1、第3讲 分类讨论、转化与化归思想,数学思想解读 1.分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.2.转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.,即2q2q10，,探究提高 1.指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分01两种情况讨论.
2、2.利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q1和q1两种情况进行讨论，这是由等比数列的前n项和公式决定的.,解析 (1)当n1时，a1S12a12，解得a12. 因为Sn2an2，当n2时，Sn12an12， 两式相减得，an2an2an1，即an2an1， 则数列an为首项为2，公比为2的等比数列， 则S5S4a52532.,(2)f(1)e01，即f(1)1. 由f(1)f(a)2，得f(a)1. 当a0时，f(a)1ea1，所以a1. 当1a0时，f(a)sin(a2)1，,(2)不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0. 若该曲线为椭圆，则有|
3、PF1|PF2|6t2a，,若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，,探究提高 1.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论. 2.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.,解析 若PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，,若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，所以|PF1|2(6|PF1|)220，,应用3 由变量或参数引起的分类讨论 【例3】 已知f(x)xaex(aR，e为自然对数的底数).,(1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)e2x对
4、xR恒成立，求实数a的取值范围. 解 (1)f(x)1aex， 当a0时，f(x)0，函数f(x)是(，)上的单调递增函数； 当a0时，由f(x)0得xln a， 若x(，ln a)，则f(x)0；当x(ln a，)，则f(x)0. 所以函数f(x)在(，ln a)上的单调递增，在(ln a，)上的单调递减.,当x0，g(x)0， g(x)在(，0)上单调递增. 当x0时，1e2x0，g(x)0， g(x)在(0，)上单调递减. 所以g(x)maxg(0)1，所以a1. 故a的取值范围是1，).,探究提高 1.(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等
5、. (2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论. 2.分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”.,【训练3】 已知函数f(x)4x33tx26t2xt1，xR，其中tR.当t0时，求f(x)的单调区间.,解 f(x)12x26tx6t2.,因为t0，所以分两种情况讨论：,(2)由题意，不妨设b(2，0)，a(cos ，sin )， 则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin ).,探究提高 1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到
6、成批处理问题的效果. 2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.,解析 (1)取特殊数列an，其中ann(nN*). 显然a1a88a4a520.,应用2 函数、方程、不等式之间的转化 【例5】 已知函数f(x)3e|x|.若存在实数t1，)，使得对任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt)3ex，试求m的最大值.,解 当t1，)且x1，m时，xt0， f(xt)3exextext1ln xx. 原命题等价转化为：存在实数t1，)，使得不等式t1ln xx对任意x1，m恒成立.,函数h(x)在1，)上为减函数，
7、又x1，m，h(x)minh(m)1ln mm.,要使得对任意x1，m，t值恒存在， 只需1ln mm1.,满足条件的最大整数m的值为3.,探究提高 1.函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助. 2.解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.,解析 设点P(x，y)，且A(12，0)，B(0，6).,又x2y250， 2xy50，则点P在直线2xy50上方的圆弧上(含交点)， 即点P在 上，,解析 (1)设yf(t)(log2x1)t(log2x)22
8、log2x1， 则f(t)是一次函数，当t2，2时，f(t)0恒成立，,(2)g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数， 则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.,则m41，即m5；,探究提高 1.第(1)题是把关于x的函数转化为在0，4内关于t的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数. 2.第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则.,【训练6】 已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数.对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_.,解析 由题意，知g(x)3x2ax3a5， 令(a)(3x)a3x25，1a1. 对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，,
