1、第二课时 平面与平面平行,1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面平行的相关定理、推论和性质. 2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能利用以上定理解决空间中的相关平行性问题.,平面与平面平行 (1)定义:如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行.平面平行于平面,记作. (2)判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行. (3)性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 结论:两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.,名师
2、点拨 1.我们可以将面面平行的判定定理和性质定理简单地概括为线面 面面. 2.两个平面平行的判定定理与性质定理的作用,关键 都集中在“平行”二字上.判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”;性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”,前者给出了判定两个平面平行的一种方法;后者给出了判定两条直线平行的一种方法.,【做一做1】 下列能得到平面平面的是( ) A.平面内有一条直线平行于平面 B.平面内有两条直线平行于平面 C.平面内有无数条直线平行于平面 D.平面内有两条相交直线平行于平面 答案：D 【做一做2】 平面平面,ABC和ABC分别在平面和平面内,若对应顶点连线共点,则这
3、两个三角形 . 答案：相似,1,2,1.证明线线平行、线面平行、面面平行的主要方法 剖析：(1)证明两条直线平行的方法. 利用空间平行线的传递性:这是判断两条直线平行的重要方法,即寻找第三条直线分别与前两条直线平行; 利用线面平行的性质:把线面平行转化为线线平行; 利用两个平面平行的性质:把面面平行转化为线线平行.,1,2,(2)证明线面平行的方法. 利用定义:证明线面无公共点; 利用线面平行的判定定理:线面平行转化为线线平行,即要证明平面外一条直线和这个平面平行,只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 利用面面平行的性质,即两平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行.
4、,1,2,(3)证明两个平面平行的方法. 用面面平行的定义:两个平面没有公共点; 用面面平行的判定定理:将面面平行转化为线面平行; 利用面面平行的判定定理的推论,即一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线. 与同一个平面平行的两个平面平行. 三种平行关系的转化还可表示如下:,1,2,2.教材中的“思考与讨论” (1)以上我们从两条相交直线确定唯一一个平面出发,讨论了两个平面平行的条件.但我们又知道两条平行直线a,b也能唯一确定一个平面,让我们平移a,b到空间任意确定的位置a,b,那么a,b确定的平面一定与a,b确定的平面平行吗? (2)如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另
5、一个平面的位置关系如何?,1,2,剖析：(1)不一定,还有可能相交,如图,aa,bb,a与b确定平面,a与b确定平面,与相交. (2)平行,因为若,则与无公共点,则内的直线a与无公共点,所以a.,题型一,题型二,题型三,题型四,对面面平行关系的理解,【例1】 判断下列给出的各种说法是否正确? (1)若a,b,且ab,则; (2)若c,c,则; (3)若a,b,且,则ab; (4)若,a,则a; (5)若a,b,且与不平行,则a与b不平行. 分析：根据面面平行的定义、判定、性质等进行分析.,题型一,题型二,题型三,题型四,解(1)不正确.当a,b,且ab时,与可能平行,也可能相交(如图).(2)
6、不正确.当c,c时,与可能平行,也可能相交(如图).(3)不正确.若a,b,且,则a与b可能平行,也可能异面. (4)正确. (5)不正确.当a,b,且与不平行时,a与b有可能平行.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 对于判断位置关系的问题,我们必须弄清概念、定理、性质、判定和结论,若对这些理解不清,则会导致判断错误或考虑不全.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 已知m,n是不重合的直线,是不重合的平面,有下列命题,其中正确的命题的个数是( ) 若m,n,则mn; 若m,m,则; 若=n,mn,则m,m. A.0 B.1 C.2 D.3 解析：不正确,n,过n作平面与相交,n
7、与其交线平行,m,m不一定与其交线平行; 不正确,设=l,ml,也可有m,且m; 不正确,有m或m的可能. 答案：A,题型一,题型二,题型三,题型四,平面与平面平行的判定,【例2】 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,求证:平面AB1D1平面BDC1.分析：由面面平行的判定定理知,只需在平面BDC1内说明直线BC1,BD均与平面AB1D1平行即可.,题型一,题型二,题型三,题型四,所以四边形ABC1D1为平行四边形. 所以BC1AD1. 又因为AD1平面AB1D1,BC1平面AB1D1, 所以BC1平面AB1D1. 同理,BD平面AB1D1. 又因为BDBC1=B, 所以平面AB1D1
8、平面BDC1. 反思 证面面平行,关键是要在一个平面内找到两条相交直线分别和另一个平面平行,而要证线面平行,还需证线线平行,注意三种平行的转化.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 在四面体ABCD中,E,F分别为AB,AC的中点,点G,H在AD上,且AG=GH=HD,则平面EFG与平面BCH的位置关系是 .,题型一,题型二,题型三,题型四,解析：这是因为:E,F分别为AB,AC的中点,必有EFBC. 因为EF平面BCH,BC平面BCH, 所以EF平面BCH. 又AG=GH,所以EGBH. 因为EG平面BCH,BH平面BCH, 所以EG平面BCH. 而EF与EG是相交直线. 故有平
9、面EFG平面BCH. 答案：平面EFG平面BCH,【例3】 如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,M为OA的中点,N为BC的中点,求证:直线MN平面OCD.分析：解题的关键是构造过MN与平面OCD平行的平面,根据题目条件中M为OA的中点,N为BC的中点,可利用三角形中位线的性质构造平面.,题型一,题型二,题型三,题型四,平面与平面平行的性质,题型一,题型二,题型三,题型四,证明取OB的中点G,连接GN,GM. 在OAB中,GM为中位线,则GMAB. ABCD,GMCD. GM平面OCD,CD平面OCD, GM平面OCD. 在OBC中,GN为中位线, 则GNOC.GN平面O
10、CD,OC平面OCD, GN平面OCD. GMGN=G, 平面GMN平面OCD. MN平面GMN,MN平面OCD, MN平面OCD.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思 根据两个平面平行来证明线面平行,这是证明线面平行的一种重要方法,其关键是发现或构造一个经过这条直线的平面,使该平面与另一个平面平行.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,如图,E,F分别为A1C1,B1C1的中点,D为棱CC1的中点,G是棱AA1上一点,且满足A1G=mAA1,若平面ABD平面GEF,试求m的值.分析：利用平面与平面平行的性质定理转化.,题型一,题型二,题型三,题
11、型四,解因为平面ABD平面GEF, 平面AA1C1C交平面ABD,平面GEF分别为AD,GE, 所以ADGE, 所以ADCEGA1. 又因为D为CC1的中点,E为A1C1的中点,题型一,题型二,题型三,题型四,平面与平面平行的判定及性质的综合应用,【例4】 已知P为ABC所在平面外一点,G1,G2, G3分别是PAB,PCB,PAC的重心. (1)求证:平面G1G2G3平面ABC; (2)求G1G2G3与ABC的面积比值. 分析：根据重心的性质易知应该连接PG1,PG2,PG3,再根据相似比可知G1G2G3所在平面与ABC所在平面平行,进而可得结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题
12、型二,题型三,题型四,反思 本题的解决离不开平面平行的判定,同时要求对平面几何的基本性质,初高中的知识点衔接要熟悉,并清楚其在解题中的作用.在立体几何中,适当应用平面几何知识可以简化运算及逻辑思维量,这也体现了立体几何问题利用平面几何考虑的化归思想.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练4】 如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,能否确定截面的形状?如果能,求出截面的面积;如果不能,请说明理由.,题型一,题型二,题型三,题型四,解如图,分别取AB,C1D1的中点M,N, 连接A1M,MC,CN,A1N. A1NPC1
13、MC,A1N=PC1=MC, 四边形A1MCN是平行四边形. 又A1NPC1,A1MBP,A1NA1M=A1,C1PPB=P, 平面A1MCN平面PBC1. 过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形. 连接MN,作A1HMN于点H.,1,2,3,4,5,1下列说法中,错误的是( ) A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.一个平面与两个平行平面相交,交线平行 D.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交 解析：平行于同一直线的两个平面有可能相交,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD与平面A1ABB1都与C1D1平行,但平面ABCD
14、与平面A1ABB1相交. 答案：A,1,2,3,4,5,2若平面平面,直线a平面,点B,则在平面内过B的所有直线中,( ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一与a平行的直线 解析：当a,且Ba时,过B点的直线不可能与a平行. 答案：A,1,2,3,4,5,3下列说法正确的个数为( ) 两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等;两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行. A.1 B.2 C.3 D.0,解析：如图,若,AC,BD为夹在平面与之 间的线段,且AC=BD,
15、但AC与BD不平行,故 不正确;若,a,a,则a与不平行,故 不正确.正确,故选A.,答案：A,1,2,3,4,5,4若,a,b,下列几种说法中正确的有 .(只填序号) ab; a与内无数条直线平行; a与内的唯一一条直线平行; a. 解析：a与b可能平行,也可能异面,故不正确;a可与内无数条直线平行,故不正确. 答案：,1,2,3,4,5,5在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是AB,CC1,AA1,C1D1的中点.求证:平面CEM平面BFN.,证明如图,取A1B1的中点G,连接C1G,GE,A1N,A1B,CD1. 由题意,得NFCD1, 因为CD1A1B, 所以NFA1B, 所以A1,N,F,B共面. 又因为M,E分别为AA1,AB的中点, 所以MEA1B.所以MENF. 又因为GECC1,且GE=CC1, 所以C1GEC.,1,2,3,4,5,又因为N,G分别为C1D1,A1B1的中点,所以A1NEC. 因为MEEC=E,NFA1N=N, 所以平面A1BFN平面CEM, 即平面CEM平面BFN.,
