1、1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,【情境导学】 导入一 初中是用运动变化的观点对函数进行定义的,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(xR)是不是函数,如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认识,就很有必要. 导入二 2017年游泳世锦赛在西班牙布达佩斯举行,中国队获得30枚奖牌,列奖牌榜第二.让每个中国人都为之自豪.奖牌总数排名与奖牌数如下表所示:,想一想1:表中奖牌总数排名与奖
2、牌数这两个变量之间存在什么关系? (每一个奖牌总数排名都唯一对应着一个确定的奖牌数,即奖牌数是奖牌总数排名的函数) 想一想2:奖牌总数排名是奖牌数的函数吗? (不是,由函数定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要检验: 定义域和对应关系是否给出; 根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值y与之对应),函数的概念 设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的 ,使对于集合A中的 数x,在集合B中都有 确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的
3、值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集. 探究:函数的概念中,对集合A,B有怎样要求?函数的值域是集合B吗? 答案:集合A,B是非空数集,函数的值域是集合B的子集.,对应关系f,知识探究,任意一个,唯一,f(x)|xA,【拓展延伸】 函数的定义域 函数的定义域是自变量x的取值范围,有时可以省略,如果未加特殊说明,那么函数的定义域就是指能使函数式有意义的所有实数x构成的集合.在实际问题中,还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许范围. 求函数定义域的一般原则: (1)如果f(x)是整式,那么其定义域是实数集R; (2)如果f(x)是分式,那么其定义域是使分
4、母不为0的实数集合; (3)如果f(x)是二次根式(偶次根式),那么其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;,(4)如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的,那么其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; (5)f(x)=x0的定义域是xR|x0. 注意:求函数的定义域除上述所列举的情况之外,还应注意:在实际问题中,除考虑解析式本身有意义外,还应使实际问题有意义.,1.(函数概念)下列集合A到集合B的对应f是函数的是( ) (A)A=-1,0,1,B=0,1,f:A中的数平方 (B)A=0,1,B=-1,0,1,f:A中的数开方 (C)A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数 (D)A=R,
5、B=正实数,f:A中的数取绝对值,A,自我检测,2.(函数判断)下列表示的是y关于x的函数的是( ) (A)y=x2 (B)y2=x (C)|y|=x (D)|y|=|x|,A,3.(定义域)函数y= 的定义域是( ) (A)x|x1 (D)x|x1,D,4.(函数判断)下列四个图象中,是函数图象的是( ) (A) (B) (C) (D),B,答案:1,5.(函数的概念)已知函数y=f(x)的定义域为R,则直线x=m与函数y=f(x)的图象的交点个数为 .,题型一,函数概念的理解,【例1】 下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( ) A=x|xZ,B=y|yZ,对应关系f
6、:xy= ; A=x|x0,xR,B=y|yR,对应关系f:xy2=3x; A=x|xR,B=y|yR,对应关系f:xy:x2+y2=25; A=R,B=R,对应关系f:xy=x2; A=(x,y)|xR,yR,B=R,对应关系f:(x,y)s=x+y; A=x|-1x1,xR,B=0,对应关系f:xy=0. (A) (B) (C) (D),课堂探究素养提升,解析:在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能确定y是x的函数.在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不能确定y是x的函数.在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应,所以不能
7、确定y是x的函数.A不是数集,所以不能确定y是x的函数.显然满足函数的特征,y是x的函数.故选D.,判断某一对应关系是否为函数的步骤: (1)A,B为非空数集. (2)A中任一元素在B中有元素与之对应. (3)B中与A中元素对应的元素唯一. (4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.,方法技巧,即时训练1-1:(2017定兴县校级高一月考)已知集合M=-1,1,2,4,N= 1,2,4,给出下列四个对应关系: y=x2,y=x+1,y=x-1,y=|x|,其中能构成从M到N的函数是( ) (A) (B) (C) (D),解析:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应
8、关系在N中都有唯一的数与之对应, 中,当x=4时,y=42=16N,故不能构成函数; 中,当x=-1时,y=-1+1=0N,故不能构成函数; 中,当x=-1时,y=-1-1=-2N,故不能构成函数; 中,当x=1时,y=|x|=1N,当x=2时,y=|x|=2N,当x=4时,y=|x|=4N,故能构成函数.故选D.,【备用例1】 下列对应: M=R,N=N*,对应关系f:“对集合M中的元素取绝对值与N中的元素对应”; M=1,-1,2,-2,N=1,4,对应关系f:xy=x2,xM,yN; M=三角形,N=x|x0,对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素对应.” 是集合M到集合N上的函数
9、的有( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)0个,解析:M中有的元素在N中无对应元素,如M中的元素0;M中的元素不是实数,即M不是数集;只有满足函数的定义,故选A.,题型二,函数图象的特征,【例2】 设M=x|0x2,N=y|0y2,给出下列四个图象,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是( ),解析:A中,当1x2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性,所以不能构成函数关系;B中,同时满足任意性与唯一性.能构成函数关系;C中,当x=0或x=2时,对应元素y=3N,不满足任意性,不能构成函数关系;D中x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性.故选B.,方法技巧 判定图象是否
10、是函数的图象的方法: (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内移动直线l; (3)若l与图象有一个交点,则是函数,若有两个或两个以上的交点,则不是函数.,即时训练2-1:若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N= y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是( ),解析:对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除; 对B满足函数定义,故符合; 对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函数的定义,从而可以否定; 对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.,【备用例2】 设集合M=x|0x2,N=y|0y2,那么如图所示的4个图形中
11、,能表示集合M到集合N的函数关系的有( ) (A) (B) (C) (D),解析:对于,由于M中元素2在N中无元素与之对应,因而不是函数关系;对于,M中元素(除0外)在N中有两个元素与之对应,因而不是函数关系,而对于,在集合M中任取一个元素,在集合N中都有唯一的元素与之对应,故是函数关系.故选C.,题型三,求函数的定义域,误区警示 已知函数解析式,求定义域需注意以下三个方面:一是不能对函数解析式化简;否则可能造成定义域变化;二是要使函数解析式中的每一部分都有意义;三是定义域要用集合形式表示.,【备用例3】 (1)已知函数f(x)的定义域是x|-1x2,则y=f(x)+f(-x)的定义域是( )
12、 (A)x|-1x1 (B)x|-2x2 (C)x|-1x2 (D)x|-2x1,解析:(1)因为函数f(x)的定义域是x|-1x2, 所以由-1-x2,解得-2x1. 取交集得,-1x1. 所以y=f(x)+f(-x)的定义域是x|-1x1. 故选A.,(2)已知函数y=f(2x+1)定义域是x|-1x0,则y=f(x+1)的定义域是( ) (A)x|-1x1 (B)x|0x2 (C)x|-2x0 (D)x|-2x2,解析:(2)由函数f(2x+1)的定义域是x|-1x0, 得-1x0, 所以-12x+11, 即函数f(x)的定义域是x|-1x1, 再由-1x+11,得-2x0. 所以函数y=f(x+1)的定义域是x|-2x0. 故选C.,题型四,易错辨析不等价变形致误,纠错:约分扩大了自变量的取值范围.,正解:要使函数有意义,必须使x2+x-60, 即(x-2)(x+3)0,所以x-20且x+30, 即x2且x-3,故所求函数的定义域为x|x2,且x-3.,解:要使函数有意义,需使x2+7x+100, 解得x-2且x-5, 故所求函数的定义域为x|x-2且x-5.,谢谢观赏！,
