1、第2课时 补集与集合的综合运算,一,二,一、全集 【问题思考】 1.全集一定包含任何元素吗? 提示:不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集. 2.填空. 在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是 某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示.,一,二,二、补集 【问题思考】 1.已知U=a,b,c,d,e,f,A=b,f,如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么? 提示:剩余元素构成的集合为a,c,d,e. 2.上述问题中所求得的集合应该怎样命名? 提示:集合a,c,d,e可称为子集A在全
2、集U的补集.符号表示为: UA=a,c,d,e.,一,二,3.填写下表:,一,二,4.做一做:若U=x|x0,A=x|x3,则UA= . 答案:x|0x3 5.做一做:如图所示的阴影部分表示的集合是( )A.A(UB) B.B(UA) C.U(AB) D.U(AB) 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB). ( ) (2)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB). ( ) (3)A(RA)=R. ( ) (4)若A=,则R=. ( ) 答案:(1) (2) (3
3、) (4),探究一,探究二,探究三,思想方法,集合的补集运算 【例1】 已知全集U=R,集合A=x|-3x3,集合B=x|x1. 求:(1)UA,UB; (2)U(AB). 分析:(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求AB,再根据补集的定义写出. 解:(1)A=x|-3x3,B=x|x1. 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.UA=x|x-3或x3,UB=x|x1. (2)AB=x|-3x1,如图阴影部分所示.U(AB)=x|x1或x-3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题
4、,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错. 2.如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1求解下列各题: (1)设全集U=R,集合A=x|0x3,则UA= ; (2)设全集U=三角形,集合A=直角三角形,则UA= . 解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得UA=x|x0,或x3. (2)U=三角形,A=直角三角形, UA=锐角三角形,或钝角三角形. 答案:(1)
5、x|x0,或x3 (2)锐角三角形,或钝角三角形,探究一,探究二,探究三,思想方法,【交集、并集、补集的综合运算例2】 已知全集U=x|x4,集合A=x|-2x3,B=x|-3x3,求UA,AB,U(AB),(UA)B. 分析:可借助数轴分析求解. 解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示), 由图可知UA=x|x-2,或3x4, AB=x|-2x3, U(AB)=x|x-2,或3x4, (UA)B=x|-3x-2,或x=3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答
6、过程中注意端点的“取”与“舍”. 2.对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2集合A=x|-1x2,B=x|x1 B.x|x1 C.x|1x2 D.x|1x2 答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,补集运算中的含参数问题 【例3】 (1)设全集U=2,3,a2+2a-3,A=|a+1|,2,UA=5,则a等于 ; (2)已知集合A=x|xa,B=x|1x2,且ARB=R,则实数a的取值范围是
7、. 解析:(1)由UA=5,知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2. 当a=-4时,U=2,3,5,A=3,2,满足UA=5; 当a=2时,U=2,3,5,A=3,2,满足UA=5.所以a的值为-4或2. (2)RB=x|x1,或x2,由于ARB=R,如图所示,所以a2.答案:(1)-4或2 (2)a2,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.由集合补集求有关参数问题的思路流程:2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决.,探究一,探究二,探究三,思想方法,已知集合A=x|2a-2xa,B=x|1x2,且ARB,求实数a的取值范围. 解:易知RB=x|x1
8、,或x2. ARB, 分A=和A两种情况讨论. 若A=,此时有2a-2a, a2.,a1. 综上可知,实数a的取值范围为a|a1,或a2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,补集思想的综合应用 【典例】 已知集合A=x|0x2,B=x|axa+3. (1)若(RA)BR,求a的取值范围; (2)若ABA,求a的取值范围. 分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(1)A=x|0x2, RA=x|x2. 设(RA)B=R,如图可知:a0,且a+32,即a0,且a-1, 满足(RA)B
9、R的实数a的取值范围是a0. (2)若AB=A,则AB,又A,当ABA时,a的取值范围为集合a|-1a0的补集, 即a|a0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用. (1)运用补集思想求参数范围的方法: 否定已知条件考虑反面问题; 求解反面问题对应的参数范围; 将反面问题对应的参数范围取补集. (2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.,探究
10、一,探究二,探究三,思想方法,变式训练已知集合A=x|x3,B=x|k-1x-1k,若AB,求k的取值范围. 分析:AB时对应的k的取值范围不好直接求解,可考虑问题的反面:先求AB=时对应的k的取值范围,再取其“补集”,即可得AB时k的取值范围. 解:由已知可得B=x|kxk+1,解得-6k2. 令P=k|-6k2, 则RP=k|k2. 所以当AB时,k的取值范围是k2.,1.设U=R,A=x|x4,则UA等于( ) A.x|x4 B.x|2x4 C.x|2x4 D.x|x2,或x4 答案:C 2.设集合I=0,1,2,3,4为全集,集合A=0,1,2,3,B=2,3,4,则IAIB等于( )
11、 A.0 B.0,1 C.0,1,4 D.0,1,2,3,4 答案:C,3.有下列命题: 若AB=U,则A=B=U;若AB=,则A=B=; 若AB=U,则UAUB=;若AB=,则A=B=; 若AB=,则UAUB=U;若AB=U,则A=B=U. 其中不正确的有( ) A.0个 B.2个 C.4个 D.6个 解析:若集合A,B中有一个为U的真子集,那么ABU,所以A=B=U;若集合A,B中有一个不为空集,那么AB,所以A=B=;因为UAUB=U(AB),而AB=U,所以UAUB=U(AB)=;当集合A,B中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素,就有AB=,所以不一定有A=B=;因为UAUB=U(AB),而AB=,所以UAUB=U(AB)=U;当AB=U时,有可能A=,B=U,所以不一定有A=B=U.所以不正确的为,共2个. 答案:B,4.设全集为U,用集合A,B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分.,(1) _ (2)_ 答案:(1)U(AB)(或UAUB) (2)UAB,6.设全集为U,已知集合A=1,3,5,7,9,UA=2,4,6,8, UB=1,4,6,8,9,求集合B. 解:如图,借助Venn图, 得U=1,2,3,4,5,6,7,8,9, UB=1,4,6,8,9, B=2,3,5,7.,
