1、第二课时 分段函数,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入一 某人去上班,由于担心迟到,所以一开始就跑步前进,等跑累了再走完余下的路程.可以明显地看出,这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数,想一想,用怎样的解析式表示这一函数关系呢?为解决这一问题,本节我们学习分段函数.,导入二 在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如:国内跨省市之间的邮寄信函,每封信函的重量和对应邮资如下表:,想一想 邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?,(据函数定义知M是m的函数,其解析式为M= ),知识探究,分段函数 如果函数y=f(x),xA,根据自变量
2、x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数. 探究:怎样求分段函数的定义域、值域?,答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.,自我检测,1.(分段函数求值)已知f(x)= (xN*),则f(3)等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5,A,解析:f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.,2.(分段函数的定义域)已知f(x)= 则f(x)的定义域为( ) (A)R (B)(-,1 (C)(-,2) (D)(1,+),C,解析:因为f(-1)=(-1)2+1=2,所以ff(-1)=f(2)=22+2
3、-2=4. 答案:4,3.(分段函数求值)设函数f(x)= 则ff(-1)的值为 .,答案:-2或3,4.(分段函数求参数的值)已知f(x)= 且f(a)=4,则a= .,题型一,分段函数求值,课堂探究素养提升,解:(2)当a-2时,a+1=3,即a=2-2,不合题意,舍去. 当-2a2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3. 因为1(-2,2),-3(-2,2),所以a=1符合题意. 当a2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.,(2)若f(a)=3,求实数a的值;,解:(3)因为m2,所以f(
4、m)=2m-1, 即2m-13m-5,解得m4, 又m2,所以m的取值范围为2,4).,(3)若f(m)3m-5(m2),求实数m的取值范围.,变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为ff(a)=3,求a.,变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)3m-5,求m的取值范围.,方法技巧 (1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段,代入该段解析式求解即可. (2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍. (3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集. (4)求解形如f
5、f(a)的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求ff(a).,题型二,分段函数的解析式,【例2】 (2018成都高一检测)成都市出租车的现行计价标准是:路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取,超过 2 km 后的路程按1.9元/km收取,但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9(1+50%)=2.85元/km). (1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(0x60,单位:km)的分段函数;,(2)某乘客的行程为16 km,他准备先乘一辆出租车行驶8 km后,再换乘另一辆出租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全
6、部行程更省钱? (现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑),解:(2)只乘一辆车的车费为f(16)=2.8516-5.3=40.3(元); 换乘2辆车的车费为2f(8)=2(4.2+1.98)=38.8(元). 因为40.338.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.,方法技巧 分段函数模型的一般形式是:对于不同的自变量范围对应不同的函数解析式,求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理,日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.,即时训练2-1:小刘周末自驾游,早上8点从家出发,驾车3小时到达景区停车场,期间由于交通等
7、原因,小刘的车所走的路程s(单位:km)与离家的时间t(单位:h)的函数关系式为s(t)=-5t(t-13),由于景区内不能驾车,小刘把车停在景区停车场,在景区玩到16点,小刘开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回. (1)求这天小刘的车所走路程s(单位:km)与离家时间t(单位:h)的函数解析式;,(2)在距离小刘家60 km处有一加油站,求这天小刘的车途经加油站的时间.,【备用例1】(2017衡阳一中高一期中)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,
8、首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:这种消费品的进件为每件14元;该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;每月需要各种开支2 000元.,(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;,(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?,解:(2)设可在n年内脱贫, 依题意有12n450-50 000-58 0000, 解得n20, 即最早可望在20年后脱贫.,题型三,分段函数的图象,【例3】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域:(1)y=,解:(1)函数y= 的图象如图所示
9、,观察图象,得函数的值域为(1,+).,(2)y=|x+1|+|x-3|.,解:(2)用零点分段法将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数 y= 它的图象如图所示.观察图象,得函数的值域为4,+).,方法技巧 (1)画含有绝对值的函数的图象的方法:对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象. (2)画分段函数图象的方法:作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.,即时训练3-1:已知f(x)= (1
10、)作出f(x)的图象;,解:(1)利用描点法,作出f(x)的图象,如图所示.,(2)求f(x)的定义域和值域.,解:(2)由条件知,函数f(x)的定义域为R. 由图象知,当-1x1时,f(x)=x2的值域为0,1;当x1或x-1时,f(x)=1.所以f(x)的值域为0,1.,【备用例2】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.,解:(1)当x1时,设f(x)=k1x+b1, 因为图象过点(0,2),(1,1),所以 所以 所以f(x)=-x+2.,(2)当1x3时,设f(x)=a(x-2)2+2(a0). 因为图象过点(1,1), 所以a=-1, 所以f(x)=-x2+4x-2.,谢谢观赏！,
