1=6个，故选A.,A,3.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数 （ ）A.7 B.64 C.12 D.81解析 由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以，有43=12种选法，故选C.,C,4.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师、男同学、
4、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？,16,39,120,题型一 分类加法计数原理 【例1】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？采用列举分类，先确定个位数字，再考虑十位数字的所有可能.然后用分类加法计数原理.解 方法一 一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能.一个两位数的个位数字可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.把这样的两位数分成10类.,思维启迪,题型分类 深度剖析,（1）当个位数字为0时，十位数字可以是1，2，3，4， 5，6，7，8，9，有9个满足条件的两位数； （2）当个位数字为1时，
5、十位数字可以是2，3，4，5， 6，7，8，9，有8个满足条件的两位数； （3）当个位数字为2时，十位数字可以是3，4，5，6， 7，8，9，有7个满足条件的两位数； 以此类推，当个位数字分别是3，4，5，6，7，8，9 时，满足条件的两位数分别有6，5，4，3，2，1，0个. 由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为 9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45个.,方法二 考虑有0与无0两类 有0有9个 无0则有,所以共9+36=45个,题型二 分步乘法计数原理 【例2】已知集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P(a,b)表示平面上的点(a,bM),问:(1)P可表示平面上多少个不同
6、的点?(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?完成“确定点P”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分步乘法计数原理.,思维启迪,解 （1）确定平面上的点P(a,b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法. 根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是 66=36.,（2）确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法. 由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是 32=6. （3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b. 因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取 法，
7、 即在直线y=x上的点有6个. 由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.,利用分步乘法计数原理解决问题：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先 后顺序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 知能迁移2 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？,探究提高,20,49,题型三 两个计数原理的综合应用 【例3】（12分）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数.先根据条件把“比
8、2 000大的四位偶数”分类选取千位上的数字选取百位上的数字选取十位上的数字解 完成这件事有3类方法：,第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有443=48个； 4分,第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉
9、已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有343=36个； 8分第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类. 10分对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2 000大的四位偶数有443+343+343=120个. 12分,在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求.另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定.解题时经常是
10、两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步.,探究提高,知能迁移3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论.由题设，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有543=60种染色方法.,当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3， 若C染2,则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则 D可染3或5，有
11、2种染法；若C染5,则D可染3或4，有 2种染法.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种 染法，故不同的染色方法有607=420种. 方法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色. 第一步，S点染色，有5种方法； 第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法； 第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3 种方法；,第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543（1
12、3+22）=420种.,方法三 按所用颜色种数分类. 第一类，5种颜色全用，共有 种不同的方法； 第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色 （A与C，或B与D），共有2 种不同的方法； 第三类，只用3种颜色，则A与C、B与D必定同色， 共有 种不同的方法. 由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为=420种.,方法与技巧 1.分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事. 2.混合
13、问题一般是先分类再分步. 3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏. 4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.,思想方法 感悟提高,失误与防范 应用两种原理解题： （1）分清要完成的事情是什么？ （2）分清完成该事情是分类完成还是分步完成？ “类”间互相独立，“步”间互相联系； （3）有无特殊条件的限制； （4）检验是否有重漏.,一、选择题 1.从集合1,2,3,10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 （ ）A.3 B.4 C.6 D.8解析 当公比为2时，等比数列可为1、2、4，2、4、8.当公比为3时，等比数列可为1、3、9.当
14、公比为 时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1，8、4、2，9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个.,D,定时检测,2.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L型（每次旋转90仍为L型图案），那么在由45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是 （ ）A.16 B.32 C.48 D.64解析 每四个小方格（22型）中有“L”型图案4个，共有22型小方格12个，所以共有“L”型图案412=48个.,C,3.（2008全国文，12）将1，2，3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字,右面是一种填法，则不同的填写方法共有( )A.6种 B.
15、12种C.24种 D.48种解析 由于33方格中,每行、每列均没有重复数字，因此可从中间斜对角线填起.如图中的，当全为1时，有2种（即第一行第二列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其他行的数字便可确定），当全为2或3时，分别有2种，共有6种；当分别为1，2，3时,也共有6种.共12种.,B,4.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有（ ）A.180种 B.120种C.96种 D.60种解析 按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选；第二步B区域有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜
16、色可选；第四步由于D区域可以重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用.由分步乘法计数原理，共有5433=180（种）涂色方法.,A,5.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有 （ ）A.8种 B.9种 C.10种 D.11种解析 方法一 设四位监考教师分别为A、B、C、D，所教班分别为a、b、c、d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c、d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3+3+3=9种.,B,方法二 班级按a、b、c、d的顺序依次排列，为避免重复或遗漏现象，教师的监考
17、顺序可用“树形图”表示如下：共有9种不同的监考方法.,二、填空题 6.（2008浙江，理16文17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）.解析 可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有 种排法；第二步：再将4、6插空排列，共有2 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有 种排法.由分步计数原理得共有 2 =40个.,40,7.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1 458），若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为 .解析 渐升数由小到大排列
18、，形如的渐升数共有：6+5+4+3+2+1=21（个），如123，个位可从4，5，6，7，8，9六个数字选一个，有6种等；形如,的渐升数共有5个；形如的渐升数共有4个，故此时共有21+5+4=30个，因此 从小到大的渐升数的第30个必为1 359，所以应填 1 359. 答案 1 359,8.在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有 种.解析 分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1、3、5、7四条跑道可安排，所以安排方式有432=24种.第二步：
19、安排另外5人，可在2、4、6、8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有54321=120种.安排这8人的方式有24120=2 880种.,2 880,三、解答题 9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解 （1）共有3333=81种报名方法.,（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有444=43=64种可能的情况.,10.由数字1，2，3，4.（1）可组成多少个三位数；（2）可组成多少个没有重复数字的三位数；（3）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百 位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字.解 （1）百位数共有4种排法；十位数共有4种排 法；个位数共有4种排法，根据分步乘法计数原 理共可组成43=64个三位数.（2）百位上共有4种排法；十位上共有3种排法； 个位上共有2种排法，由分步乘法计数原理知共 可排成没有重复数字的三位数432=24个.（3）排出的三位数分别是432，431，421,321共4个.,返回,
