1、第一章,常用逻辑用语,“数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.,当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”. 你想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”吗？,问题情境：,1.1 命题及其关系,下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗? (1)若直线ab,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1;
2、(5)两个全等三角形的面积相等; (6)3能被2整除.,以上均为陈述句,(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.,命题的概念能够判断真假的陈述句叫做命题.,真命题：其中判断为真的语句叫做真命题假命题：判断为假的语句叫做假命题,例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a不是正数，则a是负数; (3)指数函数是增函数吗？ (4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; (5) ; (6)x15.,真命题,真命题,假命题,假命题,上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种形式.,“若p,则q”也可写成“如果p,那么
3、q”“只要p,就有q”等形式.,其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.,例2 指出下列命题中的条件p和结论q;(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.,有一些命题表面上不是“若p,则q”的形式,但可以改写成“若p,则q”的形式,例如: 垂直于同一条直线的两个平面平行. 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.,例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假;(1)垂直于同一条直线的两条直线平行;(2)负数的立方是负数;(3)对顶角相等;(4)等腰三角形两腰的中线相等;(5)偶函数的图像关于y轴对称;(6)垂直于同一个平面的两个平面
4、平行.,下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?(1) 同位角相等，两直线平行;(2) 两直线平行，同位角相等 ;(3) 同位角不相等，两直线不平行； (4) 两直线不平行，同位角不相等,命题(1)和(2)叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.,如果原命题为 “若p,则q”,那么它的逆命题为 “若q,则p”.,原命题与其逆命题的真假是否存在相关性呢?,命题(1)和(3)叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的否命题.,如果原命题为 “若p,则q”, 那么它的否命题为 “若p,则q”.,原命题与其否命题的真假是否
5、存在相关性呢?,命题(1)和(4)叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆否命题.,如果原命题为 “若p,则q”, 那么它的逆否命题为 “若q,则p”.,原命题与其逆否命题的真假是否存在相关性呢?,下面我们将刚才的四种情况概括一下： 设 命题（1）“若p ,则q”是原命题, 那么命题（2）“若 q,则p”是原命题的逆命题,命题（3）“若p ,则q”是原命题的否命题,命题（4）“若 q,则 p”是原命题的逆否命题.,原命题的逆命题,原命题的否命题,原命题的逆否命题.,若原命题是真命题 ,则它的逆命题不一定是真命题; 若原命题是真命题 ,则它的否命题不一定是真命题; 若原命题
6、是真命题 ,则它的逆否命题一定是真命题.,它们之间的真假的相关性:,思考：,四种命题之间相互关系怎样？,四种命题间的相互关系：,原命题 若p则q,逆命题 若q则p,否命题 若非p则非q,逆否命题 若非q则非p,互逆,互逆,互否,互否,互为 逆否,互为 逆否,说明：四种命题的关系相对的,数学建构,例1：分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题： （1）正方形的四边相等。,逆命题：如果一个四边形四边相等，那么它是正方形。,否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。,逆否命题：如果一个四边形四边不相等，那么它不是正方形。,原命题： 如果一个四边形是正方形，那么它的四条边相等。,数学
7、应用,例1：分别写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题： （1）正方形的四边相等。 2）若X=1或X=2，则X23X+2=0。,逆否命题： 若X2 ， 则且 。,逆命题： 若X2， 则或 。,否命题： 若且， 则 。,数学应用,例2.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。,原命题：若a=0,则ab=0是真命题；,逆命题：若ab=0，则a=0是假命题；,原命题为真，它的否命题不一定为真； 原命题为真，它的逆否命题一定为真.,否命题：若a 0，则ab 0”是假命题；,逆否命题：若ab 0，则a 0”是真命题；,数学应用,解,若一个整数的末位是0，则它可以
8、被5整除。,若一个点在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端点的距离相等。,若两个角是对顶角，则这两个角相等。,若一条直线到圆心的距离不等于半径，则它不是圆的切线。,1、把下列命题改写成“若P则q”的形式： （1）末位是0的整数，可以被5整除；,（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等；,（3）对顶角相等。,（4）到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线；,课堂练习,2、填空： （1）命题“末位是0的整数，可以被5整除”的逆命题是：,（2）命题“线段的垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等”的否命题是：,（3）命题“对顶角相等”的逆否命题是：,（4）命题“到圆心的距离不等于半
9、径的直线不是圆的切线”的逆否命题是：,若一个整数可以被5整除，则它的末位是0。,若一个点不在线段的垂直平分线上，则它到这条线段两端点的距离不相等。,若两个角不相等，则它们不是对顶角。,若一条直线是圆的切线，则它到圆心的距离等于半径。,课堂练习,RTX讨论四：,为什么互为逆否关系的两个命题同真假？此结论对你解题有何启示？,2）原命题：若a=0, 则ab=0。,逆命题：若ab=0, 则a=0。,否命题：若a 0, 则ab0。,逆否命题：若ab0,则a0。,(真),(假),(假),(真),(真),看下面的例子：,1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。,逆命题：若x2-5x+6=0,
10、则x=2或x=3。,否命题：若x2且x3, 则x2-5x+60 。,逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3。,(真),(真),(真),3) 原命题：若a b, 则 ac2bc2。,逆命题：若ac2bc2,则ab。,否命题：若ab,则ac2bc2。,逆否命题：若ac2bc2,则ab。,（假）,（真）,（真）,（假）,数学建构,想一想？,（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。,由以上三例及总结我们能发现什么？,即：原命题与逆否命题的真假是等价的。,逆命题与否命题的真假是等价的。,（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否 命题不一定为真。,数学建构,1.判断下列说法是否正确。,1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；,（对）,2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。,（对）,2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。,答：0个、2个、4个。,如：原命题：若AB=A, 则AB=。,逆命题：若AB=，则AB=A。,否命题：若ABA，则AB。,逆否命题：若AB，则ABA。,（假）,（假）,（假）,（假）,3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。,（错）,4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。,（错）,课堂练习,课堂小结,让我想一想,
