1、1.3.2 奇偶性,1.了解奇函数、偶函数的定义,明确定义中“任意”两字的意义. 2.了解奇函数、偶函数的图象特征. 3.会用定义判断函数的奇偶性.,1,2,1.偶函数和奇函数,1,2,名师点拨1.奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数;由于f(-x)与f(x)有意义,则-x与x同时属于定义域,即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称. 2.函数f(x)是偶函数对定义域内任意一个x,有f(-x)-f(x)=0f(x)的图象关于y轴对称. 3.函数f(x)是奇函数对定义域内任意一个x,有f(-x)+f(x)=0f(x)的图象关于原点对称.,1,2,【做一做1-1】 若函数y=f(x
2、),x-1,a(a-1)是奇函数,则a等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.无法确定 答案:C 【做一做1-2】 下列条件可以说明函数y=f(x)是偶函数的是( ) A.在定义域内存在x,使得f(-x)=f(x) B.在定义域内存在x,使得f(-x)=-f(x) C.对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x) D.对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x) 答案:D,1,2,1,2,1,2,【做一做2-1】 函数y=x( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数 答案:A 【做一做2-2】 若函数f(x)=x2-2mx+4是偶函数,则实数m= . 答案
3、:0,理解函数的奇偶性 剖析:函数f(x)的奇偶性的定义是用f(-x)=f(x)来刻画函数f(x)的图象的特征(图象关于原点或y轴对称)的;函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的,这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲,函数的单调性是函数的局部性质,而奇偶性是函数的整体性质.只有对函数f(x)的定义域的每一个值x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x),才能说f(x)为偶函数或奇函数;定义中要求“对于函数f(x)的定义域内任意一个自变量x,都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”成立,其前提为f(-x)和f(x)都有意义,所以-x也属于f(x)的定义域,即自变量x的取
4、值要保持关于原点的对称性,于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集,这是函数存在奇偶性的前提.例如将函数f(x)=x2+1,f(x)=x的定义域分别限定为(0,+)与(-3,3,那么它们都为非奇非偶函数;函数的奇偶性定义中的等式f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)是其定义域上的恒等式,而不是对部分x成立.,尽管当|x|1时,都有f(-x)=f(x),但当|x|1时,f(-x)f(x),所以它不是偶函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思判断函数的奇偶性的方法: (1)定义法:,题型一,
5、题型二,题型三,题型四,题型五,(2)图象法:如果函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均对称,那么这个函数既是奇函数又是偶函数;如果函数的图象关于原点和y轴均不对称,那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数. 用以上方法讨论函数的奇偶性时,要遵循定义域优先的原则.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2+1,x-2,2);(2)f(x)=|x-1|+|x+1|;(3)f(x)=0,xR. 解:(1)f(x)的定义域-2,2)不关于原点对称, f(x)
6、既不是奇函数又不是偶函数. (2)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 又f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x), f(x)为偶函数. (3)f(x)=0,xR, f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x), 故f(x)既是奇函数又是偶函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析:先证明f(x)是偶函数,再依据其图象关于y轴对称作图.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训
7、练2】 已知奇函数f(x)的定义域为-5,5,其y轴右侧图象如图所示,写出使f(x)0的x的取值集合. 解:由于f(x)为奇函数,y轴右侧图象已知,结合奇函数图象关于原点对称,作出y轴左侧图象,如图所示,由图象知,当x(0,2)时,f(x)0;当x(-5,-2)时,f(x)0,所以使f(x)0的x的取值集合为(-5,-2)(0,2).,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例3】 已知函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= . 解析:因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4),即x2+(4-a)x-4a=x2-(4-
8、a)x-4a,故4-a=-(4-a),解得a=4. 答案:4 反思利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略: (1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为a,b,根据定义域关于原点对称,可以利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数可解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例4】 若f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,-x0, f(x)=-f(-x)=x(1+x). 当x=0时,f(-0)=-f(0), 即f(0)=-f(0),f(0)=0.,题型一,题型二,题型三,题型
9、四,题型五,反思1.若f(x)是奇函数,且f(0)有意义,则f(0)=0; 2.已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式,求该函数在与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时,首先设出所求区间上的自变量,利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解析式,然后再次利用函数的奇偶性求解即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练4】 已知f(x)是R上的偶函数,当x(0,+)时,f(x)=x2+x-1,求当x(-,0)时,f(x)的解析式. 解:设x0. f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1. 函数f(x)是偶函数,f(-x)=f(x). 当x(-,0)时,f(x)=x2-x-1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,错解:当x0,f(-x)=(-x)3,f(x)=x2,于是f(-x)f(x),故函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解:函数f(x)的定义域是(-,0)0,+)=R. 当x0时,有f(x)=x(x-1),-x0, f(-x)=-x(-x-1) =x(x+1)=-f(x). 当x=0时,f(0)=0,f(-0)=0=-f(0). 综上所得,对xR,总有f(-x)=-f(x)成立. 故f(x)是奇函数.,
