1、2015 年北京大学金秋营数学试题1、设ABC 的垂心为 H，中点三角形的内切圆为 T，圆心为 S。直线 lAB，mAC，且都与T 相切（AB,l； AC,m 分别在 S 同侧），l 与 m 交于 T。射线 AT 上一点 N 满足 AN=2AT，Q是优弧（BAC）的中点，点 R 让四边形 AHRQ 成为平行四边形。证明： HRRN。2、给定整数 k3. 证明：方程 mn+nr+rm=k(m+n+r)至少有 3k+3 +1 组整数解43k（m,n,r）. 3、给定正整数 k.A,B,C 三个人玩一个游戏（ A 一边,B 和 C 一边）：A 先从集合1，2，n中取 k 个数交给 B，B 从这 k
2、个数中选择 k-1 个有序地给 C，若 C 能够确定 B 没给 C 的数是什么，则 B,C 赢了，求最大的正整数 n，使 B,C 有必胜策略。4、确定全部 fZx(deg f2),使存在 gZx,满足 x3-1|f(x)g(x)-1. 6、平面上是否存在某个有限点集 A 和某个有限直线集 B，满足 A 中的每个点恰好在 B 中三条直线上，且 B 中每条直线恰好经过 A 中的三个点。8、设 kZ+, S=(m+ ,n)|m,nZ,T=(m+ ,n)|m+ ,n)|m,nZ.求所有正整数 k, 使得存在1k2ka,b,c,dR 及映射F:R2R 2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),满足 F(S)=T. 【部分试题参考解答】第 1 题参考解答第 2 题参考解答第 5 题参考解答
