1、1,3.3.2 极大值与极小值,高中数学 选修1-1,1)如果在某区间上f (x)0 ，那么f (x)为该区间上的增函数，,2)如果在某区间上f (x)0 ，那么f (x)为该区间上的减函数,一般地， 设函数yf(x) ，,导数与函数的单调性的关系,知识回顾：,（2）求导数f (x),（1）求yf(x)的定义域D,（4）与定义域求交集,利用导数讨论函数单调的步骤:,（5）写出单调区间,（3）解不等式f (x)0；或解不等式f (x)0.,基本求导公式：,忆一忆,（1）(kxb)k（ k，b为常数），特殊的： C 0（C为常数）,（2）(x) x1（为常数）,（3）(ax)axlna（a0，且a
2、1）,（4）(logax) logae （a0，且a1）,（5）(ex)ex,（6）(lnx),（7）(sinx)cosx,（8）(cosx)sinx,（问题情境）,观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势、 P点的函数值以及点P位置的特点,函数图象在P点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P点附近，P点的位置最高，函数值最大,函数极值的定义,一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f (x0),我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极大值,记作 y极大值= f (x0)；如果对x0附近的所有的点,都有f(x)f (
3、x0)，我们就说f (x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f (x0).极大值与极小值同称为极值.,数学建构,（1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值;（2）函数的极值不一定惟一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.,学生活动,（1）极值是函数的最值吗？（2）函数的极值只有一个吗？（3）极大值一定比极小值还大吗？,观察图象并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x
4、) 0,数学建构,请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？,左正右负为极大，右正左负为极小,函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A 导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B 导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C 导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D 导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值,D,学生活动,例1 求f(x)x2x2的极值.,解：,因此，当x 时，,f(x)有极小值f( ) ,f (x)2x1，令f (x)0，解得x 列表：,解: f(x)x24，由f(x)0解得 x12，x22.当x变化时， f(x)
5、 、 f(x)的变化情况如下表：,求下列函数的极值,课堂练习：,探索：x 0是否为函数f(x)x3的极值点?,若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可?,f(x)=3x2，当f(x)=0时，x0，而x0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点,x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f(x0) 0,注意：f /(x0)0是函数取得极值的必要不充分条件,请思考求可导函数的极值的步骤:,强调:要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)0左右侧导数的符号.,小 结,本节课主要学习了哪些内容？,请想一想？,1极值的判定方法 2极值的求法,注意点：,1f /(x0)0是函数取得极值的必要不充分条件,2数形结合以及函数与方程思想的应用,3要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断 f(x0)0左右侧导数的符号.,
