1、1,线 性 代 数 电子教案之五,2,主要内容,第五讲 矩阵的初等变换与初等矩阵,矩阵的初等变换的概念；,阶梯形矩阵的概念；,矩阵等价的概念；,三种初等矩阵，初等矩阵与初等变换的联系.,基本要求,熟悉掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，知道矩阵等价的概念；,知道初等矩阵，了解初等矩阵与初等变换的联系，掌握用初等变换求可逆矩阵的逆阵的方法.,3,一、概念的引入,第一节 矩阵的初等变换,引例 用消元法求解线性方程组,解,析：为了引入概念，在消元的过程中，把方程组看作一个整体，不是着眼于某一个方程的变形，而是着眼于整个方程组变成另一个方程组.,3,4,2,为消去 做准备,5,3,至此消元完毕，为
2、了求出方程组的解，再只需用 “回代”的方法即可：,6,于是解得,其中 可任意取值.,若令 ，则方程组的解为,7,说明,求解线性方程组可分为消元与回代两过程。消元过程的实质，就是通过一系列方程组的同解变换找到一个形式上较简单的方程组，然后进行回代，这里方程组的同解变换是指下列三种变换：,对调两个方程；,以不为零的数乘某一个方程；,把一个方程的倍数加到另一个方程上.,从原方程组 同解变换到方程组 的过程可见，除去代表未知数的文字外，矩阵与方程组是一一对应的.换言之，方程组有没有解，有什么样解完全由各方程组的系数和常数项连同它们相互位置所成数表，即增广矩阵所决定.而且，对方程组作同解变换，相当于对它
3、的增广矩阵作相应的变换.,Go,8,由此可知，方程组的三种同解变换很自然地要引入到矩阵上，导出矩阵矩阵的三种初等行变换.,同时，必须注意，原方程组能同解变换成什么样的最简单方程组，就是相当于增广矩阵在初等行 变换下能变成什么样的最简单矩阵（行最简形矩阵）.,就本例来说，四个未知数划分为自由未知数 和非自由未知数,9,二、初等变换定义和记号,1. 定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换,（1）对调两行；,说明,把上述的定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义.,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.,（2）以数 乘某一行中的所有元素；,（3）把某一行所有元素的 倍加到另一行对
4、应的元素上去.,10,2. 记号,对调 两行，记作,对调 两列，记作,第 行乘 ，记作,第 列乘 ，记作,第 行的 倍加到第 行上，记作,第 列的 倍加到第 列上，记作,11,3. 初等变换的逆变换,变换 的逆变换为,变换 的逆变换为,变换 的逆变换为,12,三、矩阵等价,1. 定义,2. 矩阵之间的等价关系具有的性质,反身性,对称性,传递性,13,四、阶梯形矩阵,首先用矩阵的初等行变换来解方程组(1)，并 把其过程与消元法过程一一对照.,Go,2. 行阶梯形矩阵,其特点是：可画出一条阶梯 线，线的下方全为0；每个台 阶只有一行，台阶数即是非 非零行的行数；阶梯线的竖 线后面的第一个元素为非零
5、 元，称为首非零元.,行阶梯形矩阵:自上而下，每个非零行的首非零元前面的零的个数依次增加；零行在最下方.,说明,14,3. 行最简形矩阵,其特点是:是阶梯形矩阵；非 零行的第一个非零元（首非 零元）为；首非零元所在 的列的其它元素都为,结论,对于任何矩阵 ，总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.,一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.,15,4. 矩阵的标准形,其特点是: 左上角是一个单位 矩阵，其余元素全为0.,结论：对于 矩阵 ，总可经过初等变换把它化为标准形,16,例1 下列四个矩阵中，哪些是行最简形？,解,矩阵 和 是行最简形矩阵
6、.,17,例2 设 ，把 化成行最简形.,解,将 元化为1,18,将 元化为1,这已是阶梯形矩阵,再化为行最简形,19,特别注意,把矩阵化为行最简形，不可以用初等列变换.,把最后的行最简形记作 ，则有下面的结论：,可以验证得 即,说明,20,五、小结,利用初等行变换，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，是一种十分重要的运算. 由引例可知，要解线性方程组只需将增广矩阵化为行最简形.,行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的比较,21,一、初等矩阵,第二节 初等矩阵,1. 定义,由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵.,2. 三种初等矩阵,1）对调两行或对调两列,22,2）以数 乘某行或某
7、列,说明,是由 经过对调第 两行（或第 两列），得到的初等矩阵.,是以数 乘 第 行(或第 列)，得到的初等矩阵.,说明,23,3）将某行（列）的 倍加到另一行（列）上,说明,是将 的第 行的 倍加到第 行 （或是将 的第 列的 倍加到第 列），得 到的初等矩阵.,24,3.初等矩阵的逆矩阵,初等矩变换对应初等矩阵，由初等变换可逆，可 知初等矩阵可逆，并且此初等变换的逆变换也就 对应此初等矩阵的逆矩阵：,25,二、.初等矩阵与初等变换的联系,引例,说明 用 左乘矩阵 ，相当于对矩阵 施行 一次初等行变换：将 的第 2、4 两行对调.,26,说明 用 右乘矩阵 ，相当于对矩阵 施行 一次初等列变
8、换：将 的第 2、4 两列对调.,27,用初等矩阵 左乘矩阵 ，其结果相 当于将矩阵 的第 两行对调；,用初等矩阵 右乘矩阵 ，其结果相 当于将矩阵 的第 两列对调；,2.用 左乘矩阵 ，其结果相当于以数 乘矩阵的第 行；,用 右乘矩阵 ，其结 果相当于以数 乘矩阵的第 列.,3. 用 左乘矩阵 ，其结果相当于把 的第 行的 倍加到第 行上；,用 右乘矩阵阵 ，其结果相当于把 的第 列的 倍加到第 列上.,28,定理1,设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换， 相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相 应的 阶初等矩阵.,注意,以上结论都遵循“左
9、行右列”的规则.,29,三、初等矩阵的应用,1. 有关结论,定理2,方阵 可逆的充要条件是存在有限个初等 矩阵 ，使,证,析：这是一条十分重要的定理，它反映了可逆 矩阵的一个特性：可以分解为初等矩阵的乘积.,先证充分性.,设,因为初等矩阵可逆，有限个 可逆矩阵的乘积仍可逆，故 可逆.,再证必要性.,设 阶方阵 可逆，且 的标准形矩阵为 ，,30,因为 可逆， 也都可逆，所以,可逆，即有,因此在 中既没有零行又没有零列，,再注意到,是矩阵 的标准形，故必有 ，从而,说明,上述的证明显示，可逆矩阵的标准形为单位阵；其 实还可以证明可逆矩阵的行最简形也是单位阵.,31,推论1,推论2,矩阵 与 等价
10、的充分必要条件是 存在 阶可逆矩阵 及 阶可逆矩阵 ， 使,证明,证明,32,2. 初等变换法求可逆矩阵的逆阵和矩阵方程的解,问题：,当 不可逆时，在后面章节讨论；,当 可逆时,1,2,3,33,1,2,3,由于 是初等矩阵， 所以 也是初等矩阵. 因此,34,初等变换法解矩阵方程 ：,1）写分块矩阵 ；,2）用初等行变换化为行最简形；,说明,的行最简形不是 的情形，后面讨论；,当 时，上述的过程就是求可逆矩阵 的逆阵,当 时，上述的过程就是求方程组 的唯一解,35,解,析：本例涉及若干个相同系数矩阵的线性方程 组同时求解的问题.为此，要搞清楚它们与矩阵 方程的联系：,令,例3,设,求线性方程
11、组 和 的解.,则两个线性方程 组可合成一个矩阵方程,36,37,38,39,40,这已是一个行最简形矩阵,41,可见 ，,因此 可逆，且,即线性方程组 和 的解依次为,42,例4 求解矩阵方程 ，其中,解,在矩阵运算时，要注意左乘与右乘,43,44,45,46,47,可见 ，,因此 可逆，且,48,总结,这个例题是一个非常简单的矩阵方程求解问题，但与上一章计算方法不同，这里是用初等变换法，具体方法是,即解决了,这比上一章先判定 的可逆性，进而求其逆，再计算乘积 计算上要简单许多.在解类似问题时多采用此方法。,49,矩阵方程 的初等变换解法：,1. 用初等列变换,则 ，,且,2. 用初等行变换,则 ，,且,50,四、小结,初等矩阵是比较重要的一类矩阵，它与初等变换的联系是：,对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边 乘以相应的初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的初等矩阵.,求可逆矩阵的逆阵的方法：,51,P79 1.(2)(3)(4)2.3.(1)4.5.,作业：,52,3,53,2,3,54,Back12,55,定理2推论的证明,推论1的证明,因为,可逆,由定理1知， 经过有限次初等行变换可变为,56,推论2的证明,矩阵 与 等价,等价的定义,初等矩阵与初等变换的联系,根据定理2,
