1、3.5.2 简单的线性规划,在生产与营销活动中，我们常常需要考虑：怎样利用现有的资源（人力、物力、资金），取得最大的收益。或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务。我们把这一类问题称为“最优化”问题。,不等式的知识是解决“最优化”问题的得力工具。,我们将借助二元一次不等式（组）的几何表示，学习“最优化”问题中的简单“线性规划”问题。,问题：某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料。生产甲产品1工时需要A原料3kg，B原料1kg；生产乙产品1工时需要A原料2kg，B原料2kg。现有A原料1200kg，B原料800kg。如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的
2、平均利润是40元，问同时生产两种产品，各多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？,解：依题意，可列表如下：,设计划生产甲种产品x工时，计划生产乙种产品y工时，,则获得的利润总额为f=30x+40y。 ,其中x, y满足下列条件 ：,于是问题转化为，在x，y满足条件的情况下，求式子30x+40y的最大值。,画出不等式组表示的平面区域OABC。,问题又转化为，在不等式组表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x+40y时，使该式 取得最大值。,令30x+40y=0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l0，易知：在区域OABC内有 30x+40y0。,考察这个区域内任意一点P(x, y)
3、到l0距离,于是,这就是说，点P(x，y)到直线l0的距离d越大，式子30x+40y的值也越大。因此问题转化为：在不等式组表示的平面区域内找一点，使它到直线l0的距离最大。,为在区域OABC内精确地找到这一点，我们平移直线l0的位置到l，使l通过OABC内的某点，,且OABC内的其它各点都在l的包含直线l0的同一侧，很容易证明该点到l0的距离最大，用此法区域OABC内的点B为所求。,解方程组,得点B的坐标为(200，300)。,将x=200，y=300代入式子: 30x+40y，得 Fmax=30200+40300=18000.,答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利
4、润18000元，此时利润总额最大。,在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函数f=30x+40y叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足的不等式组称为约束条件。,如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件。,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题。使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解。,一般地，满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。,1.变量x, y满足: 求z=x2+y2的最值;,2.变量x, y满足: 求使z=x+2y的最值;,
5、4.变量x, y满足: 求使z=3x+2y的值最小是x,y的值;,3.变量x, y满足: 求使z=4x3y的最值;,例1下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素A、B的含量及单价：,营养师想购买这三种食品共10千克，使它们所含的维生素A不少于4400单位，维生素B不少于4800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？,解：设购买甲种食物x千克，乙种食物y千克，则购买丙种食物(10xy)千克，,又设总支出为z元，由题意得 z=7x+6y+5(10xy)， 化简得 z=2x+y+50，,x，y应满足的约束条件,化简得,根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示。,画直
6、线l0：2x+y=0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域中的某点，并且可行域内的其它各点都在l的不包含直线l0的另外一侧。,该点到直线l0的距离最小，则这一点的坐标使目标函数取最小值。,容易看出，点M符合上述条件，点M是直线y=2与直线2xy=4的交点。,解方程组,得点M(3，2)。,因此，当x=3，y=2时，z取得最小值 z=23+2+50=58.,此时，10xy=5.,答：购买甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克，付出的金额最低为58元。,解线性规划应用问题时，先转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成： （1）作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一
7、条直线l(一般为过原点的那条直线)； （2）平移将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置; （3）求值解有关方程组求出对应点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值。,例2某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够所托运的货物的总体积不能超过24m3，总重量不能低于650千克。甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：,问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？,解：设托运甲种货物x袋，乙种货物y袋，获得利润z百元。,则 z=20x+10y。,依题意可得关于x，y的约束条件,根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴
8、影部分所示。,画直线l0：20x+10y=0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域中的某点，并且可行域内的其它各点都在l的包含直线l0的同一侧。,该点到直线l0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值。,容易看出，点M符合上述条件，点M是直线2x+5y=13与直线5x+4y=24的交点。,解方程组,得点M(4，1)。,因此当x=4，y=1时，z取得最大值，此时zmax=204+101=90.,答：在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋，可获得最大利润9000元。,练习1.两类药片有效成分如下表:,若要求至少提供12mg阿司匹林、70mg小苏打、28mg可卡因，两类药片的最小总数是多少？怎样搭配价格最低？,练习2.某工厂生产A、B两种产品，需甲、乙、丙三种原料，每生产一吨产品需消耗原料如下表:,现有甲原料200吨，乙原料360吨，丙原料300吨，若产品生产后能全部销售，试问A、B各生产多少吨时能获得最大利润？,
